2019-2020學(xué)年高中物理 第5章 力與平衡 第3節(jié)、第4節(jié) 力的平衡 平衡條件的應(yīng)用講義+測試（含解析）魯科版必修1

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1、第3節(jié) 力的平衡 第4節(jié) 平衡條件的應(yīng)用 1．知道平衡狀態(tài)和力的平衡的概念。 2．了解共點力作用下物體平衡的條件。 3．了解平衡的種類及影響穩(wěn)度的因素。 4．知道靜態(tài)平衡、物體在某一方向的平衡及動態(tài)平衡。 5．會用共點力的平衡條件解決實際問題。 1.共點力作用下物體的平衡條件 (1)平衡狀態(tài) 如果一個物體保持靜止或做勻速直線運動，我們就說這個物體是處于平衡狀態(tài)。 (2)共點力的平衡條件 合力為零，即F合＝0。 (3)力的平衡 作用在物體上的幾個力的合力為零，這種情況叫做力的平衡。 2．平衡的種類和穩(wěn)度 (1)平衡的種類 ①不穩(wěn)定平衡。②穩(wěn)定平衡。③隨遇平衡

2、。 (2)穩(wěn)度及影響穩(wěn)度的因素 ①穩(wěn)度：物體的穩(wěn)定程度。 ②影響因素 a．重心的高低。重心越低，穩(wěn)度越大。 b．支持面的大小。支持面越大，穩(wěn)度越大。 3．平衡條件的應(yīng)用 (1)物體的靜態(tài)平衡 物體所受力的合力為零，處于靜止的平衡狀態(tài)。 (2)物體在某方向的平衡 運動的物體在某一方向上合力為零時，在該方向上處于平衡狀態(tài)。 想一想 1.當(dāng)物體的速度為零時，是否一定處于平衡狀態(tài)？ 提示：不一定，如物體做自由落體運動的初始時刻速度為零，但合外力不為零，物體沒有處于平衡狀態(tài)。 2. 我們都玩過壘積木，且積木壘得越高時，難度越大，積木傾倒的可能性越大，你能用力學(xué)原理解釋嗎？

3、 提示：積木壘得越高時，重心越高，穩(wěn)度越低，積木傾倒的可能性越大。 判一判 (1)平直道路上高速勻速行駛的賽車處于平衡狀態(tài)。(　　) (2)百米競賽中，運動員在起跑時速度為零的瞬間處于平衡狀態(tài)。(　　) (3)合力保持恒定的物體處于平衡狀態(tài)。(　　) 提示：(1)√　賽車沿平直道路高速勻速行駛，合力為零，故賽車處于平衡狀態(tài)。 (2)×　運動員起跑瞬間雖然速度為零，但具有加速度，不處于平衡狀態(tài)。 (3)×　當(dāng)合力恒定且不為零時，物體的速度會發(fā)生變化，物體不處于平衡狀態(tài)。 課堂任務(wù)　共點力作用下物體的平衡條件 1．平衡狀態(tài) 平衡狀態(tài)指物體保持靜止?fàn)顟B(tài)或勻速直線

4、運動狀態(tài)。 　對靜止?fàn)顟B(tài)的理解：靜止與速度v＝0不是一回事。物體保持靜止?fàn)顟B(tài)，說明v＝0，a＝0，兩者同時成立。若僅是 v＝0，a≠0，如自由下落開始時刻的物體，并非處于靜止?fàn)顟B(tài)。 2．共點力平衡的條件：合力為0。 數(shù)學(xué)表達式有兩種：①F合＝0；② Fx合和Fy合分別是將力進行正交分解后，物體在x軸和y軸上所受的合力。 3．共點力平衡的幾種常見類型 (1)物體受兩個力平衡時，這兩個力等大反向共線，是一對平衡力。 (2)物體受三個力平衡時，任意兩個力的合力與第三個力等大反向共線。 (3)物體受三個以上的力平衡時，其中任意一個力與另外幾個力的合力等大反向共線。 4．物體在某方

5、向上的平衡 做變速直線運動的物體，物體所受的一切外力在垂直運動方向上分力的矢量和為零，則物體在垂直運動方向上處于平衡狀態(tài)。 5．共點力平衡問題的常見處理方法 方法 內(nèi)容 合成法 物體受三個共點力的作用而平衡，則任意兩個力的合力一定與第三個力大小相等，方向相反，作用線在同一直線上 分解法 物體受三個共點力的作用而平衡，將某一個力按力的效果分解，則其分力和其他兩個力滿足平衡條件 正交 分解法 物體受到三個或三個以上力的作用而平衡，將物體所受的力分解為相互垂直的兩組，每組力都滿足平衡條件 力的三 角形法 對受三力作用而平衡的物體，將力的矢量圖平移使三力組成一個首尾依次相接

6、的矢量三角形，根據(jù)正弦定理、余弦定理或相似三角形等數(shù)學(xué)知識求解未知力 例1　在科學(xué)研究中，可以用風(fēng)力儀直接測量風(fēng)力的大小，其原理如圖所示。儀器中一根輕質(zhì)金屬絲，懸掛著一個金屬球。無風(fēng)時，金屬絲豎直下垂；當(dāng)受到沿水平方向吹來的風(fēng)時，金屬絲偏離豎直方向一個角度。風(fēng)力越大，偏角越大。通過傳感器，就可以根據(jù)偏角的大小指示出風(fēng)力。那么，風(fēng)力大小F跟金屬球的質(zhì)量m、偏角θ之間有什么樣的關(guān)系呢？ (1)有風(fēng)時金屬球受哪幾個力的作用？ 提示：有風(fēng)時，它受到三個力的作用：重力mg、水平方向的風(fēng)力F和金屬絲的拉力FT。 (2)小球受到的風(fēng)力F和拉力FT的合力與重力是什么關(guān)系？ 提示：是平衡力

7、，滿足大小相等，方向相反且共線。 (3)重力產(chǎn)生的作用效果是什么？ 提示：一是沿著金屬絲向左下方拉金屬絲，二是沿著水平方向向右拉小球。 [規(guī)范解答]　取金屬球為研究對象，它受到三個力的作用：重力mg、水平方向的風(fēng)力F和金屬絲的拉力FT，如圖所示。這三個力是共點力，在這三個共點力的作用下金屬球處于平衡狀態(tài)，則這三個力的合力為零?？梢愿鶕?jù)合成法、分解法、正交分解法求解。 解法一：(合成法) 根據(jù)任意兩力的合力與第三個力等大反向，如圖甲所示，風(fēng)力F和拉力FT的合力與重力等大反向，由平行四邊形定則可得F＝mgtanθ。 解法二：(分解法) 重力有兩個作用效果：使金屬球抵抗風(fēng)的吹力和使

8、金屬絲拉緊，所以可以將重力沿水平方向和金屬絲的方向進行分解，如圖乙所示，由幾何關(guān)系可得F＝F′＝mgtanθ。 解法三：(正交分解法) 以金屬球為坐標原點，取水平方向為x軸，豎直方向為y軸，建立坐標系，如圖丙所示。水平方向的合力Fx合和豎直方向的合力Fy合均等于零，即Fx合＝FTsinθ－F＝0，F(xiàn)y合＝FTcosθ－mg＝0，解得F＝mgtanθ。 由所得結(jié)果可見，當(dāng)金屬球的質(zhì)量m一定時，風(fēng)力F只跟偏角θ有關(guān)。因此，根據(jù)偏角θ的大小就可以指示出風(fēng)力的大小。 　　 [完美答案]　F＝mgtanθ 1．處理平衡問題的“四步驟” 2．正交分解法坐標軸方向的選取技巧

9、(1)研究水平面上的物體時，通常沿水平方向和豎直方向建立坐標軸； (2)研究斜面上的物體時，通常沿斜面方向和垂直斜面方向建立坐標軸； (3)研究在桿或繩的作用下轉(zhuǎn)動的物體時，通常沿桿或繩方向和垂直桿或繩的方向建立坐標軸。 　如圖所示，一條輕質(zhì)細繩跨過定滑輪連接物體A、B，A懸掛起來，B穿在一根豎直桿上，兩物體均保持靜止，不計繩與滑輪、B與豎直桿間的摩擦，已知繩與豎直桿間的夾角為θ，則物體A、B的質(zhì)量之比mA∶mB等于(　　) A．cosθ∶1 B．1∶cosθ C．tanθ∶1 D．1∶sinθ 答案　B 解析　物體A受力平衡，則細繩的拉力F＝mAg；物體B受力平

10、衡，則細繩的拉力F在豎直方向的分力與物體B的重力大小相等，即Fcosθ＝mBg，故mA∶mB＝1∶cosθ，故選B。 課堂任務(wù)　動態(tài)平衡問題 緩慢變化中的每一個瞬間物體常?？梢暈樘幱谄胶鉅顟B(tài)，但物體的受力情況可能發(fā)生變化，這時物體的受力分析就是動態(tài)平衡受力分析。常用的方法有如下幾種： 1．解析法：對研究對象的任一狀態(tài)進行受力分析，建立平衡方程，求出因變參量與自變參量的一般函數(shù)，然后根據(jù)自變參量的變化確定因變參量的變化。很多情況是通過三角函數(shù)分析力的變化情況，一般用于較簡單的動態(tài)平衡受力分析問題。 2．圖解法：對研究對象進行受力分析，再根據(jù)平行四邊形定則或三角形定則畫出不同狀態(tài)下

11、力的矢量圖(畫在同一個圖中)，然后根據(jù)有向線段(表示力)的長度、方向的變化判斷各個力的變化情況。 (1)平行四邊形法 ①特點：物體受三個力作用，一個力大小、方向不變(通常是重力)，另兩個力中有一個力的方向不變。 ②原理：根據(jù)平行四邊形定則，將大小、方向不變的力沿另兩個力的反方向分解，根據(jù)物體處于平衡狀態(tài)時合力為零，以及兩個分力的大小、方向變化情況判斷另兩個力的大小、方向變化情況。 (2)矢量三角形法 ①特點：物體受三個力作用，一個力大小、方向不變(通常是重力)，另兩個力中有一個力的方向不變，或另兩個力始終相互垂直。 ②原理：根據(jù)物體處于平衡狀態(tài)時合力為零，將物體所受的三個力首尾相接

12、，作在一個力的矢量三角形中，根據(jù)動態(tài)變化過程中，三角形中邊的長度、方向的變化情況判斷力的大小、方向的變化情況。 (3)相似三角形法 ①特點：物體受三個力作用，一個力大小、方向不變(通常是重力)，另外兩個力的方向均發(fā)生變化，且三個力中沒有兩個力保持垂直關(guān)系，但可以找到與力構(gòu)成的矢量三角形相似的幾何三角形。 ②原理：先正確分析物體的受力，畫出受力分析圖，將表示三個力的有向線段首尾相連構(gòu)成三角形，再尋找與力的三角形相似的幾何三角形，利用相似三角形的特點，建立比例關(guān)系，把力的大小變化問題轉(zhuǎn)化為幾何三角形邊長的大小變化問題進行討論。 例2　用繩OD懸掛一個重力為G的物體，O位于半圓形支架

13、的圓心，繩OA、OB的懸點A、B在支架上。懸點A固定不動，結(jié)點O保持不動，開始時，OB水平，將懸點B從圖中所示位置沿支架逐漸移動到C點的過程中，分析繩OA和繩OB上拉力的大小變化情況。 (1)結(jié)點O受哪幾個力作用？ 提示：受繩子OD的拉力、繩子OA的拉力、繩子OB的拉力三個力作用。 (2)結(jié)點O受到的力，各自有什么特點？ 提示：繩子OD對O點的拉力與物體的重力的大小相等，方向相同，即恒定不變，繩子OA的拉力方向不變，繩子OB的拉力方向變化。 (3)我們可以用什么方法進行分析？ 提示：可以用平行四邊形法或矢量三角形法進行分析。 [規(guī)范解答]　解法一：(平行四邊形法)在支架上選取

14、三個點B1、B2、B3，當(dāng)懸點B分別移動到B1、B2、B3各點時，OA、OB上的拉力分別為TA1、TA2、TA3和TB1、TB2、TB3，由于繩子OD對O點的拉力TD＝G，結(jié)點O始終處于平衡狀態(tài)，則將TD沿AO、BO方向分解，如圖所示，分力的大小分別等于繩子OA、OB對O點的拉力大小，分力的方向分別與繩子OA、OB對O點的拉力方向相反，從圖中可以直觀地看出，TA＝TA′逐漸減小，且方向不變；而TB＝TB′先減小，后增大，且方向不斷改變，當(dāng)TB與TA垂直時，TB最小。 解法二：(矢量三角形法)將表示O點所受三個力的有向線段首尾相接，構(gòu)成的矢量三角形如圖所示： 將懸點B從圖中所示位置逐

15、漸移動到C點的過程中，繩OB上的拉力TB與水平方向的夾角α從0°逐漸增大到90°，根據(jù)矢量三角形圖可知繩OA的拉力TA逐漸減小到0，繩OB上的拉力TB先減小后增大到TB＝TD＝G。 [完美答案]　繩OA的拉力逐漸減小　繩OB的拉力先減小后增大 求解動態(tài)平衡問題的思路 　如圖所示，小球A吊著一個質(zhì)量為m2的物塊并套在另一個豎直放置的大圓環(huán)上，有一細線一端拴在小球A上，另一端跨過固定在大圓環(huán)最高點處的小滑輪B后吊著一個質(zhì)量為m1的物塊。如果小球、滑輪、細線的大小和質(zhì)量以及所有摩擦都可以忽略不計，細線不可伸長，靜止時弦AB所對應(yīng)的圓心角為α，則兩物塊質(zhì)量的比值應(yīng)為(　　) A

16、．cos B．sin C．2sin D．2cos 答案　C 解析　對小球A受力分析，如圖所示，F(xiàn)T2與N的合力與FT1平衡，若將FT1、FT2、N首尾相接組成矢量三角形，則它與兩半徑OA、OB和弦AB形成的幾何三角形相似，設(shè)圓環(huán)半徑為R，則＝，F(xiàn)T2＝N，則有2FT2sin＝FT1，又FT2＝m2g，F(xiàn)T1＝m1g，解得＝2sin，C正確。 A組：合格性水平訓(xùn)練 1．(平衡狀態(tài))若一個物體處于平衡狀態(tài)，則此物體一定是(　　) A．靜止 B．勻速直線運動 C．速度為零 D．各共點力的合力為零 答案　D 解析　一個物體處于平衡狀態(tài)，可能處于靜止?fàn)顟B(tài)或勻速直線運

17、動狀態(tài)，A、B錯誤；一個物體處于平衡狀態(tài)，速度不一定為零，共點力的合力一定為零，C錯誤，D正確。 2．(靜態(tài)平衡)如圖所示，一件重量為G的衣服懸掛在等腰衣架上。已知衣架頂角θ＝120°，底邊水平，不計摩擦，則衣架一側(cè)對衣服的作用力大小為(　　) A.G B.G C. D．G 答案　A 解析　選取衣服作為研究對象，受到重力G和衣架兩側(cè)對衣服的彈力，彈力方向與衣架側(cè)邊垂直，根據(jù)幾何關(guān)系可知兩個彈力與豎直方向的夾角均為30°，衣服處于靜止?fàn)顟B(tài)，所受的合力為零，則2Fcos30°＝G，解得F＝G，A正確。 3．(靜態(tài)平衡)用三根輕繩將質(zhì)量為m的物塊懸掛在空中，如圖所示。已知ac

18、和bc與豎直方向的夾角分別為30°和60°，則ac繩和bc繩中的拉力分別為(　　) A.mg，mg B.mg，mg C.mg，mg D.mg，mg 答案　A 解析　設(shè)ac繩中的拉力為F1，bc繩中的拉力為F2，以水平方向為x軸，豎直方向為y軸，建立平面直角坐標系，并將F1和F2進行正交分解，則對三根繩的結(jié)點有水平方向：F1sin30°＝F2sin60°；豎直方向：F1cos30°＋F2cos60°＝F，又豎直繩上的拉力F＝mg，由以上三式可得F1＝mg，F(xiàn)2＝mg，故A正確。 4．(靜態(tài)平衡)如圖所示，用三根輕繩將A、B兩小球以及水平天花板上的固定點O兩兩連接。然后用一水

19、平方向的力F作用于A球上，此時三根輕繩均處于伸直狀態(tài)，且點O和B球間的輕繩恰好處于豎直方向，兩球均處于靜止?fàn)顟B(tài)。已知三根輕繩的長度之比l1∶l2∶l3＝3∶4∶5，兩球質(zhì)量關(guān)系為mA＝2mB＝2m，則下列說法正確的是(　　) A．點O和B球間輕繩的拉力大小為2mg B．點O和A球間輕繩的拉力大小為 C．F的大小為 D．A、B兩球間輕繩的拉力大小為mg 答案　B 解析　首先由平衡條件判定B球不受A、B兩球間輕繩的作用力，即A、B兩球間輕繩無拉力，否則B球無法平衡，TOB＝mBg＝mg，TAB＝0，A、D錯誤。隔離A球分析，A球受三個力作用而處于平衡狀態(tài)，這三個力能組成一個矢量

20、三角形，如圖所示，F(xiàn)＝mAgtanθ＝，TOAcosθ＝mAg，得TOA＝，B正確，C錯誤。 5．(某方向的平衡)如圖所示，放在水平地面上的物塊，受到一個與水平方向成α角斜向下方的力F的作用，該物塊恰好在水平地面上做勻速直線運動。如果保持該推力F的大小不變，而使力F與水平方向的夾角α變小，那么，地面受到的壓力N和物塊受到的摩擦力f的變化情況是(　　) A．N變小，f變大 B．N變大，f變小 C．N變大，f變大 D．N變小，f變小 答案　D 解析　對物塊受力分析，如圖所示，物塊受推力、重力、支持力和滑動摩擦力。根據(jù)豎直方向受力平衡及作用力和反作用力的關(guān)系，有N＝N′＝G＋F

21、sinα，f＝μN，當(dāng)α變小，支持力變小，故地面受到的壓力N變小，物塊受到的滑動摩擦力變小，D正確。 6．(動態(tài)平衡)如圖，小英同學(xué)用兩根一樣長的繩子拴住一只鉤碼，拉住繩子兩頭使鉤碼懸停在空中，保持兩手處于同一高度，開始時兩繩間的夾角為150°，現(xiàn)將兩繩間的夾角慢慢減小到30°，則(　　) A．兩繩拉力逐漸減小 B．兩繩拉力逐漸增大 C．兩繩拉力先減小后增大 D．兩繩拉力的合力逐漸增大 答案　A 解析　以鉤碼為研究對象，進行分析受力，即受到兩側(cè)繩子的拉力F1、F2和重力G。根據(jù)平衡條件得知，F(xiàn)1、F2的合力與G大小相等、方向相反，則F1、F2的合力大小等于鉤碼的重力，保持不變

22、。根據(jù)對稱性可知，F(xiàn)1＝F2，設(shè)兩繩之間的夾角為2α，則由平衡條件得，2F1cosα＝G，得到F1＝，開始時兩繩間的夾角為150°，現(xiàn)將兩繩間的夾角慢慢減小到30°，即α由75°慢慢減小到15°，則F1減小，F(xiàn)2也減小，A正確，B、C、D錯誤。 7．(動態(tài)平衡)如圖所示，一根輕繩跨過固定斜面頂端的定滑輪后系在一質(zhì)量較大的球上，球的大小不可忽略。在輕繩的另一端施加一個力F，使球沿斜面由圖示位置緩慢上升至斜面頂端，各處的摩擦不計，在這個過程中拉力F(　　) A．逐漸增大 B．保持不變 C．先增大后減小 D．先減小后增大 答案　A 解析　對球受力分析，根據(jù)共點力平衡條件及平行四

23、邊形定則可知使球沿固定的光滑斜面由題圖位置緩慢上升到斜面頂端的過程中，順時針轉(zhuǎn)動過程繩子拉力T方向如答圖所示，與豎直方向的夾角越來越大，由題圖知開始時繩子拉力與支持力的夾角就大于90°，由答圖可知繩子拉力一直增大，即F一直增大，A正確。 8．(靜態(tài)平衡)在動畫片《熊出沒》中，熊二用一根輕繩繞過樹枝將光頭強懸掛起來，如圖所示，此時輕繩與水平地面的夾角θ＝37°。已知光頭強的質(zhì)量為m＝60 kg，熊二的質(zhì)量為M＝300 kg，不計輕繩與樹枝間的摩擦。(已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10 m/s2)求： (1)輕繩對熊二的拉力的大小； (2)地面對熊二的支持力的大

24、??； (3)熊二對地面的摩擦力的大小和方向。 答案　(1)600 N　(2)2640 N　(3)480 N　方向水平向左 解析　(1)以光頭強為研究對象進行受力分析，得拉力T＝mg＝600 N。 (2)以熊二為研究對象受力分析： 根據(jù)豎直方向受力平衡可知 N＋Tsinθ＝Mg， 代入數(shù)據(jù)得支持力N＝2640 N。 (3)根據(jù)水平方向受力平衡可知f＝Tcosθ， 代入數(shù)據(jù)得f＝480 N。 由牛頓第三定律可知，熊二對地面的摩擦力的大小f′＝f＝480 N，方向水平向左。 B組：等級性水平訓(xùn)練 9．(平衡條件)如圖所示，質(zhì)量為m的物體置于傾角為θ的固定斜面上。物體與斜

25、面之間的動摩擦因數(shù)為μ，先用平行于斜面的推力F1作用于物體上使其能沿斜面勻速上滑，若改用水平推力F2作用于物體上，也能使物體沿斜面勻速上滑，則兩次的推力之比為(　　) A．cosθ＋μsinθ B．cosθ－μsinθ C．1＋μtanθ D．1－μtanθ 答案　B 解析　兩種情況下分別對物體進行受力分析，如圖所示，對甲圖，沿斜面方向：F1－mgsinθ－f1＝0，垂直于斜面方向：N－mgcosθ＝0，f1＝μN，聯(lián)立可解得F1＝mgsinθ＋μmgcosθ。 對乙圖，沿斜面方向：F2cosθ－mgsinθ－f2＝0，垂直于斜面方向：N′－F2sinθ－mgcosθ

26、＝0，f2＝μN′，聯(lián)立可解得F2＝，所以＝cosθ－μsinθ，故B正確。 10．(動態(tài)平衡) 有一個直角支架AOB，AO桿水平放置，表面粗糙，OB桿豎直放置，表面光滑。AO上套有小環(huán)P，OB上套有小環(huán)Q，兩環(huán)質(zhì)量均為m，兩環(huán)由一根質(zhì)量可忽略、不可伸長的細繩相連，并在某一位置平衡，如圖所示?，F(xiàn)將P環(huán)向左移動一小段距離，兩環(huán)再次達到平衡，那么將移動后的平衡狀態(tài)和原來的平衡狀態(tài)比較，AO桿對P環(huán)的支持力FN和摩擦力f的變化情況是(　　) A．FN不變，f變大 B．FN不變，f變小 C．FN變大，f變大 D．FN變大，f變小 答案　B 解析　以兩環(huán)和細繩整體為研究對象，由題意可知

27、，豎直方向上二力平衡，即FN＝2mg不變；水平方向上只受OB對Q環(huán)的彈力N和OA對P環(huán)的摩擦力f作用，因此f＝N。以Q環(huán)為研究對象，它在重力、細繩的拉力F和OB的彈力N作用下平衡，如圖所示，設(shè)細繩和豎直方向的夾角為α，則N＝mgtanα。P環(huán)向左移動一小段距離，再次平衡時，α減小，N也減小，所以f減小。故B正確。 11．(動態(tài)平衡)如圖，一小球放置在木板與豎直墻面之間。設(shè)墻面對球的壓力大小為FN1，球?qū)δ景宓膲毫Υ笮镕N2。以木板與墻的連接點為軸，將木板從圖示位置開始緩慢地轉(zhuǎn)到水平位置。不計摩擦，在此過程中(　　) A．FN1始終減小，F(xiàn)N2始終增大 B．FN1始終減小，F(xiàn)

28、N2始終減小 C．FN1先增大后減小，F(xiàn)N2始終減小 D．FN1先增大后減小，F(xiàn)N2先減小后增大 答案　B 解析　如圖甲所示，小球受重力G、墻面對小球的壓力FN1、木板對小球的支持力FN2′而處于平衡狀態(tài)，此三力構(gòu)成一矢量三角形，如圖乙所示。木板從圖示位置開始緩慢地轉(zhuǎn)到水平位置的過程中，α逐漸減小，根據(jù)圖乙可知，F(xiàn)N1始終減小，F(xiàn)N2′始終減小。由于FN2與FN2′是一對作用力與反作用力，大小相等，所以FN2始終減小，B正確。 12. (力的平衡與相似三角形)(多選)如圖所示，將一勁度系數(shù)為k的輕彈簧一端固定在內(nèi)壁光滑、半徑為R的半球形容器底部中心O′處(O為球心)，彈簧另一端與

29、質(zhì)量為m的小球A相連，小球靜止于P點，OP與水平方向間的夾角為θ＝30°。若換為與質(zhì)量為2m的小球B相連，小球B將靜止于M點(圖中未畫出)，下列說法正確的是(　　) A．容器對小球B的作用力大小為2mg B．彈簧對小球A的作用力大于對小球B的作用力 C．彈簧的原長為R＋ D．O′M的長度為 答案　ACD 解析　小球受三個共點力而平衡，這三個力構(gòu)成一個矢量三角形，如圖所示，矢量三角形剛好和幾何三角形相似，則當(dāng)彈簧另一端與質(zhì)量為m的小球A相連時，＝＝；當(dāng)彈簧另一端與質(zhì)量為2m的小球B相連時，＝＝(L2為O′M的長度)，設(shè)彈簧的原長為L0，則T1＝k(L0－R)，T2＝k(L0－L2

30、)，聯(lián)立可得T1＝mg，L0＝R＋，N2＝2mg，L2＝，T2＞T1，綜上所述，A、C、D正確，B錯誤。 13．(動態(tài)平衡和靜態(tài)平衡)如圖a所示，OA、OB、OC三段輕繩結(jié)于O點，輕繩OA與豎直方向的夾角為37°，下方輕繩OC懸掛質(zhì)量為m1＝0.4 kg的沙桶。輕繩OB水平，B端與放置在水平面上的質(zhì)量為m2＝1.8 kg的滑塊相連，滑塊處于靜止?fàn)顟B(tài)，已知滑塊與水平面間的動摩擦因數(shù)為μ＝0.3，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度g取10 m/s2，最大靜摩擦力按滑動摩擦力計算。 (1)求滑塊受到的摩擦力大小； (2)若緩慢往沙桶中添加細沙，要使滑塊靜止不動，沙桶

31、和沙的總質(zhì)量不能超過多少？ (3)若移去滑塊，保持O點位置不變，用手牽引OB由水平位置繞O點向上順時針緩慢轉(zhuǎn)動90°，如圖b所示，求此過程中繩OB上拉力的最大值Tmax和最小值Tmin。 答案　(1)3 N　(2)0.72 kg　(3)4 N　2.4 N 解析　(1)以結(jié)點O為研究對象，受力分析如圖甲所示，由平衡條件可知OB繩的拉力 TOB＝m1gtan37°＝4×0.75 N＝3 N。 對滑塊，根據(jù)共點力的平衡條件可得 f＝TOB＝3 N， 所以滑塊受到的摩擦力大小為3 N。 (2)滑塊受到的最大靜摩擦力 fm＝μm2g＝0.3×18 N＝5.4 N， 由fm＝TOB′＝m1′gtan37°， 得m1′＝0.72 kg。 (3)若保持O點位置不變，以O(shè)點為研究對象，將OB由水平位置繞O點順時針緩慢轉(zhuǎn)動90°的過程中，BO和AO的拉力的合力始終與TOC等大、反向、共線，如圖乙所示，由平行四邊形定則可知： 當(dāng)BO豎直時，OB上拉力最大，最大值Tmax＝m1g＝4 N。 當(dāng)BO⊥AO時，OB上拉力最小，最小值 Tmin＝m1gsin37°＝2.4 N。 - 19 -