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1、《數(shù)系的擴充》高中數(shù)學選修2— 2 教案
【目標】
?1. 了解實數(shù)系擴充的原因和過程，理解虛單位i 的概念，理解復數(shù)代數(shù)形
式、實部、虛部、純虛數(shù)、虛數(shù)等概念；
?2. 理解復數(shù)相等概念，了解復數(shù)系與實數(shù)系的關(guān)系；
?3. 感受數(shù)系的擴充和復數(shù)的誕生都是人類思想的創(chuàng)新和大解放，每次都引
發(fā)對自然界更深層次的認識，推動了科學的進步 .
【重點】 復數(shù)的誕生及其概念. 復數(shù)的分類（實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)）和復數(shù)相
等.
【難點】．虛單位i 的的概念 . 虛單位 i 的第二條性質(zhì).
【程序】
▲ 1.問題情境
問題1自然數(shù)集n、整數(shù)集z、有理數(shù)集q.實數(shù)集r之間有怎樣的包含關(guān)系
2、 呢？
key: n z, z q, q r, 總之 n z q r,（數(shù)系擴充之意自見）.
接著問：這些數(shù)是怎樣產(chǎn)生的？
key: 為了計數(shù)產(chǎn)生了自然數(shù)，
為了表示各種具有相反意義的量產(chǎn)生了負數(shù)；
為了測量等產(chǎn)生了分數(shù)
為了度量正方形對角線的長產(chǎn)生了無理數(shù).
發(fā)現(xiàn) 1：數(shù)集在按照某種 “規(guī)則 ”不斷擴充，（實踐的需要、解決數(shù)學體系
內(nèi)部矛盾的推動）
數(shù)系與運算聯(lián)系緊密，（數(shù)集無運算，猶無弓之箭；運算離開數(shù)系，猶如
無米之炊） .
人們總希望數(shù)系中的運算能夠在本數(shù)系中暢通無阻.
數(shù)系的每一次擴充的效果，是解決了在原有數(shù)集中某種運算受阻的矛盾，
負數(shù)解決了在正數(shù)集（如n
3、）中不夠減的矛盾，
分數(shù)解決了在整數(shù)中不能整除的矛盾，
無理數(shù)解決了開方開不盡的矛盾.
接著問：數(shù)系一般按照什么樣的 “規(guī)則 ”擴充？
key: 規(guī)則“ ”就是
在原有數(shù)系的基礎(chǔ)上 “添加 ”新的數(shù) .
▲ 2.實數(shù)系也面臨著問題（內(nèi)部矛盾）
數(shù)系擴到實數(shù)系 r 以后，因為沒有一個實數(shù)的平方等于－ 1.
問題：這表明什么運算在實數(shù)系 r 中不能暢通無阻？（答：開方運算）
從方程的觀點看，像 x2= － 1 這樣的方程在實數(shù)系 r 還是無解的 .
讓我們嘗試來克服這個矛盾.
▲ 3.大膽類比、解放思想
評：自然數(shù)n 中 “添加 ”新數(shù) -1 ，就 “忽如一夜春風來，千樹萬
4、樹梨花開 ”.
在實數(shù)中引入了一個新數(shù) ，也能取到這種效果嗎？
▲ 4.嚴格定義、理清思路
我們引入一個新數(shù) ，叫做虛數(shù)單位，并規(guī)定
(1)它的平方等于-1 ，即 ;
(2)實數(shù)可以與它進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘運算律仍然
成立 .
這就規(guī)定了虛數(shù)單位i 的兩條本質(zhì)屬性.
▲ 5. 添加“ ”虛數(shù)單位，誕生新的數(shù)系
1) i與實數(shù)相乘，得形如b i的數(shù)，當b*0時，稱b i為純虛數(shù).這就 忽 如一夜春風來，千樹萬樹梨花開”
2) 2) 形如 b i 的數(shù)與實數(shù) 相加，得形如 的數(shù)叫復數(shù).
復數(shù)的定義：形如 的數(shù)叫復數(shù)， 叫復數(shù)的實部， 叫復數(shù)的虛部全體復數(shù)
所成的集合叫做復數(shù)集，用字母c 表示
復數(shù)通常用字母z 表示，即 ，把復數(shù)表示成 的形式，叫做復數(shù)的代數(shù)形式
▲ 6.復數(shù)與實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及0 的關(guān)系
對于復數(shù)，
當且僅當b=0 時，復數(shù)是實數(shù) ；
當bw。時，復數(shù)叫做虛數(shù)；
當bw。且=0時，叫做純虛數(shù)；
▲ 且僅當=b=0時，z=+b i就是實數(shù)0.
▲ 7.例題解析
例 1 請說出復數(shù)4， 0， ， 6 的實部與虛部，并指出哪些是實數(shù)，哪些是
虛數(shù)，哪些是純虛數(shù)？
由學生回答：
例2實數(shù)m取什么數(shù)值時，復數(shù)z=m (m-1) +(m—1)i是:(1)實數(shù)？ (2)虛 數(shù)？(3)純虛數(shù)？
高二數(shù)學教案《數(shù)系的擴充》高中數(shù)學選修2—2教案
