2014屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專講專練(基礎(chǔ)知識)：8.9圓錐曲線的綜合問題.doc

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課時跟蹤檢測(五十七)　圓錐曲線的綜合問題 1．已知雙曲線x2－＝1的左頂點為A1，右焦點為F2，P為雙曲線右支上一點，則的最小值為(　　) A．－2　　　　　　　　　　　 B．－ C．1 D．0 2．過拋物線y2＝2x的焦點作一條直線與拋物線交于A、B兩點，它們的橫坐標(biāo)之和等于2，則這樣的直線(　　) A．有且只有一條 B．有且只有兩條 C．有且只有三條 D．有且只有四條 3．(2012瑞安模擬)已知雙曲線－＝1與雙曲線－＝1，設(shè)連接它們的頂點構(gòu)成的四邊形的面積為S1，連接它們的焦點構(gòu)成的四邊形的面積為S2，則的最大值為(　　) A．2 B．1 C. D. 4．(2012濰坊模擬)橢圓＋＝1的離心率為e，點(1，e)是圓x2＋y2－4x－4y＋4＝0的一條弦的中點，則此弦所在直線的方程是(　　) A．3x＋2y－4＝0 B．4x＋6y－7＝0 C．3x－2y－2＝0 D．4x－6y－1＝0 5．已知橢圓＋＝1的焦點是F1，F(xiàn)2，如果橢圓上一點P滿足PF1⊥PF2，則下面結(jié)論正確的是(　　) A．P點有兩個 B．P點有四個 C．P點不一定存在 D．P點一定不存在 6．直線l：y＝x＋3與曲線－＝1交點的個數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 7．已知橢圓C：＋y2＝1的兩焦點為F1，F(xiàn)2，點P(x0，y0)滿足＋y≤1，則|PF1|＋|PF2|的取值范圍為________． 8．(2012綿陽模擬)＋＝1上有兩個動點P、Q，E(3,0)，EP⊥EQ，則EP―→QP―→的最小值為________． 9．已知點P在直線x＋y＋5＝0上，點Q在拋物線y2＝2x上，則|PQ|的最小值等于________． 10．(2012黃岡質(zhì)檢)已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，橢圓上任意一點到右焦點F的距離的最大值為＋1. (1)求橢圓的方程； (2)已知點C(m,0)是線段OF上一個動點(O為坐標(biāo)原點)，是否存在過點F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A，B點，使得|AC|＝|BC|？并說明理由． 11．(2012江西模擬)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)，直線y＝x＋與以原點為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其左，右焦點，P為橢圓C上任一點，△F1PF2的重心為G，內(nèi)心為I，且IG∥F1F2. (1)求橢圓C的方程； (2)若直線l：y＝kx＋m(k≠0)與橢圓C交于不同的兩點A，B，且線段AB的垂直平分線過定點C，求實數(shù)k的取值范圍． 12．(2012鄭州模擬)已知圓C的圓心為C(m,0)，m＜3，半徑為，圓C與離心率e＞的橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的其中一個公共點為A(3,1)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點． (1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若點P的坐標(biāo)為(4,4)，試探究直線PF1與圓C能否相切？若能，求出直線PF1的方程；若不能，請說明理由． 1．雙曲線x2－＝1上的兩點A，B關(guān)于直線y＝－x＋1對稱，則直線AB的方程為(　　) A．y＝x B．y＝x＋1 C．y＝x－1 D．y＝x＋ 2．(2012濱州模擬)若拋物線y2＝8x的焦點是F，準(zhǔn)線是l，則經(jīng)過點F，M(3,3)且與l相切的圓共有(　　) A．0個 B．1個 C．2個 D．4個 3．(2012長春模擬)已知點A(－1,0)，B(1,0)，動點M的軌跡曲線C滿足∠AMB＝2θ， | |||cos2θ＝3，過點B的直線交曲線C于P，Q兩點． (1)求||＋||的值，并寫出曲線C的方程； (2)求△APQ的面積的最大值． 答 案 課時跟蹤檢測(五十七) A級 1．選A　設(shè)點P(x，y)，其中x≥1.依題意得A1(－1,0)，F(xiàn)2(2,0)，由雙曲線方程得y2＝3(x2－1)．＝(－1－x，－y)(2－x，－y)＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2＋y2－x－2＝x2＋3(x2－1)－x－2＝4x2－x－5＝42－，其中x≥1. 因此，當(dāng)x＝1時，取得最小值－2. 2．選B　設(shè)該拋物線焦點為F，則|AB|＝|AF|＋|FB|＝xA＋＋xB＋＝xA＋xB＋1＝3＞2p＝2.所以符合條件的直線有且僅有兩條． 3．選C　因為雙曲線是標(biāo)準(zhǔn)方程，所以兩個四邊形的對角線都在坐標(biāo)軸上，所以有： S1＝2a2b＝2ab，S2＝2c2c＝2c2，＝＝≤＝. 4．選B　依題意得e＝，圓心坐標(biāo)為(2,2)，圓心(2,2)與點的連線的斜率為＝，所求直線的斜率等于－，所以所求直線方程是y－＝－(x－1)．即4x＋6y－7＝0. 5．選D　設(shè)橢圓的基本量為a，b，c，則a＝5，b＝4，c＝3.以F1F2為直徑構(gòu)造圓，可知圓的半徑r＝c＝3＜4＝b，即圓與橢圓不可能有交點． 6．選D　當(dāng)x≥0時，曲線為－＝1；當(dāng)x≤0時，曲線為＋＝1，如圖所示，直線l：y＝x＋3過(0,3)，與雙曲線－＝1(x≥0)有2個交點，顯然l與半橢圓＋＝1(x≤0)有2個交點((0,3)為公共點)，所以共3個交點． 7．解析：當(dāng)P在原點處時，|PF1|＋|PF2|取得最小值2；當(dāng)P在橢圓上時，|PF1|＋|PF2|取得最大值2，故|PF1|＋|PF2|的取值范圍為[2,2 ]． 答案：[2,2 ] 8．解析：設(shè)P(x0，y0)，＝(－)＝||2＝(x0－3)2＋y＝(x0－3)2＋9－x＝x－6x0＋18＝[(x0－4)2－16]＋18≥6，當(dāng)x0＝4時等號成立． 答案：6 9．解析：設(shè)l′平行于直線x＋y＋5＝0，且與拋物線相切， 設(shè)l′：y＝－x＋m，由得y2＋2y－2m＝0， 由Δ＝0，得m＝－，兩直線距離 d＝＝.即|PQ|min＝. 答案： 10．解：(1)∵∴ ∴b＝1， ∴橢圓的方程為＋y2＝1. (2)由(1)得F(1,0)，∴0≤m≤1. 假設(shè)存在滿足題意的直線l， 設(shè)l的方程為y＝k(x－1)，代入＋y2＝1中，得 (2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝，x1x2＝， ∴y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝. 設(shè)AB的中點為M， 則M. ∵|AC|＝|BC|，∴CM⊥AB， 即kCMkAB＝－1， ∴k＝－1， 即(1－2m)k2＝m. ∴當(dāng)0≤m<時，k＝ ，即存在滿足題意的直線l； 當(dāng)≤m≤1時，k不存在，即不存在滿足題意的直線l. 11．解：(1)設(shè)P(x0，y0)，x0≠a，則G. 又設(shè)I(xI，yI)，∵IG∥F1F2， ∴yI＝， ∵|F1F2|＝2c， ∴S△F1PF2＝|F1F2||y0| ＝(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)， ∴2c3＝2a＋2c， ∴e＝＝，又由題意知b＝， ∴b＝，∴a＝2， ∴橢圓C的方程為＋＝1. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， 由題意知Δ＝(8km)2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0，即m2＜4k2＋3，又x1＋x2＝－，則y1＋y2＝， ∴線段AB的中點P的坐標(biāo)為. 又線段AB的垂直平分線l′的方程為y＝－， 點P在直線l′上， ∴＝－， ∴4k2＋6km＋3＝0，∴m＝－(4k2＋3)，∴＜4k2＋3，∴k2＞， 解得k＞或k＜－， ∴k的取值范圍是∪. 12．解：(1)由已知可設(shè)圓C的方程為(x－m)2＋y2＝5(m＜3)， 將點A的坐標(biāo)代入圓C的方程中，得(3－m)2＋1＝5， 即(3－m)2＝4，解得m＝1，或m＝5. ∴m＜3，∴m＝1. ∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝5. (2)直線PF1能與圓C相切， 依題意設(shè)直線PF1的斜率為k，則直線PF1的方程為y＝k(x－4)＋4， 即kx－y－4k＋4＝0， 若直線PF1與圓C相切，則＝. ∴4k2－24k＋11＝0，解得k＝或k＝. 當(dāng)k＝時，直線PF1與x軸的交點的橫坐標(biāo)為，不合題意，舍去； 當(dāng)k＝時，直線PF1與x軸的交點的橫坐標(biāo)為－4， ∴c＝4，F(xiàn)1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)． ∴由橢圓的定義得： 2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋＝5＋＝6. ∴a＝3，即a2＝18， ∴e＝＝＞，滿足題意． 故直線PF1能與圓C相切．此時直線PF1的方程為x－2y＋4＝0. B級 1．選D　由題意可設(shè)AB的方程為y＝x＋m，代入雙曲線方程得2x2－2mx－m2－3＝0.則AB的中點P的坐標(biāo)為，由P在直線y＝－x＋1上可得m＝. 2．選B　由題意得F(2,0)，l：x＝－2，線段MF的垂直平分線方程為 y－＝－， 即x＋3y－7＝0， 設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為(a，b)， 則圓心在x＋3y－7＝0上， 故a＋3b－7＝0，a＝7－3b， 由題意得|a－(－2)|＝， 即b2＝8a＝8(7－3b)， 即b2＋24b－56＝0，又b＞0， 故此方程只有一個根，于是滿足題意的圓只有一個． 3．解：(1)設(shè)M(x，y)，在△MAB中，||＝2，∠AMB＝2θ，根據(jù)余弦定理得||2＋||2－2||||cos 2θ＝||2＝4， 即||＋||)2－2||||(1＋cos 2θ)＝4， 所以(||＋||)2－4||||cos2θ＝4. 因為||||cos2θ＝3， 所以||＋||)2－43＝4， 所以||＋||＝4. 又||＋||＝4＞2＝||， 因此點M的軌跡是以A，B為焦點的橢圓(點M在x軸上也符合題意)，設(shè)橢圓的方程為＋＝1(a＞b＞0)， 則a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3. 所以曲線C的方程為＋＝1. (2)設(shè)直線PQ的方程為x＝my＋1. 由，消去x， 整理得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.① 顯然方程①的判別式Δ＝36m2＋36(3m2＋4)＞0， 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 則△APQ的面積S△APQ＝2|y1－y2|＝|y1－y2|. 由根與系數(shù)的關(guān)系得y1＋y2＝－，y1y2＝－， 所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝48. 令t＝3m2＋3，則t≥3， (y1－y2)2＝， 由于函數(shù)φ(t)＝t＋在[3，＋∞)上是增函數(shù)， 所以t＋≥，當(dāng)且僅當(dāng)t＝3m2＋3＝3，即m＝0時取等號， 所以(y1－y2)2≤＝9，即|y1－y2|的最大值為3， 所以△APQ的面積的最大值為3，此時直線PQ的方程為x＝1.