2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 2.1 一元二次不等式的解法學(xué)案 北師大版必修5

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1、 2.1 一元二次不等式的解法 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系.2.掌握?qǐng)D像法解一元二次不等式.3.體會(huì)數(shù)形結(jié)合、分類討論思想. 知識(shí)點(diǎn)一 一元二次不等式的概念 思考 我們知道,方程x2=1的解集是{1,-1},解集中的每一個(gè)元素均可使等式成立.那么你能寫(xiě)出不等式x2>1的解集嗎?  梳理 (1)形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的不等式(其中a≠0),叫作一元二次不等式. (2)使某個(gè)一元二次不等式成立的x的值叫這個(gè)一元二次不等式的解. (3)一元二次不等式所有解組成的集,叫作一元二次不等式的解集. 知識(shí)點(diǎn)二 “

2、三個(gè)二次”的關(guān)系 思考 分析二次函數(shù)y=x2-1與一元二次方程x2-1=0和一元二次不等式x2-1>0之間的關(guān)系. 梳理 一元二次不等式與相應(yīng)的一元二次方程、二次函數(shù)的聯(lián)系,如下表. Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx+c (a>0)的圖像 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 沒(méi)有實(shí)數(shù)根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x≠-} R ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 ? 知識(shí)點(diǎn)三 一元二次不等式的解法 思考 根據(jù)上表,嘗試解不等式x2+2>3x. 梳理 解一元二次方程的步

3、驟 解形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的一元二次不等式,一般可分為三步: (1)確定對(duì)應(yīng)方程ax2+bx+c=0的解; (2)畫(huà)出對(duì)應(yīng)函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像簡(jiǎn)圖; (3)由圖像得出不等式的解集. 類型一 一元二次不等式的解法 命題角度1 二次項(xiàng)系數(shù)大于0 例1 求不等式4x2-4x+1>0的解集. 反思與感悟 當(dāng)所給不等式是非一般形式的不等式時(shí),應(yīng)先化為一般形式,在具體求解一個(gè)一般形式的一元二次不等式的過(guò)程中,要密切結(jié)合一元二次方程的根的情況以及二次函數(shù)的圖像. 跟蹤訓(xùn)練1 求不等式2x2-3x-2≥0的解集. 命題角度2 二次項(xiàng)系

4、數(shù)小于0 例2 解不等式-x2+2x-3>0. 反思與感悟 將-x2+2x-3>0轉(zhuǎn)化為x2-2x+3<0的過(guò)程注意符號(hào)的變化,這是解本題關(guān)鍵之處. 跟蹤訓(xùn)練2 求不等式-3x2+6x>2的解集. 命題角度3 含參數(shù)的二次不等式 例3 解關(guān)于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0. 反思與感悟 解含參數(shù)的不等式,可以按常規(guī)思路進(jìn)行:先考慮開(kāi)口方向,再考慮判別式的正負(fù),最后考慮兩根的大小關(guān)系,當(dāng)遇到不確定因素時(shí)再討論. 跟蹤訓(xùn)練3 解關(guān)于x的不等式(x-a)(x-a2)<0. 類型二 “三個(gè)二次”間對(duì)應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用 例4 已知關(guān)于x的不等式x2+ax+b<0的解集為{x|1<x<

5、2},試求關(guān)于x的不等式bx2+ax+1>0的解集. 反思與感悟 給出一元二次不等式的解集,相當(dāng)于知道了相應(yīng)二次函數(shù)的開(kāi)口及與x軸的交點(diǎn),可以利用代入根或根與系數(shù)的關(guān)系求待定系數(shù). 跟蹤訓(xùn)練4 已知不等式ax2-bx+2<0的解集為{x|10的解集是(  ) A. B.{x|x>1} C.{x|x<1或x>2} D. 2.不等式-6x2-x+2≤0的解集是(  ) A. B. C. D. 3.若不等式ax2+8ax+21<0的解集是{x|-7

6、C.3 D.4 4.不等式x2+x-2<0的解集為_(kāi)________________________________________________. 5.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0的解集為R,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 1.解一元二次不等式的常見(jiàn)方法 (1)圖像法:由一元二次方程、一元二次不等式及二次函數(shù)的關(guān)系,可以得到解一元二次不等式的一般步驟 ①化不等式為標(biāo)準(zhǔn)形式:ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0); ②求方程ax2+bx+c=0(a>0)的根,并畫(huà)出對(duì)應(yīng)函數(shù)y=ax2+bx+c圖像的簡(jiǎn)圖; ③由圖像得出不等式的解集. (2

7、)代數(shù)法:將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方求解. 當(dāng)m0,則可得x>n或x0,a<0,a=0. (2)關(guān)于不等式對(duì)應(yīng)的方程根的討論:兩根(Δ>0),一根(Δ=0),無(wú)根(Δ<0). (3)關(guān)于不等式對(duì)應(yīng)的方程根的大小的討論:x1>x2,x1=x2,x1

8、2. 答案精析 問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)一 思考 不等式x2>1的解集為{x|x<-1或x>1},該集合中每一個(gè)元素都是不等式的解,而不等式的每一個(gè)解均屬于解集. 知識(shí)點(diǎn)二 思考 x2-1>0y=x2-1x2-1=0. 梳理 有兩相異實(shí)根x1,x2(x1x2} {x|x10. ∵方程x2-3x+2=0的根x1=1,x2=2, ∴原不等式的解集為{x|x<1或x>2}. 題型探究 例1 解 因?yàn)棣ぃ?-4)2-4×4×1=0, 所以方程4x2-4x+1=0的解是x

9、1=x2=, 所以原不等式的解集為. 跟蹤訓(xùn)練1 解 ∵2x2-3x-2=0的兩解為x1=-,x2=2, 且a=2>0, ∴不等式2x2-3x-2≥0的解集是 {x|x≤-或x≥2}. 例2 解 不等式可化為x2-2x+3<0. 因?yàn)棣?0,方程x2-2x+3=0無(wú)實(shí)數(shù)解, 而y=x2-2x+3的圖像開(kāi)口向上, 所以原不等式的解集是?. 跟蹤訓(xùn)練2 解 不等式可化為3x2-6x+2<0, ∵Δ=(-6)2-4×3×2=12>0, ∴x1=1-,x2=1+, ∴不等式-3x2+6x>2的解集是 {x|1-

10、(x-1)>0, ∵a<0,∴<1, ∴不等式的解集為{x|x<或x>1}. 當(dāng)a=0時(shí),不等式即-x+1<0,解集為{x|x>1}. 當(dāng)a>0時(shí),不等式可化為 (x-)(x-1)<0. 當(dāng)0<a<1時(shí),>1,不等式的解集為{x|1<x<}. 當(dāng)a=1時(shí),不等式的解集為?. 當(dāng)a>1時(shí),<1,不等式的解集為 {x|<x<1}. 綜上,當(dāng)a<0時(shí),解集為{x|x<或x>1}; 當(dāng)a=0時(shí),解集為{x|x>1}; 當(dāng)0<a<1時(shí),解集為{x|1<x<}; 當(dāng)a=1時(shí),解集為?; 當(dāng)a>1時(shí),解集為{x|<x<1}. 跟蹤訓(xùn)練3 解 當(dāng)a<0或a>1時(shí),有a<a2,此時(shí)

11、,不等式的解集為{x|a<x<a2}; 當(dāng)0<a<1時(shí),有a2<a,此時(shí),不等式的解集為{x|a2<x<a}; 當(dāng)a=0或a=1時(shí),原不等式無(wú)解. 綜上,當(dāng)a<0或a>1時(shí),原不等式的解集為{x|a<x<a2}; 當(dāng)0<a<1時(shí),原不等式的解集為 {x|a2<x<a}; 當(dāng)a=0或a=1時(shí),解集為?. 例4 解 由根與系數(shù)的關(guān)系,可得 即 ∴不等式bx2+ax+1>0,即2x2-3x+1>0. 由2x2-3x+1>0,解得x<或x>1. ∴bx2+ax+1>0的解集為. 跟蹤訓(xùn)練4 解 方法一 由題設(shè)條件知a>0,且1,2是方程ax2-bx+2=0的兩實(shí)根. 由根與系數(shù)的關(guān)系,知解得 方法二 把x=1,2分別代入方程ax2-bx+2=0中, 得解得 當(dāng)堂訓(xùn)練 1.D 2.B 3.C 4.{x|-2

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