8、______.
4.已知函數(shù)f(x)=則f(x)的最大值,最小值分別為________.
5.若不等式-x+a+1≥0對一切x∈(0,]恒成立,則a的最小值為________.
1.函數(shù)的最值與值域、單調(diào)性之間的聯(lián)系
(1)對一個函數(shù)來說,其值域是確定的,但它不一定有最值,如函數(shù)y=.如果有最值,則最值一定是值域中的一個元素.
(2)若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上單調(diào),則f(x)的最值必在區(qū)間端點處取得.即最大值是f(a)或f(b),最小值是f(b)或f(a).
2.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值
探求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題,一般要先作出y=f(x)的草圖,然后根據(jù)圖象
9、的增減性進行研究.特別要注意二次函數(shù)的對稱軸與所給區(qū)間的位置關系,它是求解二次函數(shù)在已知區(qū)間上最值問題的主要依據(jù),并且最大(小)值不一定在頂點處取得.
答案精析
問題導學
知識點一
思考 最大的函數(shù)值為4,最小的函數(shù)值為2.1沒有A中的元素與之對應,不是函數(shù)值.
知識點二
思考 x=±1時,y有最大值1,對應的點是圖象中的最高點,x=0時,y有最小值0,對應的點為圖象中的最低點.
題型探究
例1 解 設x1,x2是區(qū)間(0,+∞)上的任意兩個實數(shù),且x10,x1x2-1<0,
f(x1)
10、-f(x2)<0,f(x1)0,x1x2-1>0,
f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2),
∴f(x)在[1,+∞)上為單調(diào)減函數(shù).
∴f(x)max=f(1)=,無最小值.
跟蹤訓練1 解 (1)f(x)的圖象如圖.
(2)由圖知,f(x)在(-∞,-1]上為單調(diào)減函數(shù),在[-1,1]上為常函數(shù),在[1,+∞)上為單調(diào)增函數(shù),
∴f(x)min=2.
例2 解 (1)∵函數(shù)f(x)=x2-2x-3開口向上,對稱軸x=1,
∴f(x)在[0,1]上為單調(diào)減函數(shù),在[1,
11、2]上為單調(diào)增函數(shù),且f(0)=f(2).
∴f(x)max=f(0)=f(2)=-3,
f(x)min=f(1)=-4.
(2)∵對稱軸x=1,
①當1≥t+2即t≤-1時,
f(x)max=f(t)=t2-2t-3,
f(x)min=f(t+2)=t2+2t-3.
②當≤11時,
f(x)max=f(t+2)=t2+2t-3,
12、
f(x)min=f(t)=t2-2t-3.
設函數(shù)最大值為g(t),最小值為φ(t),則有
g(t)=
φ(t)=
(3)設=t(t≥0),則x-2-3=t2-2t-3.
由(1)知y=t2-2t-3(t≥0)在[0,1]上為單調(diào)減函數(shù),在[1,+∞)上為單調(diào)增函數(shù).
∴當t=1即x=1時,f(x)min=-4,無最大值.
(4)作出函數(shù)h(t)=-4.9t2+14.7t+18的圖象(如圖).顯然,函數(shù)圖象的頂點就是煙花上升的最高點,頂點的橫坐標就是煙花爆裂的最佳時刻,縱坐標就是這時距地面的高度.
由二次函數(shù)的知識,對于函數(shù)h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我們
13、有:當t=-=1.5時,函數(shù)有最大值h=≈29.
于是,煙花沖出后1.5 s是它爆裂的最佳時刻,這時距地面的高度約為29 m.
跟蹤訓練2 解 (1)設x2=t(t≥0),則x4-2x2-3=t2-2t-3.
y=t2-2t-3(t≥0)在[0,1]上為單調(diào)減函數(shù),在[1,+∞)上為單調(diào)增函數(shù).
∴當t=1即x=±1時,f(x)min=-4,無最大值.
(2)∵函數(shù)圖象的對稱軸是x=a,
∴當a<2時,f(x)在[2,4]上是單調(diào)增函數(shù),
∴f(x)min=f(2)=6-4a.
當a>4時,f(x)在[2,4]上是單調(diào)減函數(shù),
∴f(x)min=f(4)=18-8a.
當2
14、≤a≤4時,f(x)min=f(a)=2-a2.
∴f(x)min=
(3)由函數(shù)h=-x2+2x+,x∈[0,]的圖象可知,函數(shù)圖象的頂點就是水流噴出的最高點.此時函數(shù)取得最大值.
對于函數(shù)h=-x2+2x+,x∈[0,],
當x=1時,函數(shù)有最大值
hmax=-12+2×1+=.
于是水流噴出的最高高度是 m.
例3 解 方法一 令y=x2-x+a,
要使x2-x+a>0對任意x∈(0,+∞)恒成立,只需ymin=>0,解得a>.
∴實數(shù)a的取值范圍是(,+∞).
方法二 x2-x+a>0可化為a>-x2+x.
要使a>-x2+x對任意x∈(0,+∞)恒成立,
只需
15、a>(-x2+x)max,
又(-x2+x)max=,∴a>.
∴實數(shù)a的取值范圍是(,+∞).
引申探究
解 f(x)=-x2+x在(,+∞)上為單調(diào)減函數(shù),
∴f(x)的值域為(-∞,),
要使a>-x2+x對任意x∈(,+∞)恒成立,
只需a≥,
∴a的取值范圍是[,+∞).
跟蹤訓練3 解 ∵x>0,
∴ax2+x≤1可化為a≤-.
要使a≤-對任意x∈(0,1]恒成立,
只需a≤(-)min.
設t=,∵x∈(0,1],∴t≥1.
-=t2-t=(t-)2-.
當t=1時,(t2-t)min=0,即x=1時,(-)min=0,
∴a≤0.
∴a的取值范圍是(-∞,0].
當堂訓練
1. 2.1 3.4,0 4.10,6 5.-
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