2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 2.4 逆變換與逆矩陣 2.4.2 二階矩陣與二元一次方程組教學(xué)案 蘇教版選修4-2

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1、 2．4.2　二階矩陣與二元一次方程組 1．把稱為二階行列式，它的運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)數(shù)值，記為det(A)＝＝ad－bc. 2．方程組寫成矩陣形式為AZ＝B，其中A＝，稱為系數(shù)矩陣，Z＝，B＝，當(dāng)A可逆時(shí)，方程組有唯一解，當(dāng)A不可逆時(shí)，方程組無解或有無數(shù)組解． 3．對(duì)于方程組，令D＝，Dx ＝，Dy＝，當(dāng)D≠0時(shí)，方程組有唯一組解，為x＝，y＝. 4．對(duì)于方程組，令D＝，當(dāng)D＝0時(shí)，此方程組有非零解． 5．二階矩陣A＝可逆的充要條件是det(A)≠0且A－1＝. 求行列式的值 [例1]　　求的最大值(其中λ∈R)． [思路點(diǎn)撥]　利用行列式的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為二

2、次函數(shù)求最值． [精解詳析]　 ＝(λ－2)(5λ＋8)－(2λ－2)(3λ＋5) ＝－λ2－6λ－6＝－(λ＋3)2＋3≤3， ∴的最大值為3. (1)矩陣A＝與它的行列式det(A)＝的意義是不同的．矩陣A不是一個(gè)數(shù)，而是4個(gè)數(shù)按順序排列成的一個(gè)數(shù)表，行列式det(A)是由矩陣A算出來的一個(gè)數(shù)，不同的矩陣可以有相同的行列式的值． (2)＝ad－bc，它是位于兩條對(duì)角線上的元素的乘積之差． 1．計(jì)算下列行列式的值： (1)；(2) 解：(1)＝6×(－3)－(－5)×2＝－8； (2)＝cos2 θ－(－sin2 θ)＝1. 2．若＝，求x＋y的值． 解：

3、x2＋y2＝－2xy?x＋y＝0. 利用行列式求可逆矩陣的逆矩陣 [例2]　已知A＝，B＝，判斷AB是否可逆，若可逆求出逆矩陣． [思路點(diǎn)撥]　利用矩陣可逆的充要條件求解． [精解詳析]　 AB＝ ＝. 因det(AB)＝＝－1＋9＝8≠0，故AB可逆， ∴(AB)－1＝. 已知矩陣A＝，利用行列式求矩陣A的逆矩陣的步驟如下： (1)首先計(jì)算det(A)＝＝ad－bc，當(dāng)det(A)≠0時(shí)，逆矩陣存在． (2)利用A－1＝，求出逆矩陣A－1. 3．判斷下列矩陣是否可逆，若可逆，求出逆矩陣． (1)；(2)；(3). 解：(1)二階行列式＝－1－

4、1＝－2≠0，所以矩陣可逆，逆矩陣為. (2)二階行列式＝1≠0，所以矩陣可逆，逆矩陣為. (3)二階行列式＝a，當(dāng)a＝0時(shí)，矩陣不可逆，當(dāng)a≠0時(shí)，矩陣可逆，逆矩陣為. 4．若矩陣A＝存在逆矩陣，求x的取值范圍． 解：據(jù)題意det(A)≠0，即≠0. ∴3x2－54≠0. ∴x≠±3. 故x的取值范圍是{x|x∈R且x≠±3}. 二元一次方程組的行列式解法及矩陣解法　 [例3]　分別利用行列式及逆矩陣解二元一次方程組 [思路點(diǎn)撥]　求出相應(yīng)行列式的值，利用x＝，y＝求解，或求出方程組對(duì)應(yīng)的逆矩陣，利用逆矩陣法求解． [精解詳析]　法一：(行列式解法) D＝

5、＝12－2＝10， Dx＝＝4＋6＝10， Dy＝＝9＋1＝10， 故方程組的解為 法二：(逆矩陣解法)已知方程組可以寫成矩陣形式 ＝. 令M＝，則其行列式 det(M)＝＝3×4－(－1)×(－2)＝10≠0， 所以矩陣M存在逆矩陣M－1，且 M－1＝＝， 這樣＝M－1＝ ＝. 即方程組的解為 利用逆矩陣解二元一次方程組的步驟為： (1)將二元一次方程組化成標(biāo)準(zhǔn)形式并寫成矩陣形式． (2)判定系數(shù)矩陣是否可逆，即看是否為零．若可逆則二元一次方程組有唯一解，若不可逆，方程組無解或解不唯一． (3)若可逆，求逆矩陣： (4)利用矩陣乘法求解：即計(jì)算.

6、 5．利用行列式解下列方程組： (1)(2) 解：(1)因?yàn)镈＝＝3×4－(－3)×(－1)＝9≠0，此方程組存在唯一解． 又Dx＝＝1×4－(－3)×3＝13， Dy＝＝3×3－1×(－1)＝10. 所以x＝＝，y＝＝. 故該方程組的解為 (2)先將方程組改寫成一般形式 因?yàn)镈＝＝－2≠0，此方程組存在唯一解． 又Dx＝＝－6，Dy＝＝4， 所以x＝＝3，y＝＝－2. 故該方程組的解為 含參的齊次線性方程組解的討論 [例4]　m為何值時(shí)，二元一次方程組 ＝m有非零解？ [思路點(diǎn)撥]　先求出方程組對(duì)應(yīng)行列式，利用行列式值為0時(shí)方程組有非零解求解． [

7、精解詳析]　二元一次方程組 ＝m， 即為＝， ∴ 即 即 ＝. ∴當(dāng)＝0， 即－(3－m)(4＋m)＋2＝0時(shí)，方程組有非零解． ∴當(dāng)m＝時(shí)，方程有非零解． 齊次線性方程組有非零解的充要條件為對(duì)應(yīng)系數(shù)成比例，即＝，此時(shí)，該齊次線性方程組的一組非零解為. 6．齊次線性方程組存在非零解嗎？如果存在，求出一組非零解． 解：因D＝＝－4＋4＝0， 所以存在非零解． 其中一組非零解為. 7．若關(guān)于x，y的二元一次方程組有非零解，求m的值． 解：D＝＝－33－4m， 令D＝0，則得m＝－. 1．求下列行列式的值：(1)；(2). 解：(1)＝3×5

8、－(－1)×2＝15＋2＝17. (2)＝28－(－72)＝28＋72＝100. 2．已知矩陣不可逆，求函數(shù)f(x)＝ax2－7x＋4的最小值． 解：∵矩陣不可逆， ∴＝ax·－3×1＝a－3＝0， 即a＝3， ∴f(x)＝3x2－7x＋4 ＝3(x2－x＋)＋4－×3 ＝3(x－)2－. ∴當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)f(x)有最小值－. 3．已知矩陣A＝，X＝，B＝，解方程AX＝B. 解：因?yàn)閨A|＝＝1≠0，所以A的逆矩陣存在，且A－1＝，所以X＝A－1B＝＝. 4．已知二元一次方程組AZ＝B，其中A是可逆矩陣，B＝，試證明該方程組的解只能是. 證明：因?yàn)锳是可逆矩陣，則原方

9、程組的解為Z＝A－1B＝A－1，因?yàn)锳－1是唯一存在的，所以Z＝是原方程組唯一的解． 5．分別利用行列式法及逆矩陣法解方程組. 解：法一：方程組可化為， D＝＝4－6＝－2， Dx＝＝20－12＝8， Dy＝＝6－15＝－9， 故方程組的解為 法二：方程組用矩陣表示為 ＝. 故＝ ＝－ ＝ 6．試寫出齊次線性方程組的矩陣形式及該方程組的一組非零解． 解：齊次線性方程組改寫成矩陣形式為 ＝， ∵＝2×6－3×4＝0， ∴此齊次線性方程組有非零解 如就是它的一組非零解． 7．當(dāng)λ為何值時(shí)，二元一次方程組 ＝λ有非零解？ 解：由題意知二元一次方程組為 即 D＝＝(

10、2－λ)(3－λ)－2＝λ2－5λ＋4， 當(dāng)D＝0即λ＝1或4時(shí)， 二元一次方程組 ＝λ有非零解． 8．如果建立如下字母與數(shù)字的對(duì)應(yīng)關(guān)系 　a　b　c　…　y　z ? ? ? … ? ? 1 2 3　… 25 26 并且發(fā)送方按可逆矩陣A＝進(jìn)行加密． (1)若要發(fā)出信息work hard，試寫出所要發(fā)送的密碼； (2)將密碼93,36,60,21,159,60,110,43恢復(fù)成原來的信息． 解：(1)若要發(fā)出信息work hard，則其編碼為23,15,18,11,8,1,18,4. 把上述編碼按順序分成四組并寫成列向量，，，，計(jì)算它們?cè)诰仃嘇對(duì)應(yīng)的變換下的象，可得 A＝ ＝， A＝ ＝， A＝ ＝， A＝ ＝， 于是，得到所要發(fā)送的密碼為160,61,123,47,43,17,102,40. (2)因?yàn)閐et(A)＝＝5×1－2×3＝－1，所以A的逆矩陣A－1＝.把接受到的密碼按順序分成四組并寫成列向量，計(jì)算它們?cè)诰仃嘇－1對(duì)應(yīng)的變換作用下的象， 可得 A－1＝ ＝， A－1＝ ＝， A－1＝ ＝， A－1＝ ＝. 于是密碼恢復(fù)成編碼15,6,3,15,21,18,19,5，再根據(jù)已知的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即得到原來的信息of course. 9