高中物理 第十六章 動量守恒定律 2 動量和動量定理學(xué)案 新人教版選修3-5

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1、 2　動量和動量定理 1．動量 (1)定義：在物理學(xué)上，把物體的質(zhì)量跟其速度的乘積，叫做物體的動量。 (2)表達式：p＝mv。 (3)單位：kg·m/s。 (4)方向：動量是矢量，它的方向與速度的方向相同。 (5)對動量的理解 ①動量的矢量性：動量既有大小，又有方向，是矢量。它的方向與速度方向相同。當(dāng)速度發(fā)生變化(速度的大小或速度的方向或速度的大小和方向同時變化)，動量也隨之改變；動量的運算遵循平行四邊形定則。 ②動量的瞬時性：由于速度具有瞬時性，所以動量也具有瞬時性，是反映物體運動狀態(tài)的物理量，是狀態(tài)量。談及動量時，須指明物體在某時刻或某狀態(tài)時所具有的動量。 ③動量的

2、相對性：由于物體的速度與參考系的選取有關(guān)，所以物體的動量也與參考系的選取有關(guān)，因而動量具有相對性。在中學(xué)階段，一般取地面或相對地面靜止的物體為參考系。 【例1】 質(zhì)量為m＝2 kg的物體，從空中水平勻速飛行的飛行物上自由落下，已知飛行物的速度為v0＝3 m/s，求物體離開飛行物后0.4 s末的動量。不計空氣阻力，g取10 m/s2。 解析：以地面為參考系，物體0.4 s末時的速度為v＝＝ m/s＝5 m/s，所以p＝mv＝2.0×5 kg·m/s＝10 kg·m/s，方向與該時刻的速度方向一致，即與水平方向成θ角，θ＝arctan＝arctan＝53°。 答案：10 kg·m/s，方向與

3、水平方向成53°角 2.動量的變化 動量是矢量，只要物體的m的大小、v的大小和v的方向三者中有一個發(fā)生變化，則物體的動量就發(fā)生變化。動量的變化可表示為Δp＝p末－p初，此式為矢量式。Δp也為矢量，其方向與Δv的方向相同。 (1)在一維情況下(共線)，可以把動量的矢量運算簡化成代數(shù)運算，動量變化計算公式Δp＝p2－p1＝mv2－mv1，通常情況下先選定一個正方向，用正負號來表示初、末動量的方向。速度方向與正方向相同，則該物體的速度和動量為正，相反則為負。 【例2－1】 羽毛球是速度較快的球類運動之一，運動員扣殺羽毛球的速度可達到342 km/h，假設(shè)球飛來的速度為90 km/h，運動員將

4、球以342 km/h的速度反向擊回。設(shè)羽毛球的質(zhì)量為5 g，試求： (1)運動員擊球過程中羽毛球的動量變化量。 (2)在運動員的這次扣殺中，羽毛球的速度變化、動能變化各是多少？ 解析：(1)以球飛來的方向為正方向，則 p1＝mv1＝5×10－3× kg·m/s＝0.125 kg·m/s。 p2＝mv2＝－5×10－3× kg·m/s＝－0.475 kg·m/s。 所以動量的變化量 Δp＝p2－p1＝－0.475 kg·m/s－0.125 kg·m/s ＝－0.600 kg·m/s。 即球的動量變化大小為0.600 kg·m/s，方向與球飛來的方向相反。 (2)羽毛球的初速度

5、：v＝25 m/s， 羽毛球的末速度：v′＝－95 m/s， 所以Δv＝v′－v＝－120 m/s。 羽毛球的初動能：Ek＝mv2＝1.56 J， 羽毛球的末動能：Ek′＝mv′2＝22.56 J。 所以ΔEk＝Ek′－Ek ＝21 J。 答案：(1)0.600 kg·m/s　方向與球飛來的方向相反　(2)120 m/s　方向與初速度方向相反　21 J 析規(guī)律 動量是矢量 動量的變化量也是矢量，計算在同一直線上動量的變化量時，一定要注意正方向的規(guī)定。通常取初速度方向為正方向，代入數(shù)據(jù)計算時，切不可丟掉表示方向的正、負號。 (2)在p末與p初不共線的情況下，求Δp要用平行四邊

6、形定則。 在曲線運動中，初、末動量不在同一直線上，可以按照平行四邊形定則或者三角形定則求Δp。如圖所示，Δp就是由初動量箭頭指向末動量箭頭的有向線段。 【例2－2】 一個質(zhì)量是0.2 kg的鋼球，以2 m/s的速度斜射到堅硬的大理石板上，入射的角度是45°，碰撞后被斜著彈出，彈出的角度也是45°，速度大小仍為2 m/s，用作圖法求出鋼球動量變化的大小和方向。 解析：碰撞前后鋼球不在同一直線上運動，根據(jù)平行四邊形定則，以p′和－p為鄰邊作平行四邊形，則Δp的大小就等于對角線的長度，對角線的指向就表示其方向，所以 Δp＝ ＝ kg·m/s ＝0.4 kg·m/s 方向豎

7、直向上。 答案：0.4 kg·m/s　豎直向上 3．沖量 (1)牛頓第二定律的動量表達式 F＝ma＝m＝ 此式說明作用力F等于物體動量的變化率。 即F＝是牛頓第二定律的另一種表達形式。 (2)沖量的定義：力與力的作用時間的乘積叫做力的沖量。 (3)公式：I＝F·t。 (4)單位：?！っ?，符號：N·s。 (5)沖量的性質(zhì) ①沖量的時間性：沖量不僅由力決定，還由力的作用時間決定，恒力的沖量等于力與力作用時間的乘積，可用I＝F·t表示。 ②沖量的矢量性：對于具有恒定方向的力來說，沖量的方向與力的方向一致；對于作用時間內(nèi)方向變化的力來說，沖量的方向與相應(yīng)時間內(nèi)動量的變化量的方向

8、一致，沖量的運算遵守平行四邊形定則。 ③沖量的絕對性：由于力和時間都跟參考系的選擇無關(guān)，所以力的沖量也跟參考系的選擇無關(guān)。 ④沖量的過程性：沖量是描述力對作用時間的累積效果，力越大，作用時間越長，沖量就越大。沖量是一個過程量，學(xué)習(xí)沖量必須明確研究對象和作用過程，即必須明確是哪個力在哪段時間內(nèi)對哪個物體產(chǎn)生的沖量。 【例3】 以某一初速度豎直向上拋出一物體，空氣阻力不可忽略。關(guān)于物體受到的沖量，以下說法正確的是(　　) A．物體上升階段和下落階段受到的重力的沖量方向相反 B．物體上升階段和下落階段受到空氣阻力沖量的方向相反 C．物體在下落階段受到重力的沖量大于上升階段受到重力的沖量

9、 D．物體在下落階段受到重力的沖量小于上升階段受到重力的沖量 解析： A × 恒力的沖量的方向與該恒力方向相同，即上升、下落階段重力的沖量方向相同，均豎直向下。 B √ 物體上升階段和下落階段空氣阻力方向相反，沖量方向相反。 C √ 由于空氣阻力不可忽略，物體上升過程受到的合力大于下落過程的合力，物體上升的時間小于下落的時間，即下落階段受到重力的沖量大于上升階段受到重力的沖量。 D × 答案：BC 4.動量定理 (1)動量定理的內(nèi)容： 物體所受合外力的沖量等于物體動量的變化。 (2)表達式：Ft＝mv′－mv或I＝p′－p 式中mv是物體初始狀態(tài)的動量，mv

10、′是力的作用結(jié)束時的末態(tài)動量。 動量定理反映了物體在受到力的沖量作用時，其狀態(tài)發(fā)生變化的規(guī)律，是力在時間上的累積效果。 (3)動量定理的理解與應(yīng)用要點： ①動量定理的表達式是一個矢量式，應(yīng)用動量定理時需要規(guī)定正方向。 ②動量定理公式中F是研究對象所受的包括重力在內(nèi)的所有外力的合力，它可以是恒力，也可以是變力。當(dāng)合外力為變力時，F(xiàn)應(yīng)該是合外力在作用時間內(nèi)的平均值。 ③動量定理的研究對象是單個物體或系統(tǒng)。 ④動量定理中的沖量是合外力的沖量，而不是某一個力的沖量。在所研究的物理過程中，如果作用在物體上的各個外力的作用時間相同，求合外力的沖量時，可以先求所有外力的合力，然后再乘以力的作用時

11、間，也可以先求每個外力在作用時間內(nèi)的沖量，然后再求所有外力沖量的矢量和。如果作用在物體上各外力的作用時間不同，就只能先求每一個外力在其作用時間內(nèi)的沖量，然后再求所有外力沖量的矢量和。 ⑤動量定理中I是合外力的沖量，是使研究對象的動量發(fā)生變化的原因，并非產(chǎn)生動量的原因，不能認為合外力的沖量就是動量的變化。合外力的沖量是引起研究對象狀態(tài)變化的外在因素，而動量的變化是合外力沖量作用后導(dǎo)致的必然結(jié)果。 ⑥動量定理不僅適用于宏觀物體的低速運動，對微觀物體和高速運動仍然適用。 ⑦合外力的沖量是物體動量變化的量度。 【例4】 質(zhì)量為0.5 kg的彈性小球，從1.25 m高處自由下落，與地板碰撞后回

12、跳高度為0.8 m。設(shè)碰撞時間為0.1 s，g取10 m/s2，求小球?qū)Φ匕宓钠骄饔昧Α? 解析：解法一：分段處理 取小球為研究對象，根據(jù)自由落體運動和豎直上拋運動可知，小球碰撞前的速度：v1＝＝ m/s＝5 m/s，方向向下； 小球碰撞后的速度：v2＝＝ m/s＝4 m/s，方向向上。 小球受力情況如圖所示，取豎直向上為正方向。 根據(jù)動量定理： (N－mg)t＝mv2－mv1 N＝＋mg＝50 N 由牛頓第三定律可知，小球?qū)Φ匕宓钠骄饔昧Υ笮?0 N，方向豎直向下 解法二：全程處理 以開始下落的瞬間為初狀態(tài)，反彈到最高點時為末狀態(tài)，則重力的作用時間： t＝＋t碰

13、＋＝(0.5＋0.1＋0.4)s＝1 s 平均沖力的作用時間為t碰＝0.1 s 取豎直向下為正方向，mgt－Nt碰＝0 所以N＝＝ N＝50 N 由牛頓第三定律可知，小球?qū)Φ匕宓钠骄饔昧Υ笮?0 N，方向豎直向下。 答案：50 N，方向豎直向下 點技巧 動量定理解題要點 (1)若物體在運動過程中所受的力不是同時的，可將受力情況分成若干階段來解，也可當(dāng)成一個全過程來求解。 (2)在用動量定理解題時，一定要認真進行受力分析，不可有遺漏，比如求解本題時，有的同學(xué)就把重力遺漏了。 5．沖量的計算方法 (1)單個恒力的沖量，既可是直線運動中單個恒力的沖量，也可是曲線運動中某

14、個恒力的沖量，用沖量的定義式I＝Ft計算。 (2)幾個恒力的合沖量 ①先求幾個恒力的合力F合，再用I合＝F合·t求合力的沖量，此方法適用于幾個恒力的作用時間相同。 ②若幾個恒力的作用時間不相同，則應(yīng)先求出各個恒力的沖量，I1＝F1t1，I2＝F2t2，…再依據(jù)平行四邊形定則求I合。若I1、I2…都在一直線上，可選定正方向，將矢量運算化為代數(shù)運算。 (3)變力的沖量 ①變力的沖量通?？衫脛恿慷ɡ鞩＝Δp求解。 ②可用圖象法計算沖量，如圖1，若某一力方向恒定不變，那么在Ft圖象中，圖中陰影部分的面積就表示力在時間Δt＝t2－t1內(nèi)的沖量。 　 圖1　　　

15、 　　圖2 ③對于方向不變，大小隨時間均勻變化的力，其沖量可用公式I＝t0計算，如圖2所示。 【例5－1】一個質(zhì)量為m的物體，從離地面高為h的位置以初速度v0水平拋出，求物體從開始拋出到落至地面這段時間內(nèi)重力的沖量。 解析：因為重力為恒力，其大小為mg，方向豎直向下，所以重力的沖量可直接用I＝Ft來求解。設(shè)物體運動的時間為t，因在豎直方向上，物體做自由落體運動，所以h＝gt2，t＝ 重力在這段時間內(nèi)的沖量大小為I＝Ft＝mgt＝m 沖量的方向與重力的方向一致，即豎直向下。 答案：m，方向豎直向下 【例5－2】 用電鉆給建筑物鉆孔時，鉆頭所受的阻力與深度成正比。

16、圖為阻力f與時間關(guān)系的圖象，若鉆頭勻速鉆進時第1 s內(nèi)所受的阻力的沖量為100 N·s，求5 s內(nèi)阻力的沖量的大小。 解析：設(shè)鉆頭進入建筑物的深度為x，則鉆頭受到的阻力為f＝kx，k為比例系數(shù)。 鉆頭勻速鉆進，深度為x＝vt 所以f＝kvt 在時間t內(nèi)阻力的沖量可通過如題圖所示的f-t圖象的面積來求解I＝f·t＝kvt2 即I∝t2，因第1 s內(nèi)的沖量為100 N·s，所以t＝5 s時，I5＝2 500 N·s。 答案：2 500 N·s 6.動量定理的應(yīng)用 (1)一個物體的動量變化Δp與合外力的沖量具有等效代換關(guān)系，二者大小相等、方向相同，可以相互代換，據(jù)此有： ①應(yīng)用

17、I＝Δp求變力的沖量：如果物體受到大小或方向改變的力的作用，則不能直接用Ft求變力的沖量，這時可以求出該力作用下物體動量的變化Δp，等效代換變力的沖量I。 ②應(yīng)用Δp＝FΔt求恒力作用下的曲線運動中物體動量的變化：曲線運動的物體速度方向時刻在變化，求動量變化Δp＝p′－p需要應(yīng)用矢量運算方法，比較麻煩。如果作用力是恒力，可以求恒力的沖量，等效代換動量的變化。 (2)用動量定理解釋相關(guān)物理現(xiàn)象的要點。 由Ft＝p′－p＝Δp可以看出，當(dāng)Δp為恒量時，作用力 F 的大小與相互作用的時間 t 成反比。 (3)應(yīng)用動量定理的解題步驟 ①確定研究對象，研究對象可以是一個物體，也可以是兩個以上的

18、物體組成的系統(tǒng)。 ②確定應(yīng)用動量定理的物理過程，即確定在哪一段時間內(nèi)應(yīng)用動量定理。 ③分析運動過程中的受力情況，給出外力沖量的矢量和的表達式。 ④分析運動過程始末的動量，并由所定正方向?qū)懗鰟恿孔兓谋磉_式。 ⑤列出動量定理方程并求解。, 【例6－1】如圖甲所示，物體A和B用輕繩相連，掛在輕質(zhì)彈簧下靜止不動，A的質(zhì)量為m，B的質(zhì)量為M。當(dāng)連接A、B的繩突然斷開后，物體A上升經(jīng)某一位置時的速度大小為v，這時物體B下落的速度大小為u，如圖乙所示。在這段時間里，彈簧的彈力對物體A的沖量為(　　) A．mv　　　 B．mv－Mu　　　 C．mv＋Mu　　　 D．mv＋mu 解析：該題涉

19、及的物體較多，可選B為研究對象，在B下落的這段時間t內(nèi)，其動量向下增加為Mu，B只受重力，由動量定理，重力的沖量為Mgt＝Mu，解得t＝。 以A為研究對象，其動量在時間t內(nèi)向上增加為mv，設(shè)彈力的沖量為I，由動量定理有I－mgt＝mv 解得I＝m(v＋u) 故正確選項為D。 答案：D 析規(guī)律 計算沖量的一般方法 求一個變力的沖量時，若該力是線性變化的，可轉(zhuǎn)化為恒力(平均力)求解，也可用動量定理求解；若該力不是均勻變化的，只能用動量定理求解。 【例6－2】在距地面高h處、同時以相等初速度v0分別平拋、豎直上拋、豎直下拋三個質(zhì)量均為m的物體，當(dāng)它們從拋出點落到地面時，比較它們的動量

20、的增量Δp，有(　　) A．平拋過程較大 B．豎直上拋過程較大 C．豎直下拋過程較大 D．三者一樣大 解析：由動量定理可知I合＝Δp，而I合＝mgt，豎直上拋過程t2最大，所以Δp2最大，應(yīng)選B。 答案：B 7．沖量與功的區(qū)別 8.動量定理與牛頓第二定律的區(qū)別與聯(lián)系 【例7】 如圖所示，在傾角α＝37°的斜面上，有一質(zhì)量為5 kg的物體沿斜面滑下，物體與斜面間的動摩擦因數(shù)μ＝0.2，求物體下滑2 s的時間內(nèi)物體所受各力的沖量。(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) 思路點撥：①判斷物體所受各力的方向；②根據(jù)沖量公

21、式求出各力的沖量。 解析：物體沿斜面下滑過程中，受重力、支持力和摩擦力的作用，沖量I＝FΔt，是矢量。 重力的沖量 IG＝GΔt＝mgΔt＝5×10×2 N·s＝100 N·s， 方向豎直向下。 支持力的沖量 IFN＝FNΔt＝mgcos α·Δt＝5×10×0.8×2 N·s＝80 N·s， 方向垂直于斜面向上。 摩擦力的沖量 IFf＝FfΔt＝μmgcos α·Δt＝0.2×5×10×0.8×2 N·s＝16 N·s，方向沿斜面向上。 答案：重力的沖量為100 N·s，方向豎直向下 支持力的沖量為80 N·s，方向垂直于斜面向上 摩擦力的沖量為16 N·s，方向沿斜

22、面向上 辨誤區(qū) 沖量與功的區(qū)別 在計算支持力的沖量時，若在垂直斜面方向上物體沒發(fā)生位移，有人就認為IFN＝0，這種錯誤觀點的根源在于未分清沖量與功的概念。應(yīng)注意：力對物體做功時，力的沖量不為零，但力對物體有沖量時力不一定對物體做功。沖量是矢量，功是標(biāo)量，沖量大小計算是作用力的大小乘以作用時間，功的計算是力與沿力的方向上發(fā)生位移的乘積。 【例8】 一輛質(zhì)量為2 t的汽車在水平公路上行駛時，它受到的阻力為自重的0.02倍。由靜止出發(fā)，它在恒定牽引力作用下10 s內(nèi)可加速到30 m/s。求汽車在這段加速過程中的牽引力。 解析：方法一：利用動量定理求解。 設(shè)汽車運動方向為正，則由動量定理可知： (F－kmg)t＝mv， 解得F＝kmg＋＝6.4×103 N。 方法二：利用動能定理求解。 汽車做勻加速直線運動，在10 s內(nèi)的位移為： s＝t＝150 m， 由動能定理(F－kmg)s＝mv2， 得F＝＋kmg＝6.4×103 N。 方法三：利用牛頓第二定律求解。 a＝＝ m/s2＝3 m/s2， 再根據(jù)牛頓第二定律 F－kmg＝ma， 得F＝kmg＋ma＝6.4×103 N。 答案：6.4×103 N 9