2020高中物理 第七章 機械能守恒定律 第八節(jié) 機械能守恒定律學(xué)案 新人教版必修2

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1、第八節(jié)　機械能守恒定律 1．知道什么是機械能，知道物體的動能和勢能可以相互轉(zhuǎn)化。 2．能夠根據(jù)動能定理、重力做功與重力勢能變化間的關(guān)系，推導(dǎo)出機械能守恒定律。 3．會根據(jù)機械能守恒的條件判斷機械能是否守恒，能運用機械能守恒定律解決有關(guān)問題。 1.動能與勢能的相互轉(zhuǎn)化 (1)重力勢能與動能的轉(zhuǎn)化：只有重力做功時，若重力對物體做正功，則物體的重力勢能減少，動能增加，物體的重力勢能轉(zhuǎn)化成了動能；若重力對物體做負(fù)功，則物體的重力勢能增加，動能減少，物體的動能轉(zhuǎn)化為重力勢能。 (2)彈性勢能與動能的轉(zhuǎn)化：只有彈簧彈力做功時，若彈力對物體做正功，則彈簧的彈性勢能減少，物體的動能增加，彈

2、簧的彈性勢能轉(zhuǎn)化為物體的動能；若彈力對物體做負(fù)功，則彈簧的彈性勢能增加，物體的動能減少，物體的動能轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢能。 (3)機械能：重力勢能、彈性勢能和動能的統(tǒng)稱，表達(dá)式為E＝Ek＋Ep。通過重力或彈力做功，機械能可以從一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式。 2．機械能守恒定律 (1)內(nèi)容：在只有重力或彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動能與勢能可以互相轉(zhuǎn)化，而總的機械能保持不變。 (2)機械能守恒的條件：只有重力或彈力做功。 (3)表達(dá)式：Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1，即E2＝E1。 判一判 (1)合力為零，物體的機械能一定守恒。(　　) (2)合力做功為零，物體的機械能一定守恒。(　　)

3、(3)只有重力做功，物體的機械能一定守恒。(　　) 提示：(1)×　(2)×　合力為零或合力做功為零，物體的機械能都不一定守恒，如物體沿斜面勻速下滑時，物體的機械能減少。 (3)√　機械能守恒的條件是只有重力或彈力做功。 課堂任務(wù)　機械能守恒定律 如圖所示，質(zhì)量為m的物體從光滑曲面頂端靜止下滑，經(jīng)過A、B兩個位置。認(rèn)真參與“師生互動”。 活動1：以地面為參考平面，圖中物體在A、B點的動能、勢能、機械能各是什么？ 提示：A點：動能Ek1＝mv，勢能Ep1＝mgh1，機械能E1＝Ek1＋Ep1＝mv＋mgh1。 B點：動能Ek2＝mv，勢能Ep2＝mgh2，機械能E2＝

4、Ek2＋Ep2＝mv＋mgh2。 活動2：物體從A運動到B的過程中，能量怎么轉(zhuǎn)化？猜想守恒量是什么？ 提示：物體從A運動到B的過程中，重力勢能減少，動能增加，重力勢能轉(zhuǎn)化為動能。我們可以猜想，這個守恒量是機械能。 活動3：圖中物體從A運動到B的過程中，哪些力對物體做功？總功是多少？ 提示：物體從A運動到B的過程中物體受重力和支持力，但只有重力做功，其值為WG＝mg(h1－h(huán)2)，則總功為mg(h1－h(huán)2)。 活動4：討論、交流、展示，得出結(jié)論。 (1)機械能守恒定律的推導(dǎo) 圖中物體從A運動到B的過程中： 合外力的總功就是重力做的功，即W總＝mg(h1－h(huán)2) 動能的變化量：Δ

5、E＝Ek2－Ek1＝mv－mv 根據(jù)動能定理W總＝ΔE，再整理得到：mv＋mgh2＝mv＋mgh1 即末狀態(tài)的機械能和初狀態(tài)的機械能相等：E2＝E1。 (2)機械能守恒的幾種常見情況 例1　如圖所示，下列關(guān)于機械能是否守恒的判斷正確的是(　　) A．甲圖中，火箭升空的過程中，若勻速升空機械能守恒，若加速升空機械能不守恒 B．乙圖中物體勻速運動，機械能守恒 C．丙圖中小球做加速運動，機械能守恒 D．丁圖中，輕彈簧將A、B兩小車彈開，兩小車組成的系統(tǒng)機械能不守恒，兩小車和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒 (1)機械能守恒的條件是什么？ 提示：系統(tǒng)內(nèi)只有重力或彈力做功

6、。 (2)多個物體組成的系統(tǒng)什么情況下機械能守恒？ 提示：多個物體組成的系統(tǒng)如果只有重力或系統(tǒng)內(nèi)的彈力做功，則系統(tǒng)的機械能沒有轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌问降哪埽皇且徊糠謾C械能增大另一部分減小，總機械能仍是守恒的。 [規(guī)范解答]　題圖甲中無論火箭勻速上升還是加速上升，都有推力做正功，機械能增加，A錯誤；題圖乙中物體沿斜面勻速上升，動能不變，重力勢能增加，機械能增加，B錯誤；題圖丙中，小球沿粗糙斜面加速滾下過程中，除了重力做功，還有摩擦力做負(fù)功，機械能減少，C錯誤；題圖丁中，彈簧的彈力做功，彈簧的彈性勢能轉(zhuǎn)化為兩小車的動能，兩小車組成的系統(tǒng)機械能增加，而兩小車與彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，D正確。 [完

7、美答案]　D 判斷機械能是否守恒應(yīng)注意的問題 (1)合力為零是物體處于平衡狀態(tài)的條件。物體受到的合力為零時，它一定處于勻速直線運動狀態(tài)或靜止?fàn)顟B(tài)，但它的機械能不一定守恒。 (2)合力做功為零是物體動能不變的條件。合力對物體不做功，它的動能一定不變，但它的機械能不一定守恒。 (3)只有重力或系統(tǒng)內(nèi)彈力做功是機械能守恒的條件。只有重力對物體做功時，物體的機械能一定守恒；只有重力或系統(tǒng)內(nèi)彈力做功時，系統(tǒng)的機械能一定守恒，但系統(tǒng)內(nèi)單個物體的機械能不一定守恒。 　(多選)下列關(guān)于各圖中機械能是否守恒的判斷正確的是(　　) A．甲圖中，物體A將彈簧壓縮的過程中，A機械能守恒 B．

8、乙圖中，在大小等于摩擦力的拉力下沿斜面下滑時，物體B機械能守恒 C．丙圖中，不計任何阻力時A加速下落、B加速上升過程中，A、B組成的系統(tǒng)機械能守恒 D．丁圖中，ω越來越大，小球慢慢升高，小球的機械能仍然守恒 答案　BC 解析　甲圖中只有重力和彈力做功，物體A和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，但物體A將彈簧壓縮的過程中，彈簧的彈性勢能增大，物體A機械能減小，所以物體A機械能不守恒，A錯誤；乙圖中物體B除受重力外，還受彈力、拉力、摩擦力，但除重力之外的三個力做功代數(shù)和為零，機械能守恒，B正確；丙圖中繩子張力對A做負(fù)功，對B做正功，兩功代數(shù)和為零，A、B組成的系統(tǒng)機械能守恒，C正確；丁圖中小球的動

9、能增加，重力勢能也增加，故機械能增加，機械能不守恒(拉力對小球做正功)，D錯誤。 課堂任務(wù)　機械能守恒定律的應(yīng)用 仔細(xì)觀察下列圖片，認(rèn)真參與“師生互動”。 活動1：讓小球從斜軌道由靜止自由滾下，當(dāng)h＝2R時小球能過圓軌道的最高點嗎？ 提示：假設(shè)能過最高點，以支撐面為零勢能面，小球的初始位置動能為零，重力勢能Ep1＝2mgR，而在圓軌道最高點時Ep2＝2mgR，由圓周運動的知識可知小球能過圓軌道的最高點的速度大于零，即動能大于零，那么小球運動到最高點機械能增加了，違背了機械能守恒定律(整個過程只有重力做功)。所以小球不能過圓軌道的最高點。 活動2：小球自由滾下的初始高度只要大于

10、2R，小球就能過圓軌道的最高點嗎？ 提示：小球過最高點時有最小速度，即過最高點時有最小動能，而整個過程機械能守恒，那么小球的初始位置對應(yīng)著一個最小的機械能，也就是小球的初始位置必須不低于某一高度，小球才能過圓軌道的最高點，而這一高度h0>2R，只有h≥h0時，小球才能過圓軌道最高點。 活動3：小球從斜軌道上h至少為多大的位置自由滾下才能通過圓軌道的最高點？ 提示：(1)小球過最高點需滿足向心力不小于重力，即m≥mg，由此得出最高點的動能至少是mgR。 (2)以支撐面為零勢能面，小球的初始機械能E1＝Ep1＝mgh，小球在圓軌道的最高點的重力勢能Ep2＝2mgR，動能至少是mgR，所以機

11、械能至少為E2＝2mgR＋mgR。 (3)整個過程機械能守恒，E1＝E2，即mgh＝2mgR＋mgR，解得h＝R。 活動4：活動3的解法還可以再簡單些嗎？ 提示：可以。我們知道小球過圓軌道的最高點一定有動能，而整個過程機械能守恒，小球增加的動能一定是由重力勢能轉(zhuǎn)化而來的。用mgΔh來表示減少的重力勢能，根據(jù)活動3可知小球過最高點的動能最小值是mgR，則mgR＝mgΔh，可得Δh＝R，即小球初始位置高度至少為h＝2R＋R＝R。 活動5：討論、交流、展示，得出結(jié)論。 (1)機械能守恒定律常用的三種表達(dá)式 第一種方法，必須選擇零勢能面才可以解題。第二種方法的好處是不用選擇零勢能面，勢

12、能的變化與零勢能面的選取無關(guān)。第三種方法是對多個物體總機械能守恒而言的，一般涉及兩個物體。 (2)應(yīng)用機械能守恒定律解題的步驟 ①對研究對象(某個物體或多個物體)進(jìn)行正確的受力分析，判斷各個力是否做功，并分析是否滿足機械能守恒的條件。 ②若機械能守恒，選擇合適的表達(dá)式列出方程，或再輔以其他方程進(jìn)行求解。 例2　如圖，在豎直平面內(nèi)有一固定光滑軌道，其中AB是長為R的水平直軌道，BCD是圓心為O、半徑為R的圓弧軌道，兩軌道相切于B點。一小球在外力作用下從A點由靜止開始做勻加速直線運動，到達(dá)B點時撤去外力。已知小球剛好能沿圓軌道經(jīng)過最高點C，重力加速度為g。求： (1)小球在C點的

13、速度的大小； (2)小球在AB段運動的加速度的大小； (3)小球從D點運動到A點所用的時間。 (1)小球剛好能沿圓軌道經(jīng)過最高點C意味著什么？ 提示：小球在最高點C的向心力等于重力，可以求解其速度和動能。 (2)整個運動過程中哪些過程機械能是守恒的？ 提示：小球在AB段運動的過程是機械能增加的過程。從B點開始一直運動到A點的過程只有重力做功，機械能守恒。 (3)小球從D點到A點做什么運動？ 提示：小球在D點速度沿切線方向，即豎直向下，所以小球從D點到A點做豎直向下的加速度為重力加速度的勻加速直線運動。 [規(guī)范解答]　選AB所在平面為參考平面。 (1)小球剛好能沿圓軌道經(jīng)過最

14、高點C，則有： mg＝m，解得vC＝。 (2)設(shè)小球在AB段運動的加速度為a，則由運動學(xué)公式得v＝2aR 從B到C，只有重力做功，小球的機械能守恒，則有： mv＋mg·2R＝mv 聯(lián)立可得vB＝，a＝g。 (3)設(shè)小球過D點的速度為vD，從C到D，小球的機械能守恒： mv＋2mgR＝mv＋mgR，解得vD＝ 設(shè)小球回到A點時的速度為vA，從B到A，由機械能守恒定律得mv＝mv 所以vA＝vB＝ 從D到A的時間為t＝＝(－) 。 [完美答案]　(1)　(2)g　(3)(－) 1．利用機械能守恒定律可從下面三個角度列方程 (1)守恒觀點：E1＝E2(需要選零勢能參考

15、平面)。 (2)轉(zhuǎn)化觀點：ΔEk＝－ΔEp(不用選零勢能參考平面)。 (3)轉(zhuǎn)移觀點：ΔEA＝－ΔEB(不用選零勢能參考平面)。 2．機械能守恒定律往往和圓周運動、平拋運動相結(jié)合 (1)與圓周運動結(jié)合：①臨界情況；②F向＝m。 (2)與平拋運動結(jié)合：以平拋運動初速度為橋梁，將平拋運動公式與機械能守恒定律表達(dá)式聯(lián)系起來。 　如圖所示，豎直平面內(nèi)的圓弧形光滑管道內(nèi)徑略大于小球直徑，管道中心到圓心距離為R，A點與圓心O等高，AD為水平面，B點在O的正下方，小球自A點正上方由靜止釋放，自由下落至A點時進(jìn)入管道，當(dāng)小球到達(dá)B點時，管壁對小球的彈力大小為小球重力大小的9倍，求： (1

16、)釋放點距A點的豎直高度； (2)落點C與A的水平距離。 答案　(1)3R　(2)(2－1)R 解析　(1)設(shè)小球到達(dá)B點的速度為v1，因為到達(dá)B點時管壁對小球的彈力大小為小球重力大小的9倍，所以有9mg－mg＝m 以B點所在平面為零勢能面，從釋放點到B點，由機械能守恒定律得mg(h＋R)＝mv 由此可解得h＝3R。 (2)設(shè)小球到達(dá)最高點的速度為v2，落點C與A的水平距離為x 從B點到C點，由機械能守恒定律得 mv＝mv＋mg·2R 由平拋運動規(guī)律得R＝gt2，R＋x＝v2t 由此可解得x＝(2－1)R。 例3　如圖所示，一根很長的、不可伸長的柔軟輕繩跨過光滑定滑輪，繩

17、兩端各系一小球a和b。a球質(zhì)量為m，靜置于地面；b球質(zhì)量為3m，用手托住，高度為h，此時輕繩剛好拉緊。不計空氣阻力，從靜止開始釋放b后，a可能到達(dá)的最大高度為(　　) A．h B．1.5h C．2h D．2.5h (1)在b球下降、a球上升的過程中，每一個球的機械能都守恒嗎？a、b球組成的系統(tǒng)呢？ 提示：由于a、b間繩的拉力對a做正功，對b做負(fù)功，所以a球的機械能增加，b球的機械能減少，a、b球的機械能都不守恒。但拉力對a做的功與對b做的功的代數(shù)和為0，故a、b球組成的系統(tǒng)機械能守恒。 (2)從開始到b球落地前瞬間怎么利用機械能守恒列式？ 提示：這個過程a、b球獲得的動能，

18、是由這個系統(tǒng)的勢能轉(zhuǎn)化而來的，可以利用ΔEk＝－ΔEp列式。 [規(guī)范解答]　在b球落地前，a、b球組成的系統(tǒng)機械能守恒，且a、b兩球速度大小相等，根據(jù)機械能守恒定律可知ΔEk＝－ΔEp，即(m＋3m)v2＝3mgh－mgh，解得v＝，b球落地時，a球高度為h，之后a球以v為初速度做豎直上拋運動，在這個過程中機械能守恒，mv2＝mgΔh，Δh＝＝，所以a球可能到達(dá)的最大高度為1.5h，B正確。 [完美答案]　B 多物體組成的系統(tǒng)機械能守恒的分析技巧 (1)注意尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關(guān)系和位移關(guān)系。 (2)當(dāng)研究對象為兩個物體時：若兩個物體的勢能都在減小(或增加)，或動能都

19、在增加(或減小)，可優(yōu)先考慮應(yīng)用表達(dá)式ΔEk＝－ΔEp來求解；若A物體的機械能增加(或減小)，B物體的機械能減小(或增加)，可優(yōu)先考慮應(yīng)用表達(dá)式ΔEA＝－ΔEB來求解。 　(多選)如圖所示，在傾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有兩個質(zhì)量分別為1 kg和2 kg的可視為質(zhì)點的小球A和B，兩球之間用一根長L＝0.2 m的輕桿相連，小球B距水平地面的高度h＝0.1 m。兩球從靜止開始下滑到光滑地面上，不計球與地面碰撞時的機械能損失，g取10 m/s2。則下列說法中正確的是(　　) A．下滑的整個過程中A球機械能守恒 B．下滑的整個過程中兩球組成的系統(tǒng)機械能守恒 C．兩球在光滑水平面上

20、運動時的速度大小為2 m/s D．下滑的整個過程中B球機械能的增加量為 J 答案　BD 解析　當(dāng)B球到達(dá)水平地面上時，桿對A球做負(fù)功，A球機械能不守恒，A錯誤；下滑的整個過程中，對A、B組成的系統(tǒng)只有重力做功(桿的彈力對A、B做功的代數(shù)和為0)，系統(tǒng)機械能守恒，B正確；由機械能守恒定律知，mBgh＋mAg(Lsin30°＋h)＝(mA＋mB)v2，解得v＝ m/s，C錯誤；ΔEB＝mBv2－mBgh＝ J，D正確。 課堂任務(wù)　利用機械能守恒定律和動能定理解題的比較 仔細(xì)觀察下列圖片，認(rèn)真參與“師生互動”。 活動1：對于小球從高度h處斜拋到落地的過程，為了找到幾個物理量間的關(guān)

21、系，圖中兩人的爭論誰正確？ 提示：圖中兩人的說法均正確，只是思考的角度不同而已。 (1)從拋出到落地，重力做功mgh，動能增加mv2－mv，由動能定理可知mgh＝mv2－mv。 (2)從拋出到落地，重力勢能減少mgh，動能增加mv2－mv，由機械能守恒定律可知mgh＝mv2－mv。 活動2：兩種解法在解題時要注意什么問題？ 提示：對于單個物體，如果機械能守恒，兩種方法都可以用；如果機械能不守恒，就只能用動能定理或別的方法去解。換句話說就是凡是用機械能守恒定律能解決的問題動能定理都可以解決，用動能定理能解決的問題機械能守恒定律不一定能解決。如果多個物體組成的系統(tǒng)機械能守恒，有時用動能定

22、理就顯得費力一些，比如例3。 活動3：討論、交流、展示，得出結(jié)論。 (1)機械能守恒定律和動能定理的比較 (2)機械能守恒定律和動能定理的選擇：對單個物體只受重力作用時，動能定理和機械能守恒定律表達(dá)式并沒有區(qū)別；對兩個物體組成的系統(tǒng)應(yīng)用機械能守恒定律較方便；對有摩擦力或其他力做功的情況只能用動能定理來解題。 例4　為了研究過山車的原理，某興趣小組提出了下列設(shè)想：取一個與水平方向夾角為37°、長為L＝2.0 m的粗糙傾斜軌道AB，通過水平軌道BC與半徑為R＝0.2 m的豎直圓軌道相連，出口為水平軌道DE，整個軌道除AB段以外都是光滑的。其中AB與BC軌道以微小圓弧相接，如圖所示。

23、一個質(zhì)量m＝1 kg的小物塊以初速度v0＝5.0 m/s從A點沿傾斜軌道滑下，小物塊到達(dá)C點時速度vC＝4.0 m/s。取g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。 (1)求小物塊到達(dá)C點時對圓軌道壓力的大?。? (2)求小物塊從A到B運動過程中摩擦力所做的功； (3)為了使小物塊不離開軌道，并從軌道DE滑出，求豎直圓軌道的半徑應(yīng)滿足什么條件？ (1)此處跟課堂任務(wù)2所討論的情景有什么不同？ 提示：課堂任務(wù)2中與AB部分對應(yīng)的傾斜軌道是光滑的，這里是不光滑的。 (2)整個運動過程哪些部分有摩擦，哪些部分沒有，其解法有什么不同？ 提示：整個軌道除AB段以外都

24、是光滑的。所以只要包含有AB段的就用動能定理求解，其余光滑部分可以用機械能守恒定律求解。 [規(guī)范解答]　(1)設(shè)小物塊到達(dá)C點時受到圓軌道的支持力大小為FN，根據(jù)牛頓第二定律有，F(xiàn)N－mg＝m，解得FN＝90 N。根據(jù)牛頓第三定律，小物塊對圓軌道壓力的大小為90 N。 (2)由于水平軌道BC光滑，無摩擦力做功，所以可將研究小物塊從A到B的運動過程轉(zhuǎn)化為研究從A到C的過程。物塊從A到C的過程中，根據(jù)動能定理有： mgLsin37°＋Wf＝mv－mv 解得Wf＝－16.5 J。 (3)設(shè)小物塊進(jìn)入圓軌道到達(dá)最高點時速度大小為v，根據(jù)牛頓第二定律有：FN＋mg＝m，且FN≥0 以C點所在

25、水平面為零勢能面，小物塊從圓軌道最低點到最高點的過程中，根據(jù)機械能守恒定律有： mv＝mv2＋mg·2R，聯(lián)立得R≤， 解得R≤0.32 m。 [完美答案]　(1)90 N　(2)－16.5 J　(3)R≤0.32 m (1)小物塊從圓軌道最低點到最高點的過程中，只有重力做功，既可以用機械能守恒定律解題，也可以用動能定理解題。 (2)對于有除重力和系統(tǒng)內(nèi)彈力之外的力(如摩擦力等)做功的情況要用動能定理解題。 　如圖所示，輕繩連接A、B兩物體，A物體懸在空中距地面H高處，B物體放在水平面上。若A物體質(zhì)量是B物體質(zhì)量的2倍，不計一切摩擦。由靜止釋放A物體，以地面為零勢能參考面。

26、當(dāng)A的動能與其重力勢能相等時，A距地面的高度是(　　) A.H B.H C.H D.H 答案　B 解析　設(shè)A的動能與重力勢能相等時，A距地面高度為h，對A、B組成的系統(tǒng)，由機械能守恒定律得： mAg(H－h(huán))＝mAv2＋mBv2① 又由題意得：mAgh＝mAv2② 且mA＝2mB③ 由①②③式聯(lián)立解得：h＝H，故B正確。 課堂任務(wù)　與彈簧有關(guān)的機械能守恒問題 仔細(xì)觀察下列圖片，認(rèn)真參與“師生互動”。 活動1：放手前小球受到哪些力？處于什么狀態(tài)？ 提示：放手前小球受重力、彈簧彈力和手的支持力，處于平衡狀態(tài)。 活動2：放手后小球運動狀態(tài)會有什么變化？ 提

27、示：放手后，小球不再受支持力，平衡狀態(tài)被破壞，開始向下做加速運動。此后的運動一直受重力和彈力，重力不變，彈力會隨彈簧長度的變化而變化，小球做豎直方向的往復(fù)變速直線運動。 活動3：小球在運動過程中機械能守恒嗎？小球和彈簧組成的系統(tǒng)呢？ 提示：小球在運動過程中除了重力做功之外，彈簧的彈力也對小球做功，所以小球的機械能不守恒。但小球和彈簧組成的系統(tǒng)在整個運動過程中只有重力和彈簧彈力做功，小球和彈簧組成的系統(tǒng)機械能是守恒的，小球的重力勢能、小球的動能和彈簧的彈性勢能三者之和始終是不變的。 活動4：小球向下運動過程中，小球動能與彈簧彈性勢能之和如何變化？ 提示：小球的動能與彈簧的彈性勢能之和本沒

28、什么特色，但是其再加上小球的重力勢能就是系統(tǒng)的機械能。小球的重力勢能在小球向下運動過程中是一直減小的，故小球的動能與彈簧彈性勢能之和會一直增大。 活動5：討論、交流、展示，得出結(jié)論。 (1)輕質(zhì)彈簧：輕質(zhì)彈簧是不考慮質(zhì)量的，所以無動能和重力勢能之說，只存在彈性勢能。 (2)系統(tǒng)機械能守恒 ①彈簧的彈力做功涉及能量的轉(zhuǎn)化，一是彈性勢能發(fā)生變化，二是與它構(gòu)成系統(tǒng)的其他物體的能量也會發(fā)生變化。如果這個系統(tǒng)內(nèi)只有彈力做功，機械能是保持不變的，也就是課本中的只有重力或彈力做功的系統(tǒng)機械能守恒中的“彈力做功”。由此可見，彈性勢能也是彈簧和系統(tǒng)所共同具有的。 ②一個系統(tǒng)內(nèi)如果既有重力做功也有彈力做

29、功，機械能是守恒的，此時是三種能量在相互轉(zhuǎn)化，即重力勢能、動能、彈性勢能相互轉(zhuǎn)化，是機械能內(nèi)部的轉(zhuǎn)化。 (3)彈性勢能求解：對于同一個彈簧，伸長和壓縮相同的長度時彈性勢能是相同的。彈性勢能一般不要求用公式直接求，但如有必要仍然可以用公式Ep＝kl2進(jìn)行討論或計算，并且熟記公式可迅速判斷彈性勢能的大小及彈性勢能的變化。 例5　(多選)重10 N的滑塊在傾角為30°的光滑斜面上，從a點由靜止下滑，到b點接觸到一個輕彈簧，滑塊壓縮彈簧到c點開始彈回，返回b點離開彈簧，最后又回到a點，已知ab＝1 m，bc＝0.2 m，那么在整個過程中，下列選項正確的是(　　) A．滑塊動能的最大值是6

30、 J B．彈簧彈性勢能的最大值是6 J C．從c到b彈簧的彈力對滑塊做的功是6 J D．整個過程系統(tǒng)機械能守恒 (1)滑塊何時速度最大？ 提示：滑塊在重力作用下加速，接觸彈簧后受到彈力，彈力比較小時滑塊還做加速運動，當(dāng)彈簧彈力等于重力沿斜面的分力時速度達(dá)到最大。 (2)在最低點c和最高點a以及b點滑塊和彈簧的能量各有什么特點？ 提示：在最低點c滑塊機械能最小，彈簧的機械能(彈性勢能)最大，在最高點a和b點滑塊的機械能最大，彈簧無彈性勢能，此時系統(tǒng)的機械能等于滑塊的重力勢能加動能。 [規(guī)范解答]　滑塊和彈簧組成的系統(tǒng)，在整個運動過程中，只發(fā)生動能、重力勢能和彈性勢能之間的相互轉(zhuǎn)化

31、，系統(tǒng)的機械能守恒，D正確；以c點做重力勢能零點，a、c點動能為零，整個系統(tǒng)的機械能等于a點的重力勢能或c點的彈性勢能?；瑝K從a到c，重力勢能減小了mg·· sin30°＝6 J，全部轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢能，B正確；從c到b彈簧恢復(fù)原長，通過彈簧的彈力對滑塊做功，將6 J的彈性勢能全部轉(zhuǎn)化為滑塊的機械能，C正確；當(dāng)重力沿斜面的分力等于彈簧彈力時動能最大，此時還有重力勢能和彈性勢能，總機械能只有6 J，所以動能不能達(dá)到6 J，A錯誤。 [完美答案]　BCD (1)利用機械能守恒定律分析問題時，一定要注意守恒條件的應(yīng)用，靈活選取研究對象。本題中單獨看滑塊和彈簧，機械能并不守恒，但它們所組成

32、的系統(tǒng)機械能守恒。 (2)在物體與彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒時，往往會討論物體和彈簧的機械能是如何變化，掌握一個總體原則：整個系統(tǒng)的動能、重力勢能、彈性勢能之和是一個常量，彈簧形變量增大彈性勢能增大，重物的高度增大重力勢能增大，反之減小。 　如圖所示，輕彈簧一端與墻相連處于自然狀態(tài)，質(zhì)量為4 kg的木塊沿光滑的水平面以5 m/s的速度運動并開始擠壓彈簧，求： (1)彈簧的最大彈性勢能； (2)木塊被彈回速度增大到3 m/s時彈簧的彈性勢能。 答案　(1)50 J　(2)32 J 解析　(1)木塊壓縮彈簧的過程中，木塊和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，彈性勢能最大時，對應(yīng)木塊的動能為

33、零，故有：Epm＝mv＝×4×52 J＝50 J。 (2)由系統(tǒng)機械能守恒有：mv＝Ep1＋mv，即×4×52 J＝Ep1＋×4×32 J，解得Ep1＝32 J。 A組：合格性水平訓(xùn)練 1．(機械能的理解)一個物體在運動的過程中所受的合力為零，則這個過程中(　　) A．機械能一定不變 B．物體的動能保持不變，而勢能一定變化 C．若物體的勢能變化，機械能一定變化 D．若物體的勢能變化，機械能不一定變化 答案　C 解析　由于物體在運動的過程中所受的合力為零，即物體做勻速直線運動，物體的動能不變，勢能有可能變化，當(dāng)物體的勢能變化時機械能一定變化，C正確，A、B、D錯誤。 2．

34、(機械能守恒的判斷)下列運動的物體，機械能守恒的是(　　) A．物體沿斜面勻速下滑 B．物體從高處以0.9g的加速度豎直下落 C．物體沿光滑曲面滑下 D．拉著一個物體沿光滑的斜面勻速上升 答案　C 解析　物體沿斜面勻速下滑時，動能不變，重力勢能減小，所以機械能減小，機械能不守恒；物體以0.9g的加速度豎直下落時，除重力外，其他力的合力向上，大小為0.1mg，這個合力在物體下落時對物體做負(fù)功，物體機械能減少，機械能不守恒；物體沿光滑曲面滑下時，只有重力做功，機械能守恒；拉著物體沿光滑斜面勻速上升時，拉力對物體做正功，物體機械能增加，機械能不守恒。綜上，機械能守恒的是C項。 3．(機

35、械能守恒定律的應(yīng)用)以相同大小的初速度v0將物體從同一水平面分別豎直上拋、斜上拋、沿光滑斜面(足夠長)上滑，如圖所示，三種情況達(dá)到的最大高度分別為h1、h2和h3，不計空氣阻力(斜上拋物體在最高點的速度方向水平)，則(　　) A．h1＝h2>h3 B．h1＝h2

h2 答案　D 解析　豎直上拋物體和沿斜面運動的物體，上升到最高點時，速度均為0，由機械能守恒得mgh＝mv，所以h1＝h3＝h＝，斜上拋物體在最高點速度不為零，設(shè)為v1，則mgh2＝mv－mv，所以h2＜h1＝h3，故D正確。 4．(含彈簧類機械能守恒問題)如圖所示，在高

36、1.5 m的光滑平臺上有一個質(zhì)量為2 kg的小球被一細(xì)線拴在墻上，小球與墻之間有一根被壓縮的輕質(zhì)彈簧。當(dāng)燒斷細(xì)線時，小球被彈出，小球落地時的速度方向與水平方向成60°角，則彈簧被壓縮時具有的彈性勢能為(g取10 m/s2)(　　) A．10 J B．15 J C．20 J D．25 J 答案　A 解析　由2gh＝v－0得：vy＝，即vy＝ m/s，落地時，tan 60°＝，可得：v0＝＝ m/s，彈簧與小球組成的系統(tǒng)機械能守恒，在小球被彈出的過程中，由機械能守恒定律得Ep＝mv，可求得：Ep＝10 J，故A正確。 5．(含彈簧類機械能守恒問題)如圖所示，固定的豎直光滑長桿上套

37、有質(zhì)量為m的小圓環(huán)，圓環(huán)與水平狀態(tài)的輕質(zhì)彈簧一端連接，彈簧的另一端連接在墻上，并且處于原長狀態(tài)，現(xiàn)讓圓環(huán)由靜止開始下滑，已知彈簧原長為L，圓環(huán)下滑到最大距離時彈簧的長度變?yōu)?L(未超過彈性限度)，則在圓環(huán)下滑到最大距離的過程中(　　) A．圓環(huán)的機械能守恒 B．彈簧彈性勢能變化了mgL C．圓環(huán)下滑到最大距離時，所受合力為零 D．圓環(huán)重力勢能與彈簧彈性勢能之和保持不變 答案　B 解析　圓環(huán)在下滑過程中機械能減少，彈簧彈性勢能增加，而圓環(huán)與彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，A、D錯誤；圓環(huán)下滑到最低點時速度為零，但是加速度不為零，即合力不為零，C錯誤；圓環(huán)下降高度h＝＝L，所以圓環(huán)重力勢

38、能減少了mgL，由機械能守恒定律可知，彈簧的彈性勢能增加了mgL，B正確。 6．(多物體機械能守恒)(多選)如圖所示，在兩個質(zhì)量分別為m和2m的小球a和b之間，用一根長為L的輕桿連接，兩小球可繞穿過桿中心O的水平軸無摩擦地轉(zhuǎn)動?，F(xiàn)讓輕桿處于水平位置，然后無初速度釋放，重球b下落，輕球a上升，產(chǎn)生轉(zhuǎn)動，在桿轉(zhuǎn)至豎直的過程中(　　) A．b球的重力勢能減少，動能增加 B．a(chǎn)球的重力勢能增加，動能增加 C．a(chǎn)球和b球的總機械能守恒 D．a(chǎn)球和b球的總機械能不守恒 答案　ABC 解析　a、b兩球組成的系統(tǒng)中，只存在動能和重力勢能的相互轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)的機械能守恒，C正確、D錯誤；其中a球的

39、動能和重力勢能均增加，機械能增加，輕桿對a球做正功；b球的重力勢能減少，動能增加，機械能減少，輕桿對b球做負(fù)功，A、B正確。 7．(多物體機械能守恒)(多選)如圖所示，a、b兩物塊質(zhì)量分別為m、3m，用不計質(zhì)量的細(xì)繩相連接，懸掛在定滑輪的兩側(cè)。開始時，a、b兩物塊距離地面高度相同，用手托住物塊b，然后由靜止釋放，直至a、b物塊間高度差為h，不計滑輪質(zhì)量和一切摩擦，重力加速度為g。在此過程中，下列說法正確的是(　　) A．物塊a的機械能守恒 B．物塊b的機械能減少了mgh C．物塊b機械能的減少量等于物塊a機械能的增加量 D．物塊a、b與地球組成的系統(tǒng)機械能守恒 答案　CD 解

40、析　釋放b后物塊a加速上升，動能和重力勢能均增加，故機械能增加，A錯誤。對物塊a、b與地球組成的系統(tǒng)，只有重力和繩拉力做功，由于繩的拉力對a做的功與b克服繩的拉力做的功相等，故系統(tǒng)機械能守恒，D正確。物塊a、b構(gòu)成的系統(tǒng)機械能守恒，有3mg·－mg·＝mv2＋·3mv2，解得v＝；物塊b動能增加量為(3m)v2＝mgh，重力勢能減少mgh，故機械能減少mgh－mgh＝mgh，B錯誤。a、b組成的系統(tǒng)機械能守恒，故物塊b機械能的減少量等于物塊a機械能的增加量，C正確。 8．(綜合)某游樂場過山車簡化為如圖所示模型，光滑的過山車軌道位于豎直平面內(nèi)，該軌道由一段斜軌道和與之相切的圓形軌道連接而成，

41、圓形軌道的半徑為R，可視為質(zhì)點的過山車從斜軌道上某處由靜止開始下滑，然后沿圓形軌道運動。 (1)若要求過山車能通過圓形軌道最高點，則過山車初始位置相對于圓形軌道底部的高度至少要多少？ (2)考慮到游客的安全，要求全過程游客受到的支持力不超過自身重力的7倍，過山車初始位置相對于圓形軌道底部的高度不得超過多少？ 答案　(1)2.5R　(2)3R 解析　(1)設(shè)過山車總質(zhì)量為M，從高度h1處開始下滑，恰能以速度v1通過圓形軌道最高點。 在圓形軌道最高點有：Mg＝M① 運動過程機械能守恒：Mgh1＝2MgR＋Mv② 由①②式得：h1＝2.5R，即高度至少為2.5R。 (2)設(shè)從高度

42、h2處開始下滑，游客質(zhì)量為m，過圓周最低點時速度為v2，游客受到的支持力是N＝7mg。 最低點：N－mg＝m③ 運動過程機械能守恒：mgh2＝mv④ 由③④式得：h2＝3R，即高度不得超過3R。 B組：等級性水平訓(xùn)練 9．(綜合)(多選)如圖所示，A、B、C、D四圖中的小球以及小球所在的左側(cè)斜面完全相同，現(xiàn)從同一高度h處由靜止釋放小球，使之進(jìn)入右側(cè)不同的軌道：除去底部一小圓弧，A圖中的軌道是一段斜面，高度大于h；B圖中的軌道與A圖中軌道相比只是短了一些，且斜面高度小于h；C圖中的軌道是一個內(nèi)徑略大于小球直徑的管道，其上部為直管，下部為圓弧形且與斜面相連，管的高度大于h；D圖中的軌道是

43、個半圓形軌道，其直徑等于h。如果不計任何摩擦阻力和拐彎處的能量損失，小球進(jìn)入右側(cè)軌道后能到達(dá)h高度的是(　　) 答案　AC 解析　小球在運動過程中機械能守恒，A、C圖中小球不能脫離軌道，在最高點速度為零，因而可以達(dá)到h高度。但B、D圖中小球都會脫離軌道而做斜拋運動，在最高點具有水平速度，所以在最高點的重力勢能要小于mgh(以最低點為零勢能點)，即最高點的高度要小于h。故A、C正確。 10．(綜合)如圖所示，從光滑的圓弧槽的最高點由靜止滑下的小物塊，滑出槽口時速度沿水平方向，槽口與一個半球頂點相切，半球底面在水平面內(nèi)，若要使小物塊滑出槽口后不沿半球面下滑，已知圓弧軌道的半徑為R1，半球

44、的半徑為R2，則R1與R2的關(guān)系為(　　) A．R1≤R2 B．R1≥R2 C．R1≤ D．R1≥ 答案　D 解析　小物塊沿光滑的圓弧槽下滑的過程，只有重力做功，機械能守恒，故有mgR1＝mv2，要使小物塊滑出槽口后不沿半球面下滑，即做平拋運動，則mg≤m，聯(lián)立解得R1≥，故D正確。 11．(綜合)如圖所示，光滑圓軌道固定在豎直面內(nèi)，一質(zhì)量為m的小球沿軌道做完整的圓周運動。已知小球在最低點時對軌道的壓力大小為N1，在最高點時對軌道的壓力大小為N2。重力加速度大小為g，則N1－N2的值為(　　) A．3mg B．4mg C．5mg D．6mg 答案　D 解析

45、　設(shè)小球在最低點速度為v1，在最高點速度為v2，根據(jù)牛頓第二定律和牛頓第三定律，在最低點有N1－mg＝m，在最高點有N2＋mg＝m，從最高點到最低點，根據(jù)機械能守恒定律有mg·2R＝mv－mv，聯(lián)立以上三式可以得到：N1－N2＝6mg，故D正確。 12．(綜合)如圖所示，“蝸?！睜钴壍繭AB豎直固定在水平地面上，與地面在B處平滑連接。其中“蝸?！睜钴壍烙蓛?nèi)壁光滑的半圓軌道OA和AB平滑連接而成，半圓軌道OA的半徑R1＝0.6 m，半圓軌道AB的半徑 R2＝1.2 m，水平地面BC長為xBC＝11 m，C處是一個開口較大的深坑，一質(zhì)量m＝0.1 kg的小球從O點沿切線方向以某一初速度進(jìn)入軌道O

46、A后，沿OAB軌道運動至水平地面，已知小球與水平地面間的動摩擦因數(shù)μ＝0.4，g取10 m/s2。 (1)為使小球不脫離OAB軌道，小球在O點的初速度至少為多大？ (2)若小球在O點的初速度v＝6 m/s，求小球在B點對半圓軌道的壓力大小； (3)若使小球能落入深坑C，則小球在O點的初速度至少為多大？ 答案　(1)6 m/s　(2)6 N　(3)8 m/s 解析　(1)小球通過最高點A的臨界條件是 mg＝m 解得小球過A點的最小速度vA＝2 m/s 設(shè)O點為零勢能點，小球由O到A過程由機械能守恒定律得mg·2R1＋mv＝mv 解得v0＝6 m/s。 (2)設(shè)B點為零勢能點，小球由O到B過程機械能守恒，則mgR2＋mv2＝mv 解得vB＝2 m/s 在B點由牛頓第二定律得FN－mg＝m 解得FN＝6 N 由牛頓第三定律得軌道受到的壓力FN′＝FN＝6 N。 (3)設(shè)小球恰能落入深坑C，即vC＝0時初速度最小，小球由O到C過程由動能定理得 mgR2－μmgxBC＝0－mv′2 解得v′＝8 m/s>v0＝6 m/s，則假設(shè)成立，小球在O點的速度至少為8 m/s。 - 22 -