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3.4四連桿機構(gòu)設計
連桿機構(gòu)是最常用的機構(gòu)，因此連桿機構(gòu)優(yōu)化設計在機構(gòu)設計中十分重要，研究工作開展得也最為廣泛。有大量的文獻介紹有關平面四桿機構(gòu)、平面五桿機構(gòu)、柔性連桿機構(gòu)、曲柄連桿機構(gòu)、槽輪連桿機構(gòu)、凸輪連桿組合機構(gòu)和齒輪連桿等機構(gòu)的優(yōu)化。鑒于四連桿機構(gòu)的典型性，本節(jié)結(jié)合四連桿機構(gòu)的函數(shù)再現(xiàn)優(yōu)化設計問題，闡述連桿機構(gòu)優(yōu)化問題的一般方法及流程。
四連桿機構(gòu)的優(yōu)化設計就是對四連桿機構(gòu)的參量進行優(yōu)化調(diào)整，使得機構(gòu)給定的運動和機構(gòu)所實現(xiàn)的運動之間誤差最小。因此四連桿機構(gòu)的優(yōu)化設計的過程，就是尋找使得四連桿機構(gòu)運動誤差最小的一組機構(gòu)設計參量。四連桿機構(gòu)設計參量確定后，就可認為實現(xiàn)了機構(gòu)的優(yōu)化設計。
四連桿機構(gòu)的優(yōu)化設計包括四連桿機構(gòu)優(yōu)化模型建立和優(yōu)化模型求解二個主要過程。通過對四連桿機構(gòu)的分析確定優(yōu)化方案，確定設計變量，給出目標函數(shù)，并將機構(gòu)設計制約條件，如桿長條件、傳動角條件等，寫成相應的約束條件，即可建立機構(gòu)優(yōu)化設計模型。
下面介紹四連桿機構(gòu)函數(shù)再現(xiàn)優(yōu)化設計模型的建立。連桿機構(gòu)函數(shù)再現(xiàn)設計主要通過選取輸人構(gòu)件和輸出構(gòu)件相對應若干位置、采用機構(gòu)圖解法或分析法確定機構(gòu)各參數(shù)。圖1是典型的平面鉸鏈四桿機構(gòu)，、、和分別表示于四個構(gòu)件的長度，桿AB是輸入構(gòu)件。假設圖1所示的平面鉸鏈四桿機構(gòu)再現(xiàn)給定函數(shù)為，即，則機構(gòu)位置取決于、、、鉸鏈A的位置、AD與機架x軸夾角以及輸人構(gòu)件轉(zhuǎn)角等七個變量。
為簡化問題，可令A的位置為，，構(gòu)件的長度為1(參考構(gòu)件)，由此可將問題維數(shù)降為四維，并不影響構(gòu)件輸入、輸出的函數(shù)關系。由此可以得到輸出構(gòu)件轉(zhuǎn)角外與輸入構(gòu)件轉(zhuǎn)角之間的函數(shù)關系式：
（1）
機構(gòu)優(yōu)化設計目標就是使得輸出構(gòu)件轉(zhuǎn)角與給定值在，所有位置上的誤差最小。因此機構(gòu)優(yōu)化設計的目標函數(shù)可用下式表示
（2）
當輸入構(gòu)件轉(zhuǎn)角為時，輸出構(gòu)件轉(zhuǎn)角外可由下式求得，
（3）
式中：
所以
（4）
將上式代入式（3），并令代表設計變量、、及，機構(gòu)優(yōu)化設計目標函數(shù)可寫為：
（5）
????機構(gòu)優(yōu)化設計的約束條件應根據(jù)機構(gòu)設計的實際情況確定。例如曲柄搖桿式四連桿機構(gòu)必須滿足如下關系式：
或
（6）
????如果機構(gòu)要求傳動靈活可靠，則傳動角應滿足：
或
其中
從上式可知，傳動角隨的變化而變化，當為最大值時，為最小，為最小值時，為最大。要滿足上式條件，約束方程應為：
曲柄搖桿機構(gòu)有，因此，約束方程為
（7）
????當所選定的設計變量為構(gòu)件長度時，則構(gòu)件長度必須是正數(shù)，即約束方程為
式中是為了使構(gòu)件長度不小于而設的。
????此外，由于具體結(jié)構(gòu)尺寸的限制，往往對某些構(gòu)件的長度限定在某一范圍內(nèi)選取，例如連桿BC的長度最短為的倍，最長為的倍，即
則約束方程為
（8）
????下面介紹再現(xiàn)函數(shù)為的曲柄搖桿機構(gòu)的優(yōu)化設計。
????先變換給定函數(shù)為，并設輸人構(gòu)件初始角為，輸出構(gòu)件初始角為，選取輸入構(gòu)件的轉(zhuǎn)角為,輸出構(gòu)件的轉(zhuǎn)角為。當輸入構(gòu)件從轉(zhuǎn)到時，輸出構(gòu)件從轉(zhuǎn)到，輸入構(gòu)件從轉(zhuǎn)到時，輸出構(gòu)件則從回到。顯然有及，即及。代入函數(shù)式得：
設將輸入構(gòu)件的轉(zhuǎn)角均分成20等分，則，取權(quán)因子，再令代表設計變量、、及，則由式（5）得曲柄連桿機構(gòu)優(yōu)化目標函數(shù)為
????曲柄搖桿機構(gòu)優(yōu)化設計約束條件如下：
????由式（6）得：
要求傳動角滿足，由式（7）得：
根據(jù)機構(gòu)結(jié)構(gòu)尺寸，要求各構(gòu)件長度相對機架的尺寸在給定的范圍內(nèi)，由式(8)得
因此曲柄搖桿機構(gòu)優(yōu)化設計模型如下：
Min.
s.t.
????采用內(nèi)點懲罰函數(shù)法和POWELL法求解曲柄搖桿機構(gòu)優(yōu)化設計模型。選擇初始懲罰參數(shù)，遞減函數(shù)e = 0.01，初始點，取懲罰函數(shù)法收斂精度，POWELL法目標函數(shù)值收斂精度，一維搜索精度。
3.4.1確定設計變量
根據(jù)設計要求，由機械原理知識可知，設計變量有L1、L2、L3、L4、。將曲柄的長度取為一個單位長度1，其余三桿長可表示為L1的倍數(shù)。由圖1所示的幾何關系可知
為桿長的函數(shù)。另外，根據(jù)機構(gòu)在機器中的許可空間，可以適當預選機架L4的長度，取L4=5，經(jīng)以上分析，只剩下L2、L3兩個獨立變量，所以，該優(yōu)化問題的設計變量為
因此。本優(yōu)化設計為一個二維優(yōu)化問題。
3.4.2建立目標函數(shù)
按軌跡的優(yōu)化設計，可以將連桿上M點與預期軌跡點坐標偏差最小為尋優(yōu)目標，其偏差為和，如圖2。為此，把搖桿運動區(qū)間2到5分成S等分，M點坐標有相應分點與之對應。將各分點標號記作，根據(jù)均方根差可建立其目標函數(shù)，即
，S為運動區(qū)間的分段數(shù)
于是由以上表達式便構(gòu)成了一個目標函數(shù)的數(shù)學表達式，對應于每一個機構(gòu)設計方案（即給定），即可計算出均方根差。
圖 2
3.4.3確定約束條件
根據(jù)設計條件，該機構(gòu)的約束條件有兩個方面：一是傳遞運動過程中的最小傳動角應大于50度；二是保證四桿機構(gòu)滿足曲柄存在的條件。以此為基礎建立優(yōu)化線束條件。
①保證傳動角
圖 3
按傳動條件，根據(jù)圖3可能發(fā)生傳動角最小值的位置圖，由余弦定理
（見圖3（a））
所以
（a）
（見圖3（b））
所以
（b）
式（a）、（b）為兩個約束條件，將，，，代入式（a）、（b），得
②曲柄存在的條件
按曲柄存在條件，由機械原理知識可知
，，
，
把它們寫成不等式約束條件（將，，，代入上式），得
經(jīng)過分析，上述七個約束條件式中，和為緊約束條件，為松約束條件，即滿足和的，必滿足不等式，所以本優(yōu)化問題實際起作用的只有和兩個不等式約束條件。
3.4.4寫出優(yōu)化數(shù)學模型
綜上所述，可得本優(yōu)化問題的數(shù)學模型為
即本優(yōu)化問題具有兩個不等式約束的二維約束優(yōu)化問題。
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