2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 數(shù)列 3.1 等比數(shù)列(一)學(xué)案 北師大版必修5

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1、 3．1　等比數(shù)列(一) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.通過(guò)實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念并學(xué)會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用.2.掌握等比中項(xiàng)的概念并會(huì)應(yīng)用.3.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式并了解其推導(dǎo)過(guò)程． 知識(shí)點(diǎn)一　等比數(shù)列的概念 思考　觀察下列4個(gè)數(shù)列，歸納它們的共同特點(diǎn)． ①1,2,4,8,16，…； ②1，，，，，…； ③1,1,1,1，…； ④－1,1，－1,1，….　 梳理　等比數(shù)列的概念和特點(diǎn)． (1)如果一個(gè)數(shù)列從第____項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的____一項(xiàng)的____都等于________常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫作等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫作等比數(shù)列的________，通常用字母q表示(q≠0)． (2)遞

2、推公式形式的定義＝q(n>1)(或＝q，n∈N＋)． (3)等比數(shù)列各項(xiàng)均________為0. 知識(shí)點(diǎn)二　等比中項(xiàng)的概念 思考　在2,8之間插入一個(gè)數(shù)，使之成等比數(shù)列．這樣的實(shí)數(shù)有幾個(gè)？　 梳理　等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)的異同，對(duì)比如下表： 對(duì)比項(xiàng) 等差中項(xiàng) 等比中項(xiàng) 定義 若a，A，b成等差數(shù)列，則A叫作a與b的等差中項(xiàng) 若a，G，b成________數(shù)列，則G叫作a與b的等比中項(xiàng) 定義式 A－a＝b－A ＝ 公式 A＝ G＝± 個(gè)數(shù) a與b的等差中項(xiàng)唯一 a與b的等比中項(xiàng)有________個(gè)，且互為_(kāi)_______ 備注 任意兩個(gè)數(shù)a與b都有等差中項(xiàng)

3、 只有當(dāng)________時(shí)，a與b才有等比中項(xiàng) 知識(shí)點(diǎn)三　等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 思考　等差數(shù)列通項(xiàng)公式是如何推導(dǎo)的？你能類比推導(dǎo)首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？　 梳理　等差數(shù)列{an}首項(xiàng)為a1，公比為q，則an＝a1qn－1. 類型一　證明等比數(shù)列 例1　根據(jù)下面的框圖，寫出數(shù)列的前5項(xiàng)，并建立數(shù)列的遞推公式．這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列嗎？ 　 反思與感悟　判斷一個(gè)數(shù)列是否為等比數(shù)列的方法是利用定義，即＝q(與n無(wú)關(guān)的常數(shù))． 跟蹤訓(xùn)練1　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝(an－1)(n∈N＋)． (1)求a1，a2； (2)證明：數(shù)列{an}是

4、等比數(shù)列．　 類型二　等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用 命題角度1　方程思想 例2　一個(gè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)與第4項(xiàng)分別是12與18，求它的第1項(xiàng)與第2項(xiàng)． 反思與感悟　已知等比數(shù)列{an}的某兩項(xiàng)的值，求該數(shù)列的其他項(xiàng)或求該數(shù)列的通項(xiàng)常用方程思想，通過(guò)已知可以得到關(guān)于a1和q的兩個(gè)方程，從而解出a1和q，再求其他項(xiàng)或通項(xiàng)． 跟蹤訓(xùn)練2　在等比數(shù)列{an}中． (1)已知a1＝3，q＝－2，求a6； (2)已知a3＝20，a6＝160，求an.　 命題角度2　等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用 例3　某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過(guò)一年剩余的這種物質(zhì)是原來(lái)的84%，這種物質(zhì)的半衰期為多長(zhǎng)？(精確到

5、1年，放射性物質(zhì)衰變到原來(lái)的一半所需時(shí)間稱為這種物質(zhì)的半衰期)　 反思與感悟　等比數(shù)列應(yīng)用問(wèn)題，在實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中較為常見(jiàn)，解題的關(guān)鍵是弄清楚等比數(shù)列模型中的首項(xiàng)a1，項(xiàng)數(shù)n所對(duì)應(yīng)的實(shí)際含義． 跟蹤訓(xùn)練3　某制糖廠2011年制糖5萬(wàn)噸，如果從2011年起，平均每年的產(chǎn)量比上一年增加20%，那么到哪一年，該糖廠的年制糖量開(kāi)始超過(guò)30萬(wàn)噸？(保留到個(gè)位，lg 6≈0.778，lg 1.2≈0.079) 類型三　等比中項(xiàng) 例4　若1，a,3成等差數(shù)列，1，b,4成等比數(shù)列，則的值為(　　) A．± B. C．1 D．±1 反思與感悟　(1)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都有唯一確定的等差中項(xiàng)；(2)只

6、有同號(hào)的兩個(gè)實(shí)數(shù)才有實(shí)數(shù)等比中項(xiàng)，且一定有2個(gè)． 跟蹤訓(xùn)練4?。?與－1的等比中項(xiàng)是(　　) A．1 B．－1 C．±1 D. 1．在等比數(shù)列{an}中，a1＝8，a4＝64，則a3等于(　　) A．16 B．16或－16 C．32 D．32或－32 2．若等比數(shù)列的首項(xiàng)為4，末項(xiàng)為128，公比為2，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為(　　) A．4 B．8 C．6 D．32 3．已知等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，則a7等于(　　) A．64 B．81 C．128 D．243 4．45和80的等比中項(xiàng)為_(kāi)_______． 1．等

7、比數(shù)列的判斷或證明 (1)利用定義：＝q(與n無(wú)關(guān)的常數(shù))． (2)利用等比中項(xiàng)：a＝anan＋2(n∈N＋)． 2．兩個(gè)同號(hào)的實(shí)數(shù)a、b才有等比中項(xiàng)，而且它們的等比中項(xiàng)有兩個(gè)(±)，而不是一個(gè)()，這是容易忽視的地方． 3．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四個(gè)量，已知其中三個(gè)量可求得第四個(gè)量． 答案精析 問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)一 思考　從第2項(xiàng)起，每項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比是同一個(gè)常數(shù)． 梳理　(1)2　前　比　同一　公比 (3)不能 知識(shí)點(diǎn)二 思考　設(shè)這個(gè)數(shù)為G.則＝，G2＝16，G＝±4.所以這樣的數(shù)有2個(gè)． 梳理　等比　兩　相反數(shù)　ab＞0

8、知識(shí)點(diǎn)三 思考　等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)是借助累加消去中間項(xiàng)，等比數(shù)列則可用累乘．根據(jù)等比數(shù)列的定義得 ＝q，＝q，＝q，…，＝q(n≥2)． 將上面n－1個(gè)等式的左、右兩邊分別相乘， 得···…·＝qn－1，化簡(jiǎn)得＝qn－1，即an＝a1qn－1(n≥2)． 當(dāng)n＝1時(shí)，上面的等式也成立． ∴an＝a1qn－1(n∈N＋)． 題型探究 例1　解　若將輸出的數(shù)依次記為a1(即A)，a2，a3，…. 由框圖可知，a1＝1，a2＝a1×＝，a3＝a2×＝，a4＝a3×＝，a5＝a4×＝. 于是，可得遞推公式 由于＝，因此這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式是an＝n－1. 跟蹤訓(xùn)練

9、1　(1)解　∵a1＝S1＝(a1－1)，∴a1＝－. 又a1＋a2＝S2＝(a2－1)，∴a2＝. (2)證明　∵Sn＝(an－1)， ∴Sn＋1＝(an＋1－1)， 兩式相減得an＋1＝an＋1－an， 即an＋1＝－an， ∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為－，公比為－的等比數(shù)列． 例2　解　設(shè)這個(gè)等比數(shù)列的第1項(xiàng)是a1，公比是q，那么 ②÷①，得q＝，將q＝代入①， 得a1＝. 因此，a2＝a1q＝×＝8. 綜上，這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)與第2項(xiàng)分別是與8. 跟蹤訓(xùn)練2　解　(1)由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得， a6＝3×(－2)6－1＝－96. (2)設(shè)等比數(shù)列的公比為q，

10、那么解得 所以an＝a1qn－1＝5×2n－1. 例3　解　設(shè)這種物質(zhì)最初的質(zhì)量是1，經(jīng)過(guò)n年，剩余量是an， 由條件可得，數(shù)列{an}是一個(gè)等比數(shù)列． 其中a1＝0.84，q＝0.84， 設(shè)an＝0.5，則0.84n＝0.5. 兩邊取對(duì)數(shù)，得nlg 0.84＝lg 0.5，用計(jì)算器算得n≈4. 答　這種物質(zhì)的半衰期大約為4年． 跟蹤訓(xùn)練3　解　記該糖廠每年制糖產(chǎn)量依次為a1，a2，a3，…，an，….則依題意可得a1＝5，＝1.2(n≥2且n∈N＋)， 從而an＝5×1.2n－1，這里an＝30， 故1.2n－1＝6，即n－1＝log1.26＝＝≈9.85. 故n＝11. 答　從2021年開(kāi)始，該糖廠年制糖量開(kāi)始超過(guò)30萬(wàn)噸． 例4　D 跟蹤訓(xùn)練4　C 當(dāng)堂訓(xùn)練 1．C　2.C　3.A　4.－60或60 7