第4講 二次函數(shù)綜合應(yīng)用

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1、word 第4講： 二次函數(shù)綜合應(yīng)用 一、 建構(gòu)新知 y=ax2+bx+c=0〔a≠0〕，a的符號(hào)由拋物線的開口方向決定，c的符合由拋物線與y軸交點(diǎn)的位置確定，b的符號(hào)由a與對(duì)稱軸的位置決定，拋物線的增減性由對(duì)稱軸決定，當(dāng)拋物線開口向上時(shí)，對(duì)稱軸左邊y隨x的增大而減小，對(duì)稱軸右邊y隨x的增大而增大；當(dāng)拋物線開口向下時(shí)，對(duì)稱軸左邊y隨x的增大而增大，對(duì)稱軸右邊y隨x的增大而減小．此外拋物線解析式中y=0得到一元二次方程的解即為拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)． 2.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)：對(duì)于二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是把握?qǐng)D象與二次函數(shù)各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系，同時(shí)觀察

2、圖象與x軸，y軸交點(diǎn)的位置，注意二次函數(shù)值y隨自變量x的變化要以對(duì)稱軸為分界點(diǎn). 對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象：〔1〕開口向上a>0；開口向下a<0.〔2〕c>0圖象與y軸的正半軸有交點(diǎn)；c=0圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)；c<0圖象與y軸的負(fù)半軸有交點(diǎn)；〔3〕根據(jù)對(duì)稱軸和a符號(hào)確定b的符號(hào)以與a、b之間的數(shù)量關(guān)系；〔4〕根據(jù)x=1時(shí)y的值來確定a+b+c的符號(hào)；根據(jù)x=－1時(shí)y的值來確定a－b+c的符號(hào)；x=2時(shí)y的值來確定4a+2b+c的符號(hào)；根據(jù)x=－2時(shí)y的值來確定4a－2b+c的符號(hào).〔5〕比擬函數(shù)值的大小，應(yīng)根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性把兩個(gè)點(diǎn)歸納在對(duì)稱軸的同側(cè)，然后利用函

3、數(shù)的增減性比擬大小. 3.二次函數(shù)綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是聯(lián)想相關(guān)函數(shù)與方程、不等式、坐標(biāo)交點(diǎn)、圖象交點(diǎn)分析，這是解決這類問題的思考點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合思想方法是解題中常用方法. 二、經(jīng)典例題 例1.如圖，拋物線于x軸交于A〔－1,0〕、B〔3,0〕兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C〔0,3〕. 〔1〕求拋物線的解析式. 〔2〕設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，在其對(duì)稱軸的右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PDC是等腰三角形，假如存在，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；假如不存在，請(qǐng)說明理由. 〔3〕假如點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)，以B、C、D、M為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形，試求出點(diǎn)M的坐標(biāo). 例2.如圖，拋物線經(jīng)過A〔－

4、1，0〕，B〔5，0〕，C〔0，－〕三點(diǎn)． 〔1〕求拋物線的解析式； 〔2〕在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P，使PA＋PC的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； 〔3〕點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使以A，C，M，N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？假如存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；假如不存在，說明理由． y x O A B C 例3. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=x2+2x與x軸相交于O、B，頂點(diǎn)為A，連接OA． 〔1〕求點(diǎn)A的坐標(biāo)和∠AOB的度數(shù)； 〔2〕假如將拋物線y=x2+2x向右平移4個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到拋物線m，其頂點(diǎn)為點(diǎn)C．連接OC和A

5、C，把△AOC沿OA翻折得到四邊形ACOC′．試判斷其形狀，并說明理由； 〔3〕在〔2〕的情況下，判斷點(diǎn)C′是否在拋物線y=x2+2x上，說明理由； 〔4〕假如點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試探究在拋物線m上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)O、P、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，且OC為該四邊形的一條邊？假如存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；假如不存在，請(qǐng)說明理由． 三、根底演練 1．如圖，二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為.二次函數(shù) 的圖象與軸交于原點(diǎn)與另一點(diǎn)，它的頂點(diǎn)在函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸上． x y O 1 2 3 2 1 A 〔1〕求點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)

6、； 〔2〕當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，求函數(shù)的關(guān)系式． 2．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C〔0，－1〕，ΔABC的面積為． 〔1〕求該二次函數(shù)的關(guān)系式； 〔2〕 在該二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)D，使四邊形ABCD為直角梯形？假如存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；假如不存在，請(qǐng) 說明理由． 3．，如圖拋物線與y軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè). 點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔1，0〕，OC=3OB. 〔1〕求拋物線的解析式； 〔2〕假如點(diǎn)D是線段AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ABCD面積的最大值： 〔

7、3〕假如點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)P在拋物線上．是否存在以A、C、E、P為頂點(diǎn)且以AC為一邊的平行四邊形？假如存在，求P的坐標(biāo)；假如不存在，請(qǐng)說明理由． 四、直擊中考 1．〔2013某某〕二次函數(shù)y =ax2+bx+c〔a≠0〕的圖象如下列圖，在如下五個(gè)結(jié)論中：①2a﹣b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＞0；⑤4a+2b+c＞0，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)有〔　　〕 A． 1 B． 2個(gè) C． 3個(gè) D． 4個(gè) 2.〔2013某某〕對(duì)于拋物線y＝－〔x＋1〕2＋3，如下結(jié)論：①拋物線的開口向下；②對(duì)稱軸為直線x＝1；③頂點(diǎn)坐標(biāo)為〔－1，3〕

8、；④x＞1時(shí)，y隨x的增大而減小，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為〔　　〕 A．1B．2 C．3D．4 3.〔2013某某〕給出如下命題與函數(shù)y=x，y=x2和y=①如果，那么0＜a＜1；②如果，那么a＞1；③如果，那么﹣1＜a＜0；④如果時(shí)，那么a＜﹣1．如此〔　　〕 A．正確的命題是①④B．錯(cuò)誤的命題是②③④ C．正確的命題是①②D．錯(cuò)誤的命題只有③ 4.〔2013某某〕兩點(diǎn)均在拋物線上，點(diǎn)是該拋物線的頂點(diǎn)，假如，如此的取值X圍是〔 〕 A．B．C．D． 5．〔2013某某〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝經(jīng)過平移得到拋物線y＝，其對(duì)稱軸與兩段拋物線所圍成的

9、陰影局部的面積為〔　　〕 A．2B．4C．8D．16 O x y 1 -1 6．〔2013某某〕如圖，以扇形OAB的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，半徑OB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔2，0〕，假如拋物線y=x2+k與扇形OAB的邊界總有兩個(gè)公共點(diǎn)，如此實(shí)數(shù)k的取值X圍是． 7.〔2013某某〕二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如下列圖，給出如下結(jié)論：①2a+b＞0；②b＞a＞c；③假如－1＜m＜n＜1，如此m+n＜；④3|a|+|c|＜2|b|。其中正確的結(jié)論是〔寫出你認(rèn)為正確的所有結(jié)論序號(hào)〕. 8．(2013某某)假如拋物線y＝x2＋bx＋c

10、與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，且過點(diǎn)A(m，n)，B(m＋6，n)，如此n＝______． 9.〔2013某某〕如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，拋物線經(jīng)過三點(diǎn)A、B、O(O為原點(diǎn))． 〔1〕求拋物線的解析式； 〔2〕在該拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)C，使的周長最?。偃绱嬖?，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．假如不存在，請(qǐng)說明理由； 〔3〕如果點(diǎn)P是該拋物線上軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么是否有最大面積．假如有，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)與的最大面積；假如沒有，請(qǐng)說明理由．〔注意：此題中的結(jié)果均保存根號(hào)〕． 10．〔2013某某〕如圖，三角形ABC是以BC為底邊的等腰三角形，點(diǎn)A，C分別是一次函數(shù)

11、的圖象與y軸、x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B在二次函數(shù)的圖像上，且該二次函數(shù)圖像上存在一點(diǎn)D使四邊形ABCD能構(gòu)成平行四邊形. (1)試求b，c的值、并寫出該二次函數(shù)表達(dá)式； (2)動(dòng)點(diǎn)P從A到D，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從C到A都以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)． ①當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，有PQ⊥AC? ②當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形PDCQ的面積最小?此時(shí)四邊形的面積是多少？ x y O B A D C 五、挑戰(zhàn)競賽 1.如圖，拋物線，頂點(diǎn)為E，該拋物線與軸交于A，B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，且OB=OC=3OA。直線與軸交于點(diǎn)D，求∠DBC－∠CBE. A B C

12、 D E O 六、每周一練 圖像的一局部，其對(duì)稱軸是，且過點(diǎn)〔－3,0〕，如下說法：①②③④假如是拋物線上兩點(diǎn)，如此，其中說法正確的答案是〔 〕 A.①②B.②③C. ①②④D.②③④ 2．在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝kx(k為常數(shù))與拋物線y＝x2－2交于A，B兩點(diǎn)，且A點(diǎn)在y軸左側(cè)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，－4)，連接PA，PB．有以下說法：①PO2＝PA·PB； ②當(dāng)k＞0時(shí)，(PA＋AO)(PB－BO)的值隨k的增大而增大；③當(dāng)k＝－時(shí)，BP2＝BO·BA； ④△PAB面積的最小值為4．其中正確的答案是______．(寫出所有正確說法的序號(hào)) 3．如圖，拋物線的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B〔5，0〕，另一個(gè)交點(diǎn)為A，且與y軸交于點(diǎn)C(0，5)． 〔1〕求直線BC與拋物線的解析式； 〔2〕假如點(diǎn)M是拋物線在x軸下方圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥y軸交直線BC于點(diǎn)N，求MN的最大值； 〔3〕在〔2〕的條件下，MN取得最大值時(shí)，假如點(diǎn)P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點(diǎn)，以BC為邊作平行四邊形CBPQ，設(shè)平行四邊形CBPQ的面積為，△ABN的面積為，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)． y x O C A B 8 / 8