6、斷力是否做功及做正、負功的方法
(1)看力F的方向與位移l的方向間的夾角α——常用于恒力做功的情形。
(2)看力F的方向與速度v的方向間的夾角θ——常用于曲線運動的情形。
(3)根據(jù)動能的變化：動能定理描述了合外力做功與動能變化的關系，即W合＝ΔEk，當動能增加時合外力做正功，當動能減少時合外力做負功。
2.恒力做功的計算方法
直接用W＝Flcos α計算。
3.合力做功的計算方法
方法一：先求合力F合，再用W合＝F合lcos α求功。
方法二：先求各個力做的功W1、W2、W3…，再應用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。
1.(多選)一個力對物體做了負功，則說明(
7、 )
A.這個力一定阻礙物體的運動
B.這個力不一定阻礙物體的運動
C.這個力與物體運動方向的夾角α>90°
D.這個力與物體運動方向的夾角α<90°
解析 由功的表達式W＝Flcos α知，只有當α>90°時，cos α<0，力對物體做負功，此力阻礙物體的運動，故選項A、C正確。
答案 AC
2.(多選)小狗拉著雪橇在水平冰面上沿著圓弧形的道路勻速行駛，如圖3所示為雪橇受到的牽引力F及摩擦力Ff的示意圖(O為圓心)，關于各力做功情況，下列說法正確的是( )
圖3
A.牽引力F做正功
B.摩擦力Ff做負功
C.F與Ff的合力做正功
D.F與Ff的合力不做功
解析
8、 牽引力做正功，選項A正確；由于雪橇在冰面上滑動，其滑動摩擦力方向必與運動方向相反，摩擦力做負功，所以選項B正確；雪橇做勻速圓周運動，牽引力F及摩擦力Ff的合力提供向心力，指向圓心，所以不做功，選項C錯誤，D正確。
答案 ABD
3.(2017·全國卷Ⅱ，14)如圖4所示，一光滑大圓環(huán)固定在桌面上，環(huán)面位于豎直平面內(nèi)，在大圓環(huán)上套著一個小環(huán)。小環(huán)由大圓環(huán)的最高點從靜止開始下滑，在小環(huán)下滑的過程中，大圓環(huán)對它的作用力( )
圖4
A.一直不做功 B.一直做正功
C.始終指向大圓環(huán)圓心 D.始終背離大圓環(huán)圓心
解析 因為大圓環(huán)光滑，所以大圓環(huán)對小環(huán)的作用力只有彈力，且彈
9、力的方向總是沿半徑方向，與速度方向垂直，故大圓環(huán)對小環(huán)的作用力一直不做功，選項A正確，B錯誤；開始時大圓環(huán)對小環(huán)的作用力背離圓心，到達圓心等高點及下方，大圓環(huán)對小環(huán)的作用力指向圓心，故選項C、D錯誤。
答案 A
4.如圖5所示，質(zhì)量為m的物體在恒力F的作用下從底端沿斜面向上一直勻速運動到頂端，斜面高h，傾斜角為θ，現(xiàn)把物體放在頂端，發(fā)現(xiàn)物體在輕微擾動后可勻速下滑，重力加速度大小為g。則在上升過程中恒力F做的功為( )
圖5
A.Fh B.mgh C.2mgh D.無法確定
解析 把物體放在頂端，發(fā)現(xiàn)物體在輕微擾動后可勻速下滑，則物體受力平衡，則有Ff＝mgsin θ
10、。上滑過程中，物體也做勻速直線運動，受力平衡，則有F＝mgsin θ＋Ff＝2mgsin θ，則在上升過程中恒力F做的功W＝F·＝2mgsin θ·＝2mgh，故選項C正確。
答案 C
功率的理解與計算
1.平均功率的計算方法
(1)利用＝。
(2)利用＝Fcos α，其中為物體運動的平均速度。
2.瞬時功率的計算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α，其中v為t時刻的瞬時速度。
(2)利用公式P＝FvF，其中vF為物體的速度v在力F方向上的分速度。
(3)利用公式P＝Fvv，其中Fv為物體受到的外力F在速度v方向上的分力。
1.(2017·佛山模擬)質(zhì)量為2 kg的
11、小鐵球從某一高度由靜止釋放，經(jīng)3 s到達地面，不計空氣阻力，g取10 m/s2。則( )
A.2 s末重力的瞬時功率為200 W
B.2 s末重力的瞬時功率為400 W
C.2 s內(nèi)重力的平均功率為100 W
D.2 s內(nèi)重力的平均功率為400 W
解析 物體只受重力，做自由落體運動，2 s末速度為v1＝gt1＝20 m/s，下落2 s末重力做功的瞬時功率P＝mgv1＝2×10×20 W＝400 W，故選項A錯誤，B正確；2 s內(nèi)的位移為h2＝gt＝20 m，所以前2 s內(nèi)重力的平均功率為2＝＝ W＝200 W，故選項C、D錯誤。
答案 B
2.(2017·天津南開區(qū)模擬)一個
12、高中生騎電動車以20 km/h的速度勻速行駛，電動車所受的阻力是人和車總重力的。已知人和車的總質(zhì)量約為80 kg，重力加速度大小g取10 m/s2，則此時電動車電機的輸出功率約為( )
A.50 W B.100 W C.450 W D.800 W
解析 車在勻速行駛時，人和車受力平衡，人和車受到的阻力大小為Ff＝mg＝×800 N＝80 N，此時的功率P＝Fv＝Ffv＝80× W＝444 W，所以選項C正確。
答案 C
3.如圖6所示是具有登高平臺的消防車，具有一定質(zhì)量的伸縮臂能夠在5 min內(nèi)使承載4人的登高平臺(人連同平臺的總質(zhì)量為400 kg)上升60 m到達滅火位置。
13、此后，在登高平臺上的消防員用水炮滅火，已知水炮的出水量為3 m3/min，水離開炮口時的速率為20 m/s，取g＝10 m/s2，則用于( )
圖6
A.水炮工作的發(fā)動機輸出功率約為1×104 W
B.水炮工作的發(fā)動機輸出功率約為4×104 W
C.水炮工作的發(fā)動機輸出功率約為2.4×106 W
D.伸縮臂抬升登高平臺的發(fā)動機輸出功率約為800 W
解析 水炮的發(fā)動機作用是把水從地面運到水炮處，再由水炮發(fā)射出去，因此發(fā)動機做的功轉化為水發(fā)射時的動能和重力勢能，所以輸出功率P＝＝，每秒射出水的質(zhì)量m＝1 000× kg＝50 kg，代入得P＝4×104 W，選項B正確，A、C錯
14、誤；伸縮臂的發(fā)動機做功把人和伸縮臂本身抬高了60 m，伸縮臂本身有一定的質(zhì)量，伸縮臂自身的重力勢能也增加，所以伸縮臂發(fā)動機的功率大于P1＝＝ W＝800 W，選項D錯誤。
答案 B
求解功率時應注意的三個問題
(1)首先要明確所求功率是平均功率還是瞬時功率。
(2)平均功率與一段時間(或過程)相對應，計算時應明確是哪個力在哪段時間(或過程)內(nèi)做功的平均功率。
(3)瞬時功率計算時應明確是哪個力在哪個時刻(或狀態(tài))的功率?！ ?
機車啟動問題
1.模型一 以恒定功率啟動
(1)此過程中，機車的速度v、牽引力F和機車的加速度a的變化情況如下。
(2)機車的速度v隨
15、時間t變化的關系如圖7所示。
圖7
2.模型二 以恒定加速度啟動
(1)動態(tài)變化過程如下：
(2)機車的速度v隨時間t變化的關系如圖8所示。
圖8
3.四個常用規(guī)律
(1)P＝Fv。
(2)F－Ff＝ma。
(3)v＝at(a恒定)。
(4)Pt－Ffx＝ΔEk(P恒定)。
【典例】 汽車發(fā)動機的額定功率為60 kW，汽車的質(zhì)量為5×103 kg，汽車在水平路面上行駛時，阻力是車重力的0.1倍(g取 10 m/s2)，試求：
(1)若汽車保持額定功率不變從靜止啟動，汽車所能達到的最大速度是多大？當汽車的加速度為2 m/s2時速度是多大？
(2)若汽車從靜止
16、開始，保持以0.5 m/s2的加速度做勻加速直線運動，這一過程能維持多長時間？
解析 汽車運動中所受阻力大小為Ff＝0.1mg①
(1)當a＝0時速度最大，牽引力等于Ff的大小，
則最大速度vmax＝②
聯(lián)立①②解得vmax＝12 m/s。
設汽車加速度為2 m/s2時牽引力為F1
由牛頓第二定律得F1－Ff＝ma③
此時汽車速度v1＝④
聯(lián)立③④并代入數(shù)據(jù)得v1＝4 m/s。
(2)當汽車以加速度a′＝0.5 m/s2勻加速運動時，設牽引力為F2
由牛頓第二定律得F2－Ff＝ma′⑤
汽車勻加速過程所能達到的最大速度vt＝⑥
聯(lián)立①⑤⑥并代入數(shù)據(jù)解得t＝＝16 s。
17、
答案 (1)12 m/s 4 m/s (2)16 s
機車啟動問題的求解方法
(1)機車的最大速度vmax的求法
機車以額定功率做勻速運動時速度最大，此時牽引力F等于阻力Ff，故vmax＝＝。
(2)勻加速啟動時，做勻加速運動的時間t的求法
牽引力F＝ma＋Ff，勻加速運動的最大速度vmax′＝，時間t＝。
(3)瞬時加速度a的求法
根據(jù)F＝求出牽引力，則加速度a＝?！ ?
1.質(zhì)量為m的汽車，啟動后沿平直路面行駛，如果發(fā)動機的功率恒為P，且行駛過程中受到摩擦阻力大小一定，汽車速度能夠達到的最大值為v，那么當汽車的車速為時，汽車的瞬時加速度的大小為( )
A
18、. B. C. D.
解析 當汽車勻速行駛時，有Ff＝F＝，根據(jù)P＝F′，得F′＝，由牛頓第二定律得a＝＝＝，故選項B正確，A、C、D錯誤。
答案 B
2.(多選)汽車在平直的公路上以恒定的功率啟動，設阻力恒定，則圖9中關于汽車運動過程中加速度、速度隨時間變化的關系，以下判斷正確的是( )
圖9
A.汽車的加速度—時間圖象可用圖乙描述
B.汽車的速度—時間圖象可用圖甲描述
C.汽車的加速度—時間圖象可用圖丁描述
D.汽車的速度—時間圖象可用圖丙描述
解析 由牛頓第二定律得F－Ff＝ma，F(xiàn)＝，即－Ff＝ma，隨著v的增大，物體做加速度減小的加速運動，在v－t
19、圖象上斜率應越來越小，故圖甲為汽車的速度—時間圖象，選項B正確，D錯誤；由a＝－知，因速度增加得越來越慢，加速度減小得越來越慢，最后趨于零，故圖乙為汽車加速度—時間圖象，選項A正確，C錯誤。
答案 AB
變力做功的計算方法——科學思維能力的培養(yǎng)
【例】 (2015·海南單科)如圖10所示，一半徑為R的半圓形軌道豎直固定放置，軌道兩端等高，質(zhì)量為m的質(zhì)點自軌道端點P由靜止開始滑下，滑到最低點Q時，對軌道的正壓力為2mg，重力加速度大小為g。質(zhì)點自P滑到Q的過程中，克服摩擦力所做的功為( )
圖10
A.mgR B.mgR
C.mgR D.mgR
解析
20、在Q點質(zhì)點受到豎直向下的重力和豎直向上的支持力，兩力的合力充當向心力，所以有FN－mg＝m，F(xiàn)N＝2mg，聯(lián)立解得v＝，下滑過程中，根據(jù)動能定理可得mgR－Wf＝mv2，解得Wf＝mgR，所以克服摩擦力做功mgR，選項C正確。
答案 C
【針對訓練】 輕質(zhì)彈簧右端固定在墻上，左端與一質(zhì)量m＝0.5 kg的物塊相連，如圖11甲所示，彈簧處于原長狀態(tài)，物塊靜止，物塊與水平面間的動摩擦因數(shù)μ＝0.2。以物塊所在處為原點，水平向右為正方向建立x軸，現(xiàn)對物塊施加水平向右的外力F，F(xiàn)隨x軸坐標變化的情況如圖乙所示，物塊運動至x＝0.4 m處時速度為零，則此時彈簧的彈性勢能為(g＝10 m/s2)(
21、)
圖11
A.3.1 J B.3.5 J C.1.8 J D.2.0 J
解析 物塊與水平面間的摩擦力為Ff＝μmg＝1 N?，F(xiàn)對物塊施加水平向右的外力F，由F－x圖象面積表示功可知，物塊運動至x＝0.4 m處時F做功W＝3.5 J，克服摩擦力做功Wf＝Ffx＝0.4 J。由功能關系可知W－Wf＝Ep，此時彈簧的彈性勢能為Ep＝3.1 J，選項A正確。
答案 A
活頁作業(yè)
(時間：40分鐘)
A級：保分練
1.如圖1所示，一小孩和一大人都以水平方向的力勻速推動相同的木箱在相同的路面走同樣的位移(推箱的速度大小如圖中所示)，比較此過程中兩人分別對木箱做的功，下列
22、說法正確的是( )
圖1
A.大人做的功多
B.小孩做的功多
C.大人和小孩做的功一樣多
D.條件不足，無法判斷
解析 因為木箱勻速運動，小孩和大人所用的推力相等，又因為所走的位移相同，所以做功一樣多，選項C正確。
答案 C
2.關于摩擦力和功，下列說法正確的是( )
A.靜摩擦力總是做正功，滑動摩擦力總是做負功
B.靜摩擦力對物體不一定做功，滑動摩擦力對物體一定做功
C.靜摩擦力對物體一定做功，滑動摩擦力對物體可能不做功
D.靜摩擦力和滑動摩擦力都可能對物體不做功
解析 力對物體做功，必須具備兩個條件：力和在力的方向上有位移。判斷摩擦力是否做功及做多少功，要
23、具體分析受力物體在摩擦力方向上是否有位移及位移的方向與摩擦力的方向間的夾角。靜摩擦力和滑動摩擦力都可以是動力，都可以對物體做正功，也可對物體都不做功。選項D正確。
答案 D
3.起重機以1 m/s2的加速度將質(zhì)量為1 000 kg的貨物由靜止開始勻加速向上提升，g取10 m/s2，則在1 s內(nèi)起重機對貨物做的功是( )
A.500 J B.4 500 J C.5 000 J D.5 500 J
解析 貨物的加速度向上，由牛頓第二定律可得F－mg＝ma，
起重機的拉力F＝mg＋ma＝11 000 N。
貨物的位移是l＝at2＝0.5 m，
起重機對貨物做功為W＝Fl＝5
24、500 J，故選項D正確。
答案 D
4.(2017·山西四校聯(lián)考)(多選)如圖2所示，擺球質(zhì)量為m，懸繩長為L，把懸線拉到水平位置后放手。設在擺球從A點運動到B點的過程中空氣阻力F阻的大小不變，重力加速度大小為g。則下列說法正確的是( )
圖2
A.重力做功為mgL
B.繩的拉力做功為mgL
C.空氣阻力F阻做功為－mgL
D.空氣阻力F阻做功為－F阻·πL
解析 小球下落L的過程中，重力做功為mgL，選項A正確；繩的拉力始終與速度方向垂直，拉力做功為0，選項B錯誤；空氣阻力F阻大小不變，方向始終與速度方向相反，故空氣阻力F阻做功為W＝－F阻·πL，選項C錯誤，D正確。
25、
答案 AD
5.(多選)如圖3甲所示，用起重機將地面上靜止的貨物豎直向上吊起，貨物由地面運動至最高點的過程中，其v－t圖象如圖3乙所示。下列說法正確的是( )
甲 乙
圖3
A.在0～t1時間內(nèi)，貨物處于超重狀態(tài)
B.在t1～t2時間內(nèi)，起重機拉力對貨物不做功
C.在t2～t3時間內(nèi)，起重機拉力對貨物做負功
D.勻速階段拉力的功率可能比加速階段某一時刻拉力的瞬時功率小
解析 由v－t圖象可知在0～t1時間內(nèi)，貨物具有向上的加速度，故處于超重狀態(tài)，選項A正確；在t1～t3時間內(nèi)，起重機的拉力始終豎直向上，一直做正功，選項B、C錯誤；勻速階段拉力小于加
26、速階段的拉力，而勻速階段的速度大于加速階段的速度，由P＝Fv可知勻速階段拉力的功率可能比加速階段某一時刻拉力的瞬時功率小，選項D正確。
答案 AD
6.在光滑的水平面上，用一水平拉力F使物體從靜止開始移動x，平均功率為P，如果將水平拉力增加為4F，使同一物體從靜止開始移動x，平均功率為( )
A.2P B.4P C.6P D.8P
解析 設第一次運動時間為t，則其平均功率表達式為P＝；第二次加速度為第一次的4倍，由x＝at2可知時間為，其平均功率為P′＝＝＝8P，選項D正確。
答案 D
7.一物體所受的力F隨位移x變化的圖象如圖4所示，求在這一過程中，力F對物體做的功
27、為( )
圖4
A.3 J B.6 J C.7 J D.8 J
解析 力F對物體做的功等于圖線與橫軸x所包圍面積的代數(shù)和，即
W1＝×(3＋4)×2 J＝7 J
W2＝－×(5－4)×2 J＝－1 J
所以力F對物體做的功為W＝7 J－1 J＝6 J。
故選項B正確。
答案 B
8.(2017·鄭州高三檢測)(多選)如圖5所示，斜面頂端A與另一點B在同一水平線上，甲、乙兩小球質(zhì)量相等。小球甲沿光滑斜面以初速度v0從頂端A滑到底端，小球乙以同樣的初速度從B點拋出，不計空氣阻力，則( )
圖5
A.兩小球落地時速率相同
B.兩小球落地時，
28、重力的瞬時功率相同
C.從開始運動至落地過程中，重力對它們做功相同
D.從開始運動至落地過程中，重力的平均功率相同
解析 由于斜面光滑，且不計空氣阻力，故兩小球運動過程中只有重力做功，由機械能守恒定律可知兩小球落地時速率相同，故選項A正確；由于A小球沿斜面做勻加速運動，B小球做斜拋運動，它們落地時的速度方向不同，故兩小球落地時，重力的瞬時功率不相同，選項B錯誤；由于重力做功與路徑無關，只與始末位置的高度差有關，故從開始運動至落地過程中，重力對它們做功相同，選項C正確；由于兩小球的運動規(guī)律不同，所以從開始運動至落地過程中所用時間不同，由P＝可知重力的平均功率不同，選項D錯誤。
答案 AC
29、
B級：拔高練
9.如圖6所示，質(zhì)量為m＝2 kg的木塊在傾角θ＝37°的斜面上由靜止開始下滑，木塊與斜面間的動摩擦因數(shù)為μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取
10 m/s2，則前2 s內(nèi)重力的平均功率和2 s末的瞬時功率分別為( )
圖6
A.48 W 24 W B.24 W 48 W
C.24 W 12 W D.12 W 24 W
解析 木塊所受的合外力F合＝mgsin θ－μmgcos θ
＝mg(sin θ－μcos θ)＝2×10×(0.6－0.5×0.8) N＝4 N
木塊的加速度a＝＝ m/s2＝2 m/s2
30、前2 s內(nèi)木塊的位移x＝at2＝×2×22 m＝4 m
所以，重力在前2 s內(nèi)做的功為
W＝mgxsin θ＝2×10×4×0.6 J＝48 J
重力在前2 s內(nèi)的平均功率為＝＝ W＝24 W。
木塊在2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s
2 s末重力的瞬時功率
P＝mgsin θ·v＝2×10×0.6×4 W＝48 W。
故選項B正確。
答案 B
10.(2017·襄陽模擬)武廣高鐵已通車運行，速度最高可達390 km/h，轉彎時的半徑達到了8 km。若機車在運行過程中所受的阻力大小始終不變，在某一段直線軌道上勻加速運動的過程中，下列說法正確的是( )
A
31、.機車輸出功率不變
B.機車輸出功率逐漸增大
C.機車一直勻加速運動，直到最大速度
D.在任意兩相等的時間內(nèi)，機車動能變化相同
解析 勻加速運動合外力F為定值，又因為阻力不變，故牽引力不變，由P＝Fv，v逐漸增大，所以P增大，故選項A錯誤，B正確；當功率達到額定功率后，機車的功率就不能增大，要增大速度，則要減小牽引力，當牽引力等于阻力時，機車速度達到最大值，所以機車勻加速運動過程達不到最大速度，故選項C錯誤；ΔEk＝W合＝(F－Ff)s，在任意相等時間內(nèi)，F(xiàn)、Ff、a都是定值，因為物體做勻加速運動，故在任意相等時間內(nèi)，s不同，ΔEk不同，故選項D錯誤。
答案 B
11.如圖7所示，
32、質(zhì)量為60 kg的某運動員在做俯臥撐運動，運動過程中可將她的身體視為一根直棒。已知重心在c點，其垂線與腳、兩手連線中點間的距離oa、ob分別為0.9 m和0.6 m。若她在1 min內(nèi)做了30個俯臥撐，每次肩部上升的距離均為0.4 m，則克服重力做的功和相應的功率約為(取g＝10 m/s2)( )
圖7
A.430 J，7 W B.4 300 J，70 W
C.720 J，12 W D.7 200 J，120 W
解析 設重心上升的高度為h，根據(jù)相似三角形可知，每次俯臥撐中，有＝，即h＝0.24 m。一次俯臥撐中，克服重力做功W＝mgh＝60×10×0.24 J＝14
33、4 J，所以一分鐘內(nèi)克服重力做的總功為W總＝NW＝4 320 J，功率P＝＝72 W，故選項B正確。
答案 B
12.(2017·廣東七校聯(lián)考)如圖8所示，水平傳送帶長為L，始終以速度v保持勻速運動，把質(zhì)量為m的貨物無初速度地放到A點，當貨物運動到AC的中點B時速度恰為v，而后被傳送到C點。貨物與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為μ，重力加速度大小為g。則貨物從A點到C點的過程中( )
圖8
A.摩擦力對貨物做的功為μmgL
B.摩擦力對貨物做功的平均功率為μmgv
C.傳送帶克服摩擦力做功為μmgL
D.傳送帶克服摩擦力做功的平均功率為μmgv
解析 由于貨物在運動過程中，當速度
34、達到v時，不再受摩擦力，故摩擦力所做的功Wf＝μmg·，故選項A錯誤；在貨物加速過程中，摩擦力做功Wf＝μmg·，由運動學公式有＝t1＝t1，設貨物從A點到C點所用時間為t，則摩擦力對貨物做功的平均功率＝＝＝μmgv，故選項B錯誤；貨物在加速過程中平均速度為，而傳送帶的速度為v，貨物加速運動的位移為，則傳送帶前進的位移一定為L，故傳送帶克服摩擦力所做的功為Wf′＝μmgL，故選項C正確；貨物從B點到C點所用時間t2＝，所以，從A點到C點用時t＝，故傳送帶克服摩擦力做功的平均功率應為＝＝μmgv，故選項D錯誤。
答案 C
13.下表是一輛電動車的部分技術指標，其中的額定車速是指電動車滿載的情
35、況下，在平直道路上以額定功率勻速行駛時的速度。
額定車速
18 km/h
電源輸出電壓
≥36 V
整車質(zhì)量
40 kg
充電時間
6～8 h
載重
80 kg
電動機的額定輸出功率
180 W
電源
36 V/12 Ah
電動機的額定工作電壓/電流
36 V/6 A
請根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，完成下列問題(g取10 m/s2)。
(1)在行駛的過程中，電動車受到的阻力是車重(包括載重)的k倍，假定k是定值，試推算k的大??；
(2)若電動車以額定功率行駛，求速度為3 m/s時的加速度是多少？
解析 (1)由表可得到P出＝180 W，車速v＝18 km/h＝5 m/s，由P出＝Fv，勻速直線運動時有F＝f，其中
f＝k(M＋m)g，解得k＝0.03。
(2)當車速v′＝3 m/s時，牽引力F′＝，由牛頓第二定律知F′－k(M＋m)g＝(m＋M)a，解得a＝0.2 m/s2。
答案 (1)0.03 (2)0.2 m/s2
19
2019版高考物理總復習 第五章 機械能 基礎課1 功和功率學案
