（浙江專版）2018年高中物理 第十一章 機械振動 第2節(jié) 簡諧運動的描述學案 新人教版選修3-4

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1、 第2節(jié) 簡諧運動的描述 描述簡諧運動的物理量 [探新知·基礎練] 1．振幅 (1)定義：振動物體離開平衡位置的最大距離，用A表示。 (2)物理意義：表示振動的強弱，是標量。 2．全振動 類似于O→B→O→C→O的一個完整振動過程。 3．周期(T)和頻率(f) 周期 頻率 定義 做簡諧運動的物體完成一次全振動所需要的時間 單位時間內完成全振動的次數(shù) 單位 秒(s) 赫茲(Hz) 物理含義 表示物體振動快慢的物理量 關系式 T＝ 4．相位 描述周期性運動在各個時刻所處的不同狀態(tài)。 [辨是非](對的劃“√”，錯的劃“×”)

2、 1．簡諧運動的振幅大，振動物體的周期一定大。(×) 2．簡諧運動的振幅大，振動物體的最大位移一定大。(√) 3．簡諧運動的快慢可以用頻率和振幅來描述。(×) [釋疑難·對點練] 1．對全振動的理解 正確理解全振動的概念，應注意把握振動的五種特征： (1)振動特征：一個完整的振動過程。 (2)物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同時與初始狀態(tài)相同。 (3)時間特征：歷時一個周期。 (4)路程特征：振幅的4倍。 (5)相位特征：增加2π。 2．簡諧運動中振幅和幾個常見量的關系 (1)振幅和振動系統(tǒng)的能量關系： 對一確定的振動系統(tǒng)來說，系統(tǒng)能量僅由

3、振幅決定，振幅越大，振動系統(tǒng)能量越大。 (2)振幅與位移的關系： 振動中的位移是矢量，振幅是標量，在數(shù)值上，振幅與某一時刻位移的大小可能相等，但在同一簡諧運動中振幅是確定的，而位移隨時間做周期性的變化。 (3)振幅與路程的關系： 振動中的路程是標量，是隨時間不斷增大的，其中常用的定量關系——一個周期內的路程為4倍的振幅，半個周期內的路程為2倍的振幅。 (4)振幅與周期的關系： 在簡諧運動中，一個確定的振動系統(tǒng)的周期(或頻率)是固定的，與振幅無關。 3．彈簧振子四分之一周期內的路程 一質點做簡諧運動的位移圖象如圖甲所示。O是平衡位置，B、C均為最大位移處，用A表示振幅，T表示周期

4、，s表示時間內經過的路程。 (1)質點從位置P向平衡位置O運動，然后經過O點運動至Q點，假設從P到Q歷時，那么在這段時間內質點運動的路程如何？比較質點由B到O的運動和由P到Q的運動，注意到PO段的運動是相同的；再來比較BP段和OQ段的運動，發(fā)現(xiàn)BP段質點運動得慢一些，OQ段質點運動得快一些，而兩段運動的時間是相同的，所以＜。故質點從P運動到Q的路程大于從B運動到O的路程，即s＞A。 (2)質點從Q點向位置C處運動，然后再從C往回運動至M，假設運動時間也是，如圖乙所示，那么在這段時間內質點運動的路程如何？比較質點從O至C的運動和從Q到C再到M的運動，注意到QC段的運動是相同的，只需比較OQ段

5、和CM段的運動，容易知道質點在OQ段比CM段運動得快，而運動時間相同，所以＞。故質點從Q運動到C再到M的路程小于從O運動到C的路程，即s＜A。 (3)連續(xù)觀察質點從P到Q，再經C到M的過程。若運動的總時間為，容易證明，M和P關于平衡位置O對稱，質點通過的總路程為2A。 綜上分析，可得到結論：做簡諧運動的質點，在向平衡位置運動的過程中，取某一位置開始計時，質點在時間內通過的路程s＞A；在遠離平衡位置的過程中，取某一位置開始計時，質點在時間內通過的路程s＜A；而如果計時起點就選在最大位移處或者平衡位置，那么質點在時間內通過的路程s＝A。 [特別提醒]　簡諧運動的振幅大，振動物體的位移不一定大

6、，但其最大位移一定大。 [試身手] 1．一豎直懸掛的彈簧振子，下端裝有一記錄筆，在豎直面內放置有一記錄紙。當振子上下振動時，以速率v水平向左勻速拉動記錄紙，記錄筆在紙上留下如圖所示的圖象。y1、y2、x0、2x0為紙上印跡的位置坐標。由此圖求得，振動的周期為______和振幅為______。 解析：由圖象可知，振子在一個周期內沿x方向的位移為2x0，水平速度為v，故周期T＝；又由圖象知2A＝y(tǒng)1－y2，故振幅A＝。 答案：　 簡諧運動的表達式 [探新知·基礎練] 簡諧運動的一般表達式為x＝Asin(ωt＋φ) (1)x表示振動物體相對于平衡位置的位移。 (2)A表示簡諧運

7、動的振幅。 (3)ω是一個與頻率成正比的量，表示簡諧運動的快慢，ω＝＝2πf。 (4)ωt＋φ代表簡諧運動的相位，φ表示t＝0時的相位，叫做初相。 [辨是非](對的劃“√”，錯的劃“×”) 1．做簡諧運動的質點先后通過同一點，速度、加速度、位移都是相同的。(×) 2．做簡諧運動的質點，速度增大時，其加速度一定減小。(√) 3．做簡諧運動的質點，位移增大時，其速度一定減小。(√) [釋疑難·對點練] 1．簡諧運動的表達式理解 做簡諧運動的物體位移x隨時間t變化的表達式：x＝Asin(ωt＋φ), 由簡諧運動的表達式可以直接讀出振幅A、圓頻率ω和初相φ。據(jù)ω＝或ω＝2πf可求周期

8、T或頻率f，可以求某一時刻質點的位移x。 2．簡諧運動的相位及相位差的理解 (1)ωt＋φ表示相位，描述做周期性運動的物體在各個不同時刻所處的不同狀態(tài)，是描述不同振動的振動步調的物理量。它是一個隨時間變化的量，相當于一個角度，相位每增加2π，意味著物體完成了一次全振動。 (2)相位差是指兩個相位之差，在實際應用中經常用到的是兩個具有相同頻率的簡諧運動的相位差，它反映出兩個簡諧運動的步調差異。 設兩頻率相同的簡諧運動的振動方程分別為x1＝A1sin(ωt＋φ1)，x2＝A2sin(ωt＋φ2)，它們的相位差Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1?？梢?，其相位差恰好等于它 們的

9、初相之差，因為初相是確定的，所以頻率相同的兩個簡諧運動有確定的相位差。 (3)若Δφ＝φ2－φ1＞0，則稱B的相位比A的相位超前Δφ或A的相位比B的相位落后Δφ； 若Δφ＝φ2－φ1＜0，則稱B的相位比A的相位落后|Δφ|或A的相位比B的相位超前|Δφ|。 ①同相：表明兩個振動物體步調相同，相差位Δφ＝0； ②反相：表明兩個振動物體步調完全相反，相位差Δφ＝π。 [試身手] 2．兩個簡諧運動的表達式分別為x1＝4asin(4πbt＋)，x2＝2asin(4πbt＋)。求它們的振幅之比，各自的頻率。 解析：它們的振幅之比＝＝； 它們的頻率相同，都是f＝＝＝2b。 答案：2∶1　頻

10、率均為2b 描述簡諧運動的物理量 [典例1]　彈簧振子以O點為平衡位置在B、C兩點間做簡諧運動，B、C相距20 cm，某時刻振子處于B點，經過0.5 s，振子首次到達C點，求： (1)振子的振幅； (2)振子的周期和頻率； (3)振子在5 s內通過的路程及位移大小。 [思路點撥]　對做簡諧運動的彈簧振子而言，離平衡位置最遠的兩個點關于平衡位置對稱，其距離為2A。一個全振動的時間叫做周期，周期和頻率互為倒數(shù)關系。簡諧運動的位移是振子離開平衡位置的距離。要注意各物理量之間的區(qū)別與聯(lián)系。 [解析]　(1)設振幅為A，則有2A＝BC＝20 cm，所以 A＝10 cm。 (

11、2)從B首次到C的時間為周期的一半，因此 T＝2t＝1 s； 再根據(jù)周期和頻率的關系可得 f＝＝1 Hz。 (3)振子一個周期通過的路程為4A＝40 cm，即一個周期運動的路程為40 cm， s＝×4A＝5×40 cm＝200 cm 5 s的時間為5個周期，又回到起始點B，位移大小為10 cm。 [答案]　(1)10 cm　(2)1 s　1 Hz　(3)200 cm 10 cm (1)求振動物體在一段時間內通過路程的依據(jù)： ①振動物體在一個周期內通過的路程一定為四個振幅，則在n個周期內通過的路程必為n·4A； ②振動物體在半個周期內通過的路程一定為兩倍振幅； ③振動

12、物體在內通過的路程可能等于一倍振幅，還可能大于或小于一倍振幅，只有當初始時刻在平衡位置或最大位移處時，內通過的路程才等于振幅。 (2)計算路程的方法是：先判斷所求時間內有幾個周期，再依據(jù)上述規(guī)律求路程。 簡諧運動的周期性和對稱性問題 1.周期性 做簡諧運動的物體經過一個周期或幾個周期后，能回復到原來的狀態(tài)。 2．對稱性 如圖所示，物體在A和B之間運動，O點為平衡位置，C和D兩點關于O點對稱，則： (1)時間的對稱 ①振動質點來回通過相同的兩點間經過的時間相等，如tDB＝tBD； ②質點經過關于平衡位置對稱的等長的兩線段時間相等，圖中tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝

13、tDO＝tOC＝tCO。 (2)速度的對稱 ①物體連續(xù)兩次經過同一點(如D點)的速度大小相等，方向相反； ②物體經過關于O點對稱的兩點(如C與D)的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。 [典例2]　一個質點在平衡位置O點的附近做簡諧運動，它離開O點運動后經過3 s時間第一次經過M點，再經過2 s第二次經過M點，該質點再經過________s第三次經過M點。若該質點由O點出發(fā)在20 s內經過的路程是20 cm，則質點做振動的振幅為________ cm。 [思路點撥]　根據(jù)簡諧運動的周期性和對稱性分析解決問題。 [解析]　作出該質點做振動的圖象如圖所示，則M點的位置可能有兩個，即

14、如圖所示的M1或M2。 第一種情況：若是位置M1，由題圖可知＝3 s＋1 s＝4 s，T1＝16 s，根據(jù)簡諧運動的周期性，質點第三次經過M1時所需時間為一個周期減第二次經過M點的時間，故Δt1＝16 s－2 s＝14 s。 質點在20 s內(即n＝＝個周期)的路程為20 cm，故由5A1＝20 cm，得振幅A1＝4 cm。 第二種情況：若是位置M2，由題圖可知＝3 s＋1 s＝4 s，T2＝ s。根據(jù)對稱性，質點第三次經過M2時所需時間為一個周期減第二次經過M點的時間，故Δt2＝ s－2 s＝ s。 質點在20 s內(即n＝＝個周期內)的路程為20 cm，故由15A2＝20 cm

15、，得振幅A2＝ cm。 [答案]　14　4或　 簡諧運動是一種周而復始的周期性的運動，按其周期性可作如下判斷： (1)若t2－t1＝nT，則t1、t2兩時刻振動物體在同一位置，運動情況相同。 (2)若t2－t1＝nT＋T，則t1、t2兩時刻，描述運動的物理量(x、F、a、v)均大小相等，方向相反。 (3)若t2－t1＝nT＋T或t2－t1＝nT＋T，則當t1時刻物體到達最大位移處時，t2時刻物體到達平衡位置；當t1時刻物體在平衡位置時，t2時刻到達最大位移處；若t1時刻物體在其他位置，t2時刻物體到達何處就要視具體情況而定。 [課堂對點鞏固] 1．如圖所示

16、，彈簧振子在BC間振動，O為平衡位置，BO＝OC＝5 cm，若振子從B到C的運動時間為1 s，則下列說法正確的是(　　) A．振子從B經O到C完成一次全振動 B．振動周期是1 s，振幅是10 cm C．經過兩次全振動，振子通過的路程是20 cm D．從B開始經過3 s，振子通過的路程是30 cm 解析：選D　振子從B→O→C僅完成了半次全振動，所以周期T＝2×1 s＝2 s，振幅A＝BO＝5 cm，A、B錯誤；振子在一次全振動中通過的路程為4A＝20 cm，所以兩次全振動振子通過的路程為40 cm，C錯誤；3 s的時間為1.5T，所以振子通過的路程為30 cm，D正確。 2．一

17、彈簧振子做簡諧運動，周期為T，下列說法正確的是(　　) A．若t時刻和(t＋Δt)時刻振子運動位移的大小相等、方向相同，則Δt一定等于T的整數(shù)倍 B．若t時刻和(t＋Δt)時刻振子運動速度的大小相等、方向相反，則Δt一定等于的整數(shù)倍 C．若Δt＝T，則在t時刻和(t＋Δt)時刻振子運動的加速度一定相等 D．若Δt＝，則在t時刻和(t＋Δt)時刻彈簧的長度一定相等 解析：選C　對選項A，只能說明這兩個時刻振子處于同一位置，設為P，如圖所示，并未說明這兩個時刻振子的運動方向是否相同，Δt可以是振子由P向B再回到P的時間，故認為Δt一定等于T的整數(shù)倍是錯誤的；對選項B，振子兩次到P位置時速

18、度大小相等、方向相反，但并不能肯定Δt等于的整數(shù)倍，選項B也是錯誤的；在相隔一個周期T的兩個時刻，振子只能位于同一位置，其位移相同，合外力相同，加速度必須相等，選項C是正確的；相隔的兩個時刻，振子的位移大小相等、方向相反，其位置可位于與P相對稱的P′處，在P處彈簧處于伸長狀態(tài)，在P′處彈簧處于壓縮狀態(tài)，彈簧長度并不相等，選項D是錯誤的。 3．(浙江高考)一位游客在千島湖邊欲乘坐游船，當日風浪較大，游船上下浮動。可把游船浮動簡化成豎直方向的簡諧運動，振幅為20 cm，周期為3.0 s。當船上升到最高點時，甲板剛好與碼頭地面平齊。地面與甲板的高度差不超過10 cm時，游客能舒服地登船。在一個周期

19、內，游客能舒服登船的時間是(　　) A．0.5 s B．0.75 s C．1.0 s D．1.5 s 解析：選C　由于振幅A為20 cm，振動方程為y＝Asin ωt(從游船位于平衡位置時開始計時，ω＝)，由于高度差不超過10 cm時，游客能舒服登船，代入數(shù)據(jù)可知，在一個振動周期內，臨界時刻為t1＝，t2＝，所以在一個周期內能舒服登船的時間為Δt＝t2－t1＝＝1.0 s，選項C正確。 4．彈簧振子以O點為平衡位置，在B、C兩點間做簡諧運動，在t＝0時刻，振子從O、B間的P點以速度v向B點運動；在t＝0.2 s時，振子速度第一次變?yōu)椋璿；在t＝0.5 s時，振子速度第二次變?yōu)椋?/p>

20、v。 (1)求彈簧振子振動周期T； (2)若B、C之間的距離為25 cm，求振子在4.0 s內通過的路程； (3)若B、C之間的距離為25 cm。從平衡位置計時，寫出彈簧振子的位移表達式，并畫出彈簧振子的振動圖象。 解析：(1)彈簧振子做簡諧運動的示意圖如圖甲所示。由對稱性可得：T＝ s×4＝1.0 s。 (2)B、C間的距離為2個振幅，則振幅 A＝×25 cm＝12.5 cm。 振子4.0 s內通過的路程為： s＝×4×12.5 cm＝200 cm。 (3)根據(jù)x＝Asin ωt， A＝12.5 cm，ω＝＝2π。 得x＝12.5sin 2πt cm。 振動圖象如圖乙

21、所示。 答案：(1)1.0 s　(2)200 cm　(3)x＝12.5sin 2πt cm　圖象見解析圖 [課堂小結] [課時跟蹤檢測二] 一、單項選擇題 1.如圖所示，彈簧振子以O為平衡位置在BC間做簡諧運動，則(　　) A．從B→O→C為一次全振動 B．從O→B→O→C為一次全振動 C．從C→O→B→O→C為一次全振動 D．從D→C→O→B→O為一次全振動 解析：選C　由全振動的概念可知C正確。 2.如圖所示，彈簧振子的頻率為5 Hz，讓振子從B位置開始振動，并開始計時，則經過0.12 s時(　　) A．振子位于BO之間，運動方向向右 B．振子位于BO

22、之間，運動方向向左 C．振子位于CO之間，運動方向向右 D．振子位于CO之間，運動方向向左 解析：選C　因彈簧振子頻率為5 Hz，則周期為0.2 s，題中所給的時間0.12 s＝ T＜T，而＜T＜T，因此在0.12 s時，振子應位于CO之間且正向右運動，所以選項C正確，A、B、D錯誤。 3．有一個在光滑水平面內的彈簧振子，第一次用力把彈簧壓縮x后釋放讓它振動，第二次把彈簧壓縮2x(彈性限度內)后釋放讓它振動，則先后兩次振動的周期之比和振幅之比分別為(　　) A．1∶1,1∶1 B．1∶1,1∶2 C．1∶4,1∶4 D．1∶2,1∶2 解析：選B　彈簧的壓縮量即為彈簧振子

23、振動過程中偏離平衡位置的最大距離，即振幅，故振幅之比為1∶2。而對同一振動系統(tǒng)，其周期由振動系統(tǒng)自身的性質決定，與振幅無關，則周期之比為1∶1，選項B正確。 4．周期為2 s的簡諧運動，在半分鐘內通過的路程是60 cm，則在此時間內振子經過平衡位置的次數(shù)和振子的振幅分別為(　　) A．15次，2 cm B．30次，1 cm C．15次，1 cm D．60次，2 cm 解析：選B　已知該簡諧運動的周期為2 s，半分鐘為15個周期，一個周期的路程為4倍的振幅，故半分鐘內振子經過平衡位置的次數(shù)為30次；15個周期的路程為60A，即60A＝60 cm，故A＝1 cm，B正確。 5.物

24、體做簡諧運動，其圖象如圖所示，在t1和t2兩時刻，物體的(　　) A．相位相同 B．位移相同 C．速度相同 D．加速度相同 解析：選C　由題圖可知物體做簡諧運動的振動方程為x＝Asin ωt, 其相位為ωt，故t1與t2的相位不同，A錯；t1時刻位移大于零，t2時刻位移小于零，B、D錯；由振動圖象知t1、t2時刻物體所處位置關于平衡位置對稱，速率相同，且均向下振動，方向相同，C對。 6．如圖所示，在光滑水平面上振動的彈簧振子的平衡位置為O，把振子拉到A點，OA＝1 cm，然后釋放振子，經過0.2 s振子第1次到達O點，如果把振子拉到A′點，OA′＝2 cm，則釋放振子后，振子第1次

25、到達O點所需的時間為(　　) A．0.2 s B．0.4 s C．0.1 s D．0.3 s 解析：選A　簡諧運動的周期只跟振動系統(tǒng)本身的性質有關，與振幅無關，兩種情況下振子第1次到達平衡位置所需的時間都是振動周期的，即0.2 s，A正確。 二、多項選擇題 7．下列關于簡諧運動的振幅、周期和頻率的說法正確的是(　　) A．振幅是矢量，方向從平衡位置指向最大位移處 B．周期和頻率的乘積是一個常數(shù) C．振幅增加，周期必然增加，而頻率減小 D．做簡諧運動的物體，其頻率固定，與振幅無關 解析：選BD　振幅是標量，A錯誤；周期和頻率互為倒數(shù)，即Tf＝1，B正確；

26、簡諧運動的周期、頻率由系統(tǒng)本身決定，與振幅沒有關系，所以C錯誤，D正確。 8．一個質點做簡諧運動的圖象如圖所示，下列說法正確的是(　　) A．質點振動頻率為4 Hz B．在10 s內質點經過的路程為20 cm C．在5 s末，質點做簡諧運動的相位為π D．t＝1.5 s和t＝4.5 s兩時刻質點的位移大小相等，都是 cm 解析：選BD　由題圖知T＝4 s故f＝0.25 Hz，A錯；在10 s內質點完成的全振動次數(shù)為n＝＝次，在一次全振動過程中質點通過的路程為4A＝8 cm，故10 s內通過的路程為×8 cm＝20 cm，B對；5 s末質點的相位為t＝×5＝π，故C錯；由振動方程x＝

27、Asint＝2sint知，當t1＝1.5 s時，x1＝ cm，當t2＝4.5 s 時，x2＝ cm，故D對。 9．彈簧振子在AOB之間做簡諧運動，O為平衡位置，測得A、B之間的距離為8 cm，完成30次全振動所用時間為60 s，則(　　) A．振子的振動周期是2 s，振幅是8 cm B．振子的振動頻率是2 Hz C．振子完成一次全振動通過的路程是16 cm D．振子通過O點時開始計時，3 s內通過的路程為24 cm 解析：CD　由題干知A、B之間的距離為8 cm，則A＝4 cm，A錯；周期T＝ s＝2 s，所以振子的振動頻率為f＝ Hz＝0.5 Hz，B錯；振子完成一次全振動所通過

28、的路程為4個振幅，即4A＝16 cm，C對；3 s內通過的路程是6個振幅，即6A＝24 cm，D對。 10.如圖所示，彈簧振子的小球在B、C之間做簡諧運動，O為B、C間的中點，B、C間的距離為10 cm，則下列說法中正確的是(　　) A．小球的最大位移是10 cm B．只有在B、C兩點時，小球的振幅是5 cm，在O點時，小球的振幅是零 C．無論小球在哪一位置，它的振幅都是5 cm D．從任意時刻起，一個周期內小球經過的路程都是20 cm 解析：選CD　小球的最大位移是5 cm，故A錯誤；振幅是小球離開平衡位置的最大距離，即小球在任何位置時振幅都是5 cm，故B錯誤，C正確；從任意時

29、刻起小球在一個周期內的路程為4A＝4×5 cm＝20 cm，故D正確。 11．一質點做簡諧運動的位移x與時間t的關系如圖所示，由圖可知(　　) A．頻率是2 Hz B．振幅是5 cm C．t＝1.7 s時的加速度為正，速度為負 D．t＝0.5 s時質點所受的合外力為零 解析：選CD　由題圖可知，質點振動的周期為2.0 s，易得頻率為0.5 Hz。振幅為5 m，A、B選項錯誤；t＝1.7 s時的位移為負，加速度為正，速度為負，C選項正確；t＝0.5 s時質點在平衡位置，所受的合外力為零，D選項正確。 三、非選擇題 12．一物體沿x軸做簡諧運動，振幅為8 cm，頻率為0.5 Hz，

30、在t＝0時，位移是4 cm，且向x軸負方向運動。 (1)試寫出用正弦函數(shù)表示的振動方程。 (2)10 s內通過的路程是多少？ 解析：(1)簡諧運動振動方程的一般表示式為 x＝Asin(ωt＋φ)。 根據(jù)題目條件，有：A＝0.08 m，ω＝2πf＝π。所以 x＝0.08sin(πt＋φ)m。 將t＝0，x＝0.04 m，代入得 0．04 m＝0.08sin φ m， 解得初相位φ＝或φ＝π， 因為t＝0時，速度方向沿x軸負方向，即位移在減小，所以取φ＝π。 故所求的振動方程為x＝0.08sin(πt＋π)m。 (2)周期T＝＝2 s，所以 10 s＝5T， 因1T內的路程是4A， 則10 s內通過的路程s＝5×4A＝20×8 cm＝160 cm。 答案：(1)x＝0.08sin(πt＋π)m　(2)160 cm 13