2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.4.2 微積分基本定理(一)學(xué)案 新人教B版選修2-2

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1、 1.4.2 微積分基本定理(一) 明目標(biāo)、知重點(diǎn) 1.直觀了解并掌握微積分基本定理的含義.2.會(huì)利用微積分基本定理求函數(shù)的積分. 1.微積分基本定理 如果F′(x)=f(x),且f(x)在[a,b]上可積,則?f(x)dx=F(b)-F(a),其中F(x)叫做f(x)的一個(gè)原函數(shù). 2.定積分和曲邊梯形面積的關(guān)系 設(shè)曲邊梯形在x軸上方的面積為S上,x軸下方的面積為S下,則 (1)當(dāng)曲邊梯形的面積在x軸上方時(shí),如圖(1),則?f(x)dx=S上. (2)當(dāng)曲邊梯形的面積在x軸下方時(shí),如圖(2),則?f(x)dx=-S下.     (3)當(dāng)曲邊梯形的面積在x軸上方、x

2、軸下方均存在時(shí),如圖(3),則?f(x)dx=S上-S下,若S上=S下,則?f(x)dx=0. [情境導(dǎo)學(xué)] 從前面的學(xué)習(xí)中可以發(fā)現(xiàn),雖然被積函數(shù)f(x)=x3非常簡(jiǎn)單,但直接用定積分的定義計(jì)算?x3dx的值卻比較麻煩.有沒有更加簡(jiǎn)便、有效的方法求定積分?另外,我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩個(gè)重要的概念——導(dǎo)數(shù)和定積分,這兩個(gè)概念之間有沒有內(nèi)在的聯(lián)系?我們能否利用這種聯(lián)系求定積分? 探究點(diǎn)一 微積分基本定理 思考1 如下圖,一個(gè)做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是y=y(tǒng)(t),并且y(t)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),由導(dǎo)數(shù)的概念可知,它在任意時(shí)刻t的速度v(t)=y(tǒng)′(t).設(shè)這個(gè)物體在時(shí)間段[a,b]內(nèi)的位移為

3、s,你能分別用y(t),v(t)表示s嗎? 答 由物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是y=y(tǒng)(t)知:s=y(tǒng)(b)-y(a), 通過求定積分的幾何意義,可得s=?v(t)dt=?y′(t)dt, 所以?v(t)dt=?y′(t)dt=y(tǒng)(b)-y(a).其中v(t)=y(tǒng)′(t). 小結(jié) (1)如果f(x)在區(qū)間[a,b]上可積,且F′(x)=f(x),則?f(x)dx=F(b)-F(a).這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理. (2)運(yùn)用微積分基本定理求定積分?f(x)dx很方便,其關(guān)鍵是準(zhǔn)確寫出滿足F′(x)=f(x)的F(x). 思考2 對(duì)一個(gè)連續(xù)函數(shù)f(x)來說,是否存在唯一的F(x),使F′(x)=

4、f(x)?若不唯一,會(huì)影響微積分基本定理的唯一性嗎? 答 不唯一,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì),若F′(x)=f(x),則對(duì)任意實(shí)數(shù)c,[F(x)+c]′=F′(x)+c′=f(x). 不影響,因?yàn)?f(x)dx=[F(b)+c]-[F(a)+c]=F(b)-F(a). 例1 計(jì)算下列定積分: (1)?dx;(2)?(2x-)dx;(3)?(cos x-ex)dx. 解 (1)因?yàn)?ln x)′=, 所以?dx=ln x|=ln 2-ln 1=ln 2. (2)因?yàn)?x2)′=2x,()′=-, 所以?(2x-)dx=?2xdx-?dx =x2|+|=(9-1)+(-1)=. (3)?(

5、cos x-ex)dx=?cos xdx-?exdx =sin x|-ex|=-1. 反思與感悟 求簡(jiǎn)單的定積分關(guān)鍵注意兩點(diǎn): (1)掌握基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,正確求解被積函數(shù)的原函數(shù),當(dāng)原函數(shù)不易求時(shí),可將被積函數(shù)適當(dāng)變形后再求解; (2)精確定位積分區(qū)間,分清積分下限與積分上限. 跟蹤訓(xùn)練1 計(jì)算下列定積分: (1)(x-1)5dx; (3)dx. 解 (1)因?yàn)椤洌?x-1)5, 所以(x-1)5dx= =×(2-1)6-×(1-1)6=. (2)因?yàn)椤洌絪in3xcos x, 所以= =sin4-sin40=. (3)令f(x)==-, 取

6、F(x)=ln x-ln(x+1)=ln , 則F′(x)=-. 所以dx=(-)dx ==ln . 探究點(diǎn)二 分段函數(shù)的定積分 例2 已知函數(shù)f(x)=先畫出函數(shù)圖象,再求這個(gè)函數(shù)在[0,4]上的定積分. 解 圖象如圖. =1+(2-)+(4-0)=7-. 反思與感悟 求分段函數(shù)的定積分,分段標(biāo)準(zhǔn)是使每一段上的函數(shù)表達(dá)式確定,按照原分段函數(shù)的分段情況即可;對(duì)于含絕對(duì)值的函數(shù),可轉(zhuǎn)化為分段函數(shù). 跟蹤訓(xùn)練2 設(shè)f(x)= 求?f(x)dx. 解 ?f(x)dx=?x2dx+?(cos x-1)dx =x3|+(sin x-x)|=sin 1-. 探究點(diǎn)三 

7、定積分的應(yīng)用 例3 計(jì)算下列定積分: ?sin xdx,?sin xdx,?sin xdx.由計(jì)算結(jié)果你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論?試?yán)们吿菪蔚拿娣e表示所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論. 解 因?yàn)?-cos x)′=sin x, 所以?sin xdx=(-cos x)| =(-cos π)-(-cos 0)=2; ?sin xdx=(-cos x)| =(-cos 2π)-(-cos π)=-2; ?sin xdx=(-cos x)| =(-cos 2π)-(-cos 0)=0. 可以發(fā)現(xiàn),定積分的值可能取正值也可能取負(fù)值,還可能是0: 定積分的值與曲邊梯形面積之間的關(guān)系:(1)位于x軸上方的曲邊梯

8、形的面積等于對(duì)應(yīng)區(qū)間的積分;(2)位于x軸下方的曲邊梯形的面積等于對(duì)應(yīng)區(qū)間的積分的相反數(shù);(3)定積分的值就是位于x軸上方曲邊梯形面積減去位于x軸下方的曲邊梯形面積. 反思與感悟 求平面圖形面積的步驟: (1)畫函數(shù)的圖象,聯(lián)立方程組求出曲線的交點(diǎn)坐標(biāo). (2)將曲邊形的面積轉(zhuǎn)化為曲邊梯形的面積. (3)確定被積函數(shù)和積分區(qū)間,計(jì)算定積分,求出面積. 跟蹤訓(xùn)練3 求曲線y=sin x與直線x=-,x=π,y=0所圍圖形的面積(如圖所示). 解 所求面積為 S=?π-|sin x|dx =-?0-sin xdx+?sin xdx-?ππsin xdx =1+2+(1-)=4

9、-. 1.定積分?(2x+ex)dx的值為(  ) A.e+2 B.e+1 C.e D.e-1 答案 C 解析 ?(2x+ex)dx=(x2+ex)|=e.故選C. 2.若?(2x+)dx=3+ln 2,則a的值是(  ) A.5 B.4 C.3 D.2 答案 D 解析 ?(2x+)dx=?2xdx+?dx =x2|+ln x|=a2-1+ln a =3+ln 2, 解得a=2. 3.?(x2-x)dx=________. 答案  解析 ?(x2-x)dx=?x2dx-?xdx =|-|=-=. 4.已知f(x)=,計(jì)算?f(x)dx. 解  取F1(x)=2x2-2πx,則F1′(x)=4x-2π; 取F2(x)=sin x,則F2′(x)=cos x. 所以 即?f(x)dx=-π2-1. [呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律] 1.求定積分的一些常用技巧 (1)對(duì)被積函數(shù),要先化簡(jiǎn),再求積分. (2)若被積函數(shù)是分段函數(shù),依據(jù)定積分“對(duì)區(qū)間的可加性”,分段積分再求和. (3)對(duì)于含有絕對(duì)值符號(hào)的被積函數(shù),要去掉絕對(duì)值符號(hào)才能積分. 2.由于定積分的值可取正值,也可取負(fù)值,還可以取0,而面積是正值,因此不要把面積理解為被積函數(shù)對(duì)應(yīng)圖形在某幾個(gè)區(qū)間上的定積分之和,而是在x軸下方的圖形面積要取定積分的相反數(shù). 6

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