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1、《數系的擴充》高中數學選修2— 2 教案
【目標】
?1. 了解實數系擴充的原因和過程，理解虛單位i 的概念，理解復數代數形
式、實部、虛部、純虛數、虛數等概念；
?2. 理解復數相等概念，了解復數系與實數系的關系；
?3. 感受數系的擴充和復數的誕生都是人類思想的創(chuàng)新和大解放，每次都引
發(fā)對自然界更深層次的認識，推動了科學的進步 .
【重點】 復數的誕生及其概念. 復數的分類（實數、虛數、純虛數）和復數相
等.
【難點】．虛單位i 的的概念 . 虛單位 i 的第二條性質.
【程序】
▲ 1.問題情境
問題1自然數集n、整數集z、有理數集q.實數集r之間有怎樣的包含關系
2、 呢？
key: n z, z q, q r, 總之 n z q r,（數系擴充之意自見）.
接著問：這些數是怎樣產生的？
key: 為了計數產生了自然數，
為了表示各種具有相反意義的量產生了負數；
為了測量等產生了分數
為了度量正方形對角線的長產生了無理數.
發(fā)現(xiàn) 1：數集在按照某種 “規(guī)則 ”不斷擴充，（實踐的需要、解決數學體系
內部矛盾的推動）
數系與運算聯(lián)系緊密，（數集無運算，猶無弓之箭；運算離開數系，猶如
無米之炊） .
人們總希望數系中的運算能夠在本數系中暢通無阻.
數系的每一次擴充的效果，是解決了在原有數集中某種運算受阻的矛盾，
負數解決了在正數集（如n
3、）中不夠減的矛盾，
分數解決了在整數中不能整除的矛盾，
無理數解決了開方開不盡的矛盾.
接著問：數系一般按照什么樣的 “規(guī)則 ”擴充？
key: 規(guī)則“ ”就是
在原有數系的基礎上 “添加 ”新的數 .
▲ 2.實數系也面臨著問題（內部矛盾）
數系擴到實數系 r 以后，因為沒有一個實數的平方等于－ 1.
問題：這表明什么運算在實數系 r 中不能暢通無阻？（答：開方運算）
從方程的觀點看，像 x2= － 1 這樣的方程在實數系 r 還是無解的 .
讓我們嘗試來克服這個矛盾.
▲ 3.大膽類比、解放思想
評：自然數n 中 “添加 ”新數 -1 ，就 “忽如一夜春風來，千樹萬
4、樹梨花開 ”.
在實數中引入了一個新數 ，也能取到這種效果嗎？
▲ 4.嚴格定義、理清思路
我們引入一個新數 ，叫做虛數單位，并規(guī)定
(1)它的平方等于-1 ，即 ;
(2)實數可以與它進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘運算律仍然
成立 .
這就規(guī)定了虛數單位i 的兩條本質屬性.
▲ 5. 添加“ ”虛數單位，誕生新的數系
1) i與實數相乘，得形如b i的數，當b*0時，稱b i為純虛數.這就 忽 如一夜春風來，千樹萬樹梨花開”
2) 2) 形如 b i 的數與實數 相加，得形如 的數叫復數.
復數的定義：形如 的數叫復數， 叫復數的實部， 叫復數的虛部全體復數
所成的集合叫做復數集，用字母c 表示
復數通常用字母z 表示，即 ，把復數表示成 的形式，叫做復數的代數形式
▲ 6.復數與實數、虛數、純虛數及0 的關系
對于復數，
當且僅當b=0 時，復數是實數 ；
當bw。時，復數叫做虛數；
當bw。且=0時，叫做純虛數；
▲ 且僅當=b=0時，z=+b i就是實數0.
▲ 7.例題解析
例 1 請說出復數4， 0， ， 6 的實部與虛部，并指出哪些是實數，哪些是
虛數，哪些是純虛數？
由學生回答：
例2實數m取什么數值時，復數z=m (m-1) +(m—1)i是:(1)實數？ (2)虛 數？(3)純虛數？
高二數學教案《數系的擴充》高中數學選修2—2教案
