2017-2018版高中數(shù)學 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.4.1 曲邊梯形面積與定積分（二）學案 新人教B版選修2-2

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1、 1.4.1　曲邊梯形面積與定積分(二) 明目標、知重點　1.了解定積分的概念，會用定義求定積分.2.理解定積分的幾何意義.3.掌握定積分的基本性質(zhì)． 定積分的概念、幾何意義及性質(zhì) 定積分 概念 定積分：設(shè)函數(shù)y＝f(x)定義在區(qū)間[a，b]上，用分點a＝x0

2、x)在區(qū)間[a，b]上的定積分，記作?f(x)dx，即?f(x)dx＝(ξi)Δxi. 這里a與b分別叫作積分下限與積分上限，區(qū)間[a，b]叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式． 幾何意義 如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有f(x)≥0，那么定積分?f(x)dx表示由直線x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲線y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積. 基本性質(zhì) ?kf(x)dx＝k?f(x)dx(k為常數(shù))； ?[f1(x)±f2(x)]dx＝?f1(x)dx±?f2(x)dx； ?f(x)dx＝?f(x)dx＋?f(x)dx(其中a

3、

4、一條件是不能忽視的，它保證了和的極限(定積分)的存在(實際上，函數(shù)連續(xù)是定積分存在的充分條件，而不是必要條件)． 例1　利用定積分的定義，計算?x3dx的值． 解　令f(x)＝x3. (1)分割 在區(qū)間[0,1]上等間隔地插入n－1個分點，把區(qū)間[0,1]等分成n個小區(qū)間[，](i＝1,2，…，n)，每個小區(qū)間的長度為Δx＝－＝. (2)近似代替、求和 取ξi＝(i＝1,2，…，n)，則 ?x3dx≈Sn＝f()·Δx ＝ ()3· ＝i3＝·n2(n＋1)2＝(1＋)2. (3)取極限 ?x3dx＝Sn＝ (1＋)2＝. 反思與感悟　(1)利用定積分定義求定積分的數(shù)值

5、仍然是“分割、近似代替、求和、取極值”這一過程，需要注意的是在本題中將近似代替、求和一起作為步驟(2)，從而省略了解題步驟． (2)從過程來看，當f(x)≥0時，定積分就是區(qū)間對應(yīng)曲邊梯形的面積． 跟蹤訓(xùn)練1　用定義計算?(1＋x)dx. 解　(1)分割：將區(qū)間[1,2]等分成n個小區(qū)間(i＝1,2，…，n)，每個小區(qū)間的長度為 Δx＝. (2)近似代替、求和：在上取點ξi＝1＋(i＝1,2，…，n)，于是f(ξi)＝1＋1＋＝2＋，從而得(ξi)Δx＝(2＋)·＝ ＝·n＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)] ＝2＋·＝2＋. (3)取極限：S＝ ＝2＋＝. 因此?(1＋x)dx

6、＝. 探究點二　定積分的幾何意義 思考1　從幾何上看，如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有f(x)≥0，那么?f(x)dx表示什么？ 答　當函數(shù)f(x)≥0時，定積分?f(x)dx在幾何上表示由直線x＝a，x＝b(a0，f(ξi)≤0，故 f(ξi)≤0.從而定積分?f(x)dx≤0，這時它等于如圖①

7、所示曲邊梯形面積的相反值，即?f(x)dx＝－S. 當f(x)在區(qū)間[a，b]上有正有負時，定積分?f(x)dx表示介于x軸、函數(shù)f(x)的圖象及直線x＝a，x＝b(a≠b)之間各部分面積的代數(shù)和(在x軸上方的取正，在x軸下方的取負)．(如圖②)，即?f(x)dx＝－S1＋S2－S3. 例2　用定積分的幾何意義求： (1)(3x＋2)dx； (2) (3) (|x＋1|＋|x－1|－4)dx； (4)dx(b>a)． 解　(1)如圖1陰影部分面積為＝， 從而(3x＋2)dx＝. (2)如圖2，由于A的面積等于B的面積， 從而＝0. (3)令f(x)＝|x＋1|＋|

8、x－1|－4，作出f(x)在區(qū)間[－3,3]上的圖象，如圖3所示，易知定積分－3f(x)dx表示的就是圖中陰影部分的面積的代數(shù)和． ∵陰影部分的面積S1＝S3＝1，S2＝6， ∴ (|x＋1|＋|x－1|－4)dx＝1＋1－6＝－4. (4)令y＝f(x)＝，則有(x－)2＋y2＝()2(y≥0)，f(x)表示以(，0)為圓心，半徑為的上半圓，而這個上半圓的面積為S＝πr2＝()2＝， 由定積分的幾何意義可知dx＝. 反思與感悟　利用幾何意義求定積分，關(guān)鍵是準確確定被積函數(shù)的圖象，以及積分區(qū)間，正確利用相關(guān)的幾何知識求面積．不規(guī)則的圖象常用分割法求面積，注意分割點的準確確定．

9、跟蹤訓(xùn)練2　利用幾何意義計算下列定積分： (1)?dx；(2)?(3x＋1)dx. 解　(1)在平面上y＝表示的幾何圖形為以原點為圓心以3為半徑的上半圓，其面積為S＝·π·32. 由定積分的幾何意義知?dx＝π. (2)由直線x＝－1，x＝3，y＝0，以及y＝3x＋1所圍成的圖形，如圖所示： ?(3x＋1)dx表示由直線x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所圍成的圖形在x軸上方的面積減去在x軸下方的面積， ∴?(3x＋1)dx＝×(3＋)×(3×3＋1)－(－＋1)×2＝－＝16. 探究點三　定積分的性質(zhì) 思考1　定積分的性質(zhì)可作哪些推廣？ 答　定積分的性質(zhì)的推廣

10、 ①?[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx＝?f1(x)dx±?f2(x)dx±…±?fn(x)dx； ②?f(x)dx＝?c1af(x)dx＋?c2c1f(x)dx＋…＋?bcnf(x)dx(其中n∈N＋)． 思考2　如果一個函數(shù)具有奇偶性，它的定積分有什么性質(zhì)？ 答　奇、偶函數(shù)在區(qū)間[－a，a]上的定積分 ①若奇函數(shù)y＝f(x)的圖象在[－a，a]上連續(xù)不斷，則?f(x)dx＝0. ②若偶函數(shù)y＝g(x)的圖象在[－a，a]上連續(xù)不斷，則?g(x)dx＝2?g(x)dx. 例3　計算?(－x3)dx的值． 解　如圖， 　　 由定積分的幾何意義得?dx＝＝， ?

11、x3dx＝0，由定積分性質(zhì)得 ?(－x3)dx＝?dx－?x3dx＝. 反思與感悟　根據(jù)定積分的性質(zhì)計算定積分，可以先借助于定積分的定義或幾何意義求出相關(guān)函數(shù)的定積分，再利用函數(shù)的性質(zhì)、定積分的性質(zhì)結(jié)合圖形進行計算． 跟蹤訓(xùn)練3　已知?x3dx＝，?x3dx＝，?x2dx＝，?x2dx＝，求： (1)?3x3dx；(2)?6x2dx；(3)?(3x2－2x3)dx. 解　(1)?3x3dx＝3?x3dx＝3(?x3dx＋?x3dx) ＝3×(＋)＝12； (2)?6x2dx＝6?x2dx＝6(?x2dx＋?x2dx) ＝6×(＋)＝126； (3)?(3x2－2x3)dx＝?

12、3x2dx－?2x3dx ＝3?x2dx－2?x3dx＝3×－2× ＝7－＝－. 1．下列結(jié)論中成立的個數(shù)是(　　) ①?x3dx＝·； ②?x3dx＝·； ③?x3dx＝·. A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析?、冖鄢闪ⅲ? 2．定積分?f(x)dx的大小(　　) A．與f(x)和積分區(qū)間[a，b]有關(guān)，與ξi的取法無關(guān) B．與f(x)有關(guān)，與區(qū)間[a，b]以及ξi的取法無關(guān) C．與f(x)以及ξi的取法有關(guān)，與區(qū)間[a，b]無關(guān) D．與f(x)、積分區(qū)間[a，b]和ξi的取法都有關(guān) 答案　A 3．根據(jù)定積分的幾何意義，用不等號連接下列式子

13、： ①?xdx________?x2dx； ②?dx________?2dx. 答案　①>?、? 4．若?x2dx＝9，則常數(shù)T的值為________． 答案　3 解析　令f(x)＝x2. (1)分割 將區(qū)間[0，T]n等分，則Δx＝. (2)近似代替、求和 取ξi＝(i＝1,2，…，n)， Sn＝()2·＝2＝(12＋22＋…＋n2) ＝·＝(1＋)(2＋)． (3)取極限 S＝ ×2＝＝9, ∴T3＝27，∴T＝3. [呈重點、現(xiàn)規(guī)律] 1．定積分?f(x)dx是一個和式f(ξi)的極限，是一個常數(shù)． 2．可以利用“分割、近似代替、求和、取極限”求定積分；對于一些特殊函數(shù)，也可以利用幾何意義求定積分． 3．定積分的幾何性質(zhì)可以幫助簡化定積分運算． 8