[數(shù)學(xué)]第五章方差分析

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1、 第五章 方差分析 統(tǒng)計(jì)假設(shè)測(cè)驗(yàn)只適用于單個(gè)樣本或兩個(gè)樣本。當(dāng)樣本個(gè)數(shù)k≥3時(shí)，則需要采用另一種統(tǒng)計(jì)分析方法，即方差分析。 第一節(jié) 方差分析基礎(chǔ)(基本原理) 假設(shè)有k個(gè)樣本(組),每個(gè)組(樣本)有n個(gè)觀察值，則經(jīng)過(guò)初步整理的數(shù)據(jù)形式如表5.1。 表5.1 k×n數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)表 組別 (樣本) 觀察值 和 平均 1 2 3 … j … n 1 … … 2 … … 3 … … … … … … … … … … … … i

2、… … … … … … … … … … … … k … … 一、自由度和平方和的分解 ∵ (平均數(shù)的第一條性質(zhì)) ∴ 同理有： 以上各式等號(hào)左右兩邊分別相加，得： 上式一般表示為：

3、 其中表示總平方和，由觀察值之間的差異而引起的變異；表示組間平方和或樣本間平方和，是由組間或樣本間的不同而引起的變異；表示組內(nèi)平方和，是由相同的組或樣本內(nèi)的不同觀察值間的差異而引起的變異，由于相同的組或樣本處于相同的條件下，因此組內(nèi)平方和實(shí)際上表示由隨機(jī)誤差引起的變異，所以組內(nèi)平方和又稱誤差平方和。 這種將總的平方和分解成組間平方和與誤差平方和的過(guò)程和方法稱為平方和的分解，隨著變異來(lái)源的進(jìn)一步增加，還可以分解成不同的部分。 在平方和的分解式子中，各部分的計(jì)算公式如下： 則 需要指出的是，在組間平方和中除了組間固有的差異引起

4、的變異外，還包含有隨機(jī)誤差引起的變異在內(nèi)。 與平方和的分解相對(duì)應(yīng)，自由度也分解成相應(yīng)的部分，即：，其中，，而。 平方和和自由度分解的目的是為了計(jì)算相應(yīng)的均方，根據(jù)南均方的概念和定義，即有： ，，，其中表示總的變異程度大小，也可用表示；一般表示由處理效應(yīng)和隨機(jī)誤差共同引起的變異程度大小，也可用表示；表示單純由隨機(jī)誤差引起的變異程度大小，也可表示。 例5.1 設(shè)有三個(gè)葡萄品種，隨機(jī)抽樣，每品種各測(cè)定5株的單株果重，問(wèn)品種間的單株果重有無(wú)顯著差異？ 表5.1.1 葡萄不同品種單株果重(㎏) 品種 單 株 果 重 和 平均 甲 11 6 12

5、8 6 43 8.6 乙 12 16 21 13 16 78 15.6 丙 13 12 8 3 6 42 8.4 163 10.9 解：(1)自由度和平方和的分解 二、F測(cè)驗(yàn) 在一個(gè)平均數(shù)為μ，方差為σ2的正態(tài)總體中，隨機(jī)抽取兩個(gè)獨(dú)立樣本，分別求得其均方和，將和的比值定義為F，即： 此F值具有的自由度df1和的自由度df2。如果在給定的df1和df2下按上述方法從正態(tài)總體中進(jìn)行一系列抽樣，就可得到一系列的F值而構(gòu)成一個(gè)F

6、分布。其分布曲線如圖5.1： 從圖5.1中可以看出，F(xiàn)分布具有如下特征： 1. F分布是具有平均數(shù)和取值區(qū)間為[0,∞]的一組曲線； 2. F分布某一特定曲線的形狀僅決定于參數(shù)和； 3. 在或時(shí)，曲線呈反向J型，而，曲線呈偏態(tài)。 F分布某一特定區(qū)間的概率可以從統(tǒng)計(jì)表中查出。從本課程教材P361附表5中可以查出在α=0.05和α=0.01的F臨界值(需注意的是，附表5屬一尾概率表)。 在試驗(yàn)結(jié)果中，由于處理間均方內(nèi)還包含有部分誤差均方所引起變異，總體方差也一樣，因此只有處理間總體方差大于誤差總體方差時(shí)才能確定處理間有真實(shí)差異存在。要判斷處理間有沒有真實(shí)差異，需要經(jīng)過(guò)F測(cè)驗(yàn)( ，)

7、來(lái)確定。 ，然后根據(jù)dft和dfe查F臨界值表得F0.05和F0.01，然后進(jìn)行比較。 當(dāng)F≥F0.01時(shí)，表示處理間方差極顯著大于誤差方差，此時(shí)處理間有極顯著差異存在,此時(shí)在F值的右上角標(biāo)上兩個(gè)“*” ； 當(dāng)F0.01>F≥F0.05時(shí)，表示處理間方差顯著大于誤差方差，處理間有顯著差異存在，此時(shí)在F值的右上角標(biāo)上一個(gè)“*”； 當(dāng)F

8、 均方 F F0.05 F0.01 樣本間 F F0.05 F0.01 誤差 例如例5.1的F測(cè)驗(yàn)如下： (2) F測(cè)驗(yàn) 表5.1.2 葡萄不同品種單株果重方差分析表 變異來(lái)源 SS df s2 F F0.05 F0.01 品種間 168.1333 2 84.067 6.74* 3.89 6.93 誤差 149.6000 12 12.467 結(jié)果表明，不同品種間的單株果重有顯著差異。 當(dāng)F測(cè)驗(yàn)有顯著或極顯著差異時(shí)，僅表示樣本(處理)間在整體上有差異，但這種差異到底來(lái)自于哪

9、些樣本(處理)間，在此并不清楚，需要進(jìn)行多重比較以明確產(chǎn)生差異的具體原因。 三、多重比較 即樣本(處理)間的兩兩比較，其目的是分析樣本(處理)間產(chǎn)生差異的具體原因。 (一)、最小顯著差數(shù)法(LSD法) 最小顯著差數(shù)法的實(shí)質(zhì)是t測(cè)驗(yàn)，其測(cè)驗(yàn)步驟如下： 1. 計(jì)算平均數(shù)差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤 當(dāng)時(shí)，則 2. 計(jì)算最小顯著差數(shù)() 當(dāng)時(shí)接受HA，即 則，即 其中tα通過(guò)誤差自由度dfe查附表4獲得。 3. 進(jìn)行平均數(shù)差數(shù)的比較 按樣本(處理)平均數(shù)從大到小排列，列梯形表計(jì)算平均

10、數(shù)差數(shù)的絕對(duì)值，然后分別以和為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較。 當(dāng)時(shí)，表明兩個(gè)樣本(處理)間差異極顯著，在相應(yīng)差值的右上角標(biāo)上兩個(gè)“*” ；當(dāng)時(shí)，表明差異顯著，在相應(yīng)差值的右上角標(biāo)上一個(gè)“*” ；當(dāng)時(shí)，表明差異不顯著，在相應(yīng)差值的右上角不標(biāo)任何符號(hào)。 如例5.1的LSD法比較過(guò)程如下： (3) 則 表5.1.3 葡萄不同品種單株果重差異顯著性比較 品種 -8.4 -8.6 乙 15.6 7.2** 7.0** 甲 8.6 0.2 丙 8.4 表5.4結(jié)果表明，甲和乙、乙和丙品種的單株果重間有極顯著差異，而甲和丙兩品種間沒有

11、顯著差異。 由于最小顯著差數(shù)法的實(shí)質(zhì)是t測(cè)驗(yàn)，而t測(cè)驗(yàn)最多只能用于兩個(gè)樣本(處理)的比較，當(dāng)樣本數(shù)(處理數(shù))k≥3時(shí)，該法的標(biāo)準(zhǔn)較低，易犯第一類錯(cuò)誤，因此難以保證試驗(yàn)結(jié)果的可靠性。但如果每一個(gè)樣本(處理)只需與對(duì)照進(jìn)行比較，而樣本(處理)間不需進(jìn)行比較時(shí)，可以采用此法。 (二)、新復(fù)極差法(SSR法) 該法在不同樣本(處理)間采用不同的比較標(biāo)準(zhǔn)，可以用于多個(gè)樣本(處理)間的兩兩相互比較。其基本步驟如下： 1. 計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤(SE) 2. 計(jì)算最小顯著極差 ，即 其中SSR0.05和SSR0.01均根據(jù)誤差自由度dfe查教材P371

12、附表8查得(其中秩次距p從2一直取到和k相同)。 3. 進(jìn)行平均數(shù)差異顯著性比較 同LSD法一樣列梯形表，計(jì)算樣本(處理)平均數(shù)兩兩間的差數(shù)的絕對(duì)值，然后進(jìn)行比較。同樣，當(dāng)時(shí)，表明兩個(gè)樣本(處理)間差異極顯著，在相應(yīng)差值的右上角標(biāo)上兩個(gè)“*” ；當(dāng)時(shí)，表明差異顯著，在相應(yīng)差值的右上角標(biāo)上一個(gè)“*” ；當(dāng)時(shí)，表明差異不顯著，在相應(yīng)差值的右上角不標(biāo)任何符號(hào)。 如例5.1的SSR法比較過(guò)程如下： (3) 根據(jù)計(jì)算出表5.1.4。 表5.1.4 葡萄不同品種單株果重比較LSRα值 P SSR0.05 SSR0.01 LSR0.05 LSR0.01 2

13、3.08 4.32 4.87 6.83 3 3.23 4.55 5.10 7.19 表5.1.5 葡萄不同品種單株果重差異顯著性比較 品種 -8.4 -8.6 乙 15.6 7.2** 7.0** 甲 8.6 0.2 丙 8.4 表5.1.5結(jié)果表明，甲和乙、乙和丙品種的單株果重間有極顯著差異，而甲和丙兩品種間沒有顯著差異。 (三)、q法 該法的測(cè)驗(yàn)步驟與SSR法相同，其區(qū)別在于計(jì)算LSRα?xí)r根據(jù)誤差自由度dfe查教材P368附表7。其中： ，即 如例5.1的q法測(cè)驗(yàn)過(guò)程如下： 表5.1

14、.6 葡萄不同品種單株果重比較LSRα值 P q0.05 q0.01 LSR0.05 LSR0.01 2 3.08 4.32 4.87 6.83 3 3.77 5.05 5.96 7.98 表5.1.7 葡萄不同品種單株果重差異顯著性比較 品種 -8.4 -8.6 乙 15.6 7.2* 7.0** 甲 8.6 0.2 丙 8.4 表5.1.7結(jié)果表明，甲和乙的單株果重間有顯著差異差異，乙和丙品種有極顯著差異，而甲和丙兩品種間沒有顯著差異。 從以上分析過(guò)程和結(jié)果可以看出，在LSD法、SSR法和q法三

15、種測(cè)驗(yàn)方法的比較中，當(dāng)k=2時(shí)，三種方法的測(cè)驗(yàn)精度相同，并且只需F測(cè)驗(yàn)即可得出結(jié)論；當(dāng)k≥3時(shí)，三種方法的測(cè)驗(yàn)精度不同，其中LSD法最低，只適用于每個(gè)樣本(處理)分別只與對(duì)照的比較，而q法精度最高，SSR法居中。在具體的試驗(yàn)中應(yīng)根據(jù)試驗(yàn)的目的和要求選用合適的方法，在田間試驗(yàn)中，由于試驗(yàn)結(jié)果受環(huán)境因素的干擾較大，誤差較大，因此大多數(shù)均采用SSR法進(jìn)行多重比較。 四、多重比較結(jié)果的表示方法 (一)、列梯形表法 該法如表5.1.3、表5.1.5、表5.1.7，根據(jù)“*”的有無(wú)和“*”數(shù)量的多少來(lái)分析判斷有沒有顯著差異或差異顯著性的程度，比較直觀，但所占篇幅較大，在樣本(處理)數(shù)較多時(shí)不宜采用。

16、 (二)、劃線法 按平均數(shù)的大小從小到大將所有樣本(處理)進(jìn)行橫向排列。凡是差異不顯著的，則在相應(yīng)的樣本(處理)正面劃一條直線連接，而差異顯著的，則不用直線連接。例子見教材P107。 該法直觀，簡(jiǎn)單方便，但不能用于樣本(處理)較多時(shí)的表示。 (三)、標(biāo)記字母法 該法是目前科技文章中最常用的一種方法。在應(yīng)用時(shí)，用小寫字母a、b、c、…等表示α=0.05的水平，而用大寫字母A、B、C、…表示α=0.01的水平。操作過(guò)程如下： 1. 將全部樣本(處理)按平均數(shù)的大小從大到小依次縱向排列； 2. 在0.05水平下，在第一個(gè)樣本(處理)后面標(biāo)上小寫字母a； 3. 將該樣本(處理)的平均數(shù)

17、依次與其后面的平均數(shù)進(jìn)行比較，差異不顯著時(shí)標(biāo)上相同的字母a，再與下一個(gè)樣本(處理)的平均數(shù)進(jìn)行比較，依次進(jìn)行，差異不顯著的都標(biāo)上相同的字母a，一直到有顯著差異為止并返回。此時(shí)與第一個(gè)樣本(處理)平均數(shù)沒有顯著差異的親本(處理)后面暫時(shí)不標(biāo)字母。 4. 然后以第二個(gè)樣本(處理)后面標(biāo)上小寫字母b，并以其為標(biāo)準(zhǔn)依次與下面的樣本(處理)的平均數(shù)進(jìn)行比較，差異不顯著的都標(biāo)上相同的字母b，到差異顯著的樣本(處理)時(shí)不標(biāo)字母并返回再以第三個(gè)樣本(處理)標(biāo)c開始，再依次進(jìn)行比較，一直到最后一個(gè)樣本(處理)后面標(biāo)上字母(最后一個(gè)樣本(處理)后面只有一個(gè)字母)為止。 5. α=0.01的水平和α=0.05的

18、水平字母標(biāo)記的方法相同，區(qū)別在于前者是用大寫字母而后者用小寫字母，同時(shí)前者是以極顯著為標(biāo)準(zhǔn)而后者用顯著作為標(biāo)準(zhǔn)。 字母標(biāo)完后，根據(jù)有沒有相同的字母來(lái)分析判斷樣本(處理)間的差異顯著性，有相同小寫寫字母的樣本(處理)間沒有顯著差異，沒有相同大寫字母的樣本(處理)間有極顯著差異，而沒有相同小寫字母而有相同大寫字母的樣本(處理)間有顯著差異。 字母的標(biāo)記最好是在有差異顯著性結(jié)果的梯形表的基礎(chǔ)上進(jìn)行，否則要兼顧比較分析和標(biāo)記字母就很容易出錯(cuò)。 如下面兩個(gè)表格中的結(jié)果。 表5.1.8 水稻不同藥劑處理苗高差異顯著性(SSR法) 藥劑 苗高 () -14 -18 -23 D 2

19、9 15** 11** 6* B 23 9** 5* A 18 4 C 14 表5.1.9 水稻不同藥劑處理苗高差異顯著性(SSR法) 藥劑 苗高 (cm) 差異顯著性 5% 1% D 29 a A B 23 b AB A 18 c BC C 14 c C 另外，如果有梯形表的差異顯著性結(jié)果，則可用計(jì)個(gè)數(shù)的方法來(lái)標(biāo)記字母。該法基于規(guī)范的梯形表。方法是某一字母所需標(biāo)記的個(gè)數(shù)是梯形表中不帶“*”(在α=0.01水平上為“

20、**”)的差值個(gè)數(shù)加1。 在以標(biāo)記字母法表示多重比較結(jié)果時(shí)，要求所標(biāo)字母要簡(jiǎn)練，即的所用的字母數(shù)越少越好，按以上方法所標(biāo)記的字母，可能需要進(jìn)一步的精簡(jiǎn)處理，其方法如下： 1. 除第一樣本(處理)和最后一個(gè)樣本(處理)外，其余樣本(處理)后的某一個(gè)字母若在縱向上只出現(xiàn)一次并且在橫向上其前面還有它字母時(shí)，則該字母可以去除； 2. 如果某一個(gè)字母所代表的差異顯著性完全可以由其前面的某一個(gè)字母表示，則該字母可以省略； 3. 最后一個(gè)處理中多于一個(gè)的字母全部去除。 某一個(gè)字母精簡(jiǎn)后，其后的字母按順序向前提升以保證字母的連續(xù)性。 第二節(jié) 完全隨機(jī)設(shè)計(jì)試驗(yàn)資料的方差分析 一、單因素試驗(yàn)(

21、單向分組資料) (一)、處理間重復(fù)次數(shù)相等的方差分析 詳見本章第一節(jié)，在此不贅述。 (二)、處理單果重復(fù)交粶相等的方差分析 1. 自由度和平方和的分解特點(diǎn) 2. 多重比較特點(diǎn) 例5.2 今調(diào)查元帥蘋果短枝型1號(hào)、2號(hào)和普通型、小老樹枝條節(jié)間的平均長(zhǎng)度，期貨結(jié)果如表5.2.1，試比較其差異顯著性。 表5.2.1 元帥蘋果不同類型樹枝條節(jié)間長(zhǎng)度 類型 枝 條 節(jié) 間 長(zhǎng) 度 (cm) 總和 平均 短枝型1號(hào) 1.8 1.8 1.7 1.9 1.7 1.8 10.7 1.78 短枝型2

22、號(hào) 1.6 1.8 1.8 1.9 1.9 9.0 1.80 普通型 2.4 2.4 2.2 2.1 2.4 2.3 13.8 2.30 小老樹 1.5 1.4 1.7 1.4 6.0 1.50 39.5 1.88 解：(1)自由度和平方和的分解 (2)F測(cè)驗(yàn) 表5.2.2 元帥不同類型樹枝條節(jié)間長(zhǎng)度方差分析表 變異來(lái)源 SS df s2 F F0.05 F0.01 類型間 1.7241 3 0.5747 42.89**

23、3.20 5.18 誤差 0.2283 17 0.0134 結(jié)果表明，不同類型樹枝條節(jié)間長(zhǎng)度間有極顯著差異。 (3)多重比較 表5.2.3 元帥不同類型樹枝條節(jié)間長(zhǎng)度比較LSRα值 P SSR0.05 SSR0.01 LSR0.05 LSR0.01 2 2.98 4.10 0.152 0.209 3 3.13 4.30 0.160 0.219 4 3.22 4.41 0.164 0.225 表5.2.5 元帥不同類型樹枝條節(jié)間長(zhǎng)度差異顯著性(SSR法) 類型 節(jié)間長(zhǎng)度 (cm) 差異顯著性

24、5% 1% 普通型 2.30 a A 短枝型2號(hào) 1.80 b B 短枝型1號(hào) 1.78 b B 小老樹 1.50 c C 表5.2.4 元帥不同類型樹枝條節(jié)間長(zhǎng)度差異顯著性(SSR法) 類型 節(jié)間長(zhǎng)度 () -1.50 -1.78 -1.80 普通型 2.30 0.80** 0.52** 0.50** 短枝型2號(hào) 1.80 0.30** 0.02 短枝型1號(hào) 1.78 0.28** 小老樹 1.50 結(jié)果表明，普通型與其它三種類型的節(jié)間長(zhǎng)度有極顯著差異，短枝型1、2號(hào)與小老

25、樹間也有極顯著差異，而兩種短枝型間則沒有顯著差異。 二、兩因素試驗(yàn)(兩向分組資料) (一)、處理組合內(nèi)只有單個(gè)觀察值 如果有A、B兩個(gè)試驗(yàn)因素，A因素有a個(gè)水平，B因素有b個(gè)水平，則共有ab個(gè)處理組合。如果每個(gè)組合內(nèi)只有1個(gè)觀察值，則共有ab個(gè)觀察值。 表5.3 無(wú)重復(fù)兩因素完全隨機(jī)設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)表 A因素 B因素 A因素總和 A因素平均 1 2 3 … j … b 1 … … 2 … … 3 … … … … … … … … … … …

26、… i … … … … … … … … … … … … a … … B因素總和 … … B因素平均 … … 則有 根據(jù)平方和的分解原理，有： 即 總平方和 ， A因素平方和 B因素平方和 誤差平方和 在處理組合內(nèi)只有單個(gè)觀察值的兩因素試驗(yàn)中，試驗(yàn)誤差與互作效應(yīng)是混雜的，因此只有當(dāng)A×B互作效應(yīng)不顯著時(shí)，才能正確估計(jì)誤差

27、，從而獲得可靠的結(jié)論。 F測(cè)驗(yàn)的方差分析表如表5.17。 表5.4 無(wú)重復(fù)兩因素完全隨機(jī)設(shè)計(jì)方差分析表 變異來(lái)源 平方和 自由度 均方 F F0.05 F0.01 A因素 SSA dfA sA2 F0.05(dfA,dfe) F0.01(dfA,dfe) B因素 SSB dfB sB2 F0.05(dfB,dfe) F0.01(dfB,dfe) 誤差 SSe dfe se2 經(jīng)F測(cè)驗(yàn)，如果A因素的不同水平間有顯著或極顯著差異，則對(duì)A因素進(jìn)行多重比較；如果B因素的不同水平間有顯著或極顯著差異，則對(duì)B因素進(jìn)行多重比較。 A

28、因素的多重比較： ， B因素的多重比較： ， 根據(jù)多重比較的結(jié)果，選取兩個(gè)因素各自的最佳水平組合成全試驗(yàn)的最佳組合。 例5.3 將A1、A2、A3、A44種生長(zhǎng)素，并用B1、B2、B33種時(shí)間浸漬菜大豆品種種子，45d后測(cè)得各處理平均單株干物重(g)于表5.3.1。試作方差分析。 表5.3.1 生長(zhǎng)素處理大豆的試驗(yàn)結(jié)果(g) 生長(zhǎng)素(A) 浸漬時(shí)間(B) TA B1 B2 B3 A1 10 9 10 29 9.7 A2 2 5 4 11 3.7 A3 13 14 14 41 13.7 A4 12 12

29、 13 37 12.3 TB 37 40 41 118 9.2 10.0 10.2 9.83 解：方差分析如下 (1) 平方和與自由度的分解 (2) F測(cè)驗(yàn) 表5.3.2 生長(zhǎng)素處理大豆試驗(yàn)結(jié)果方差分析表 變異來(lái)源 平方和 自由度 均方 F F0.05 F0.01 生長(zhǎng)素間 177.0000 3 59.0000 78.67** 4.76 9.78 浸漬時(shí)間間 2.1667 2 1.0834

30、 1.44 5.14 10.92 誤 差 4.5000 6 0.7500 從表5.3.2中可以看出，不同生長(zhǎng)素處理的大豆單株干物重間存在極顯著差異，而不同浸漬時(shí)間之間則沒有顯著差異。 (3) 多重比較 由于只有不同生長(zhǎng)素間存在顯著差異，因此只需對(duì)生長(zhǎng)素的不同水平進(jìn)行多重比較，方法如下： () 表5.3.3 生長(zhǎng)素處理大豆試驗(yàn)干物重比較的LSRα值 P SSR0.05 SSR0.01 LSR0.05 LSR0.01 2 3.46 5.24 1.73 2.62 3 3.58 5.51 1.

31、79 2.76 4 3.64 5.65 1.82 2.82 表5.3.4 生長(zhǎng)素處理大豆試驗(yàn)干物重比較差異顯著性 生長(zhǎng)素 干物重 () -3.67 -9.67 -12.33 A3 13.67 10.00** 4.00** 1.33 A4 12.33 8.66** 2.66** A1 9.67 6.00** A2 3.67 從表5.3.4中可以看出，除了A3和A4間沒有顯著差異外，其余各生長(zhǎng)素處理的大豆干物重間均有極顯著差異。 表5.3.5 生長(zhǎng)素處理大豆試驗(yàn)干物重比較差異顯著性 生長(zhǎng)素 干物重 (g)

32、 差異顯著性 5% 1% A3 13.67 a A A4 12.33 a A A1 9.67 b B A2 3.67 c C 從表5.3.5中可以看出，除了A3和A4間沒有顯著差異外，其余各生長(zhǎng)素處理的大豆干物重間均有極顯著差異。 (二)、處理組合內(nèi)有重復(fù)觀察值 如果有A、B兩個(gè)試驗(yàn)因素，A因素有a個(gè)水平，B因素有b個(gè)水平，則共有ab個(gè)處理組合。如果每個(gè)組合內(nèi)有n個(gè)觀察值，則共有abn個(gè)觀察值，其數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)見教材P120表6.28。 方差分析的特點(diǎn)如下： ，其中 總平方和 ， 處理組合平方和 誤差平方和

33、 而有，其中 A因素平方和 B因素平方和 A×B互作平方和 ，其中 同樣有：，其中 表5.5 有重復(fù)兩因素完全隨機(jī)設(shè)計(jì)方差分析表 變異來(lái)源 SS df s2 F F0.05 F0.01 處理組合 A因素 B因素 A×B互作 誤差 同理，當(dāng)F測(cè)驗(yàn)顯著或極顯著時(shí)要進(jìn)行多重比較

34、，一般可針對(duì)以下兩種情況分別進(jìn)行。 1. 當(dāng)差異不顯著時(shí)，需對(duì)有顯著或極顯著差異的A因素或B因素分別進(jìn)行多重比較，而不必對(duì)處理組合進(jìn)行多重比較。此時(shí)有： 1.1 A因素平均數(shù)的比較 1.2 B因素平均數(shù)的比較 最后根據(jù)多重比較結(jié)果，選用A因素的最佳水平和B因素的最佳水平構(gòu)成最佳處理組合。 2. 當(dāng)差異顯著或極顯著時(shí)，則只需對(duì)處理組合進(jìn)行多重比較，而不必對(duì)A因素和B因素的平均數(shù)進(jìn)行多重比較。此時(shí)有： 第三節(jié) 隨機(jī)區(qū)組試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方差分析 一、單因素試驗(yàn) (一)、方差分析 單因素的隨機(jī)區(qū)組試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方差分析可以參照組合內(nèi)只有單個(gè)觀察值的兩因素完全隨

35、機(jī)設(shè)計(jì)的方法進(jìn)行，其中將試驗(yàn)因素看成是A因素、區(qū)組看成是B因素，因此k個(gè)處理、n個(gè)區(qū)組的單因素隨機(jī)區(qū)組試驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)果方差分析有： 處理平方和 區(qū)組平方和 誤差平方和 ，，， 從平方和和自由度的分解可以看出，由于SSr主要是由土壤差異或其它環(huán)境條件的差異所引起的變異，同時(shí)平方和均屬于非負(fù)數(shù)，當(dāng)區(qū)組變異從總變異中分離出來(lái)之后必然可以降低誤差的份量，從而降低誤差。 表5.6 單因素隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果方差分析表 變異來(lái)源 平方和 自由度 均方 F F0.05 F0.01 處理

36、 SSt dft st2 F0.05(dft,dfe) F0.01(dft,dfe) 區(qū)組 SSr dfr sr2 F0.05(dfr,dfe) F0.01(dfr,dfe) 誤差 SSe dfe se2 例5.4 5種方法貯藏紅星蘋果試驗(yàn)，以果肉硬度為試驗(yàn)指標(biāo)，隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)，各處理分別為A(加活性炭0.01%)、B(加活性炭0.03%)、C(加活性炭0.05%)、D(加活性炭0.07%)和E(空白對(duì)照)，試驗(yàn)結(jié)果見表5.4.1，試分析各處理間的差異顯著性。 表5.4.1 小包裝貯藏紅星蘋果果肉硬度(磅) 處理 區(qū)組 處理總和 處理

37、平均 1 2 3 4 A 11.7 11.1 10.4 12.9 46.1 11.52 B 8.9 6.4 8.6 9.8 33.7 8.42 C 9.0 9.9 9.2 11.7 39.8 9.95 D 9.7 10.0 9.3 11.2 40.2 10.05 E 12.2 8.9 7.8 8.0 36.9 9.22 區(qū)組總和 51.5 46.3 45.3 53.6 196.7 解：(1)自由度和平方和的分解

38、 (2) F測(cè)驗(yàn) 表5.4.2 小包裝貯藏紅星蘋果果肉硬度方差分析表 變異來(lái)源 SS df s2 F F0.05 F0.01 處理間 21.1030 4 5.276 3.34* 3.26 5.41 區(qū)組間 9.6535 3 3.218 2.03 3.49 5.95 誤差 18.9890 12 1.582 測(cè)驗(yàn)結(jié)果表明，不同處理間的果肉硬度有顯著差異，而區(qū)組間沒有顯著差異。 注：區(qū)組間如果差異不顯著，表明試驗(yàn)條件比較一致，此時(shí)用完全隨機(jī)設(shè)計(jì)和隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的作用和結(jié)果相同

39、；如果區(qū)組間差異顯著，表明試驗(yàn)條件差異比較大，此時(shí)用隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)比完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的精確度高。一般情況下無(wú)需對(duì)區(qū)組間進(jìn)行F測(cè)驗(yàn)和多重比較。 當(dāng)區(qū)組間沒有顯著差異時(shí)，一般要求將區(qū)組的平方和SSr和自由度dfr分別合并到誤差平方和和自由度中，然后按照完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方差分析方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。 (3) 多重比較(SSR法) 表5.4.3 小包裝貯藏紅星蘋果果肉硬度比較LSRα值 P SSR0.05 SSR0.01 LSR0.05 LSR0.01 2 3.08 4.32 1.94 2.72 3 3.23 4.55 2.03 2.87 4 3.33 4.68

40、 2.10 2.95 5 3.36 4.76 2.12 3.00 表5.4.4 小包裝貯藏紅星蘋果果肉硬度差異顯著性(SSR法) 處理 果肉硬度 () -8.42 -9.22 -9.95 -10.05 A 11.52 3.10** 2.30* 1.57 1.47 D 10.05 1.63 0.83 0.10 C 9.95 1.53 0.73 E 9.22 0.80 B 8.42 結(jié)果表明，A和B處理間果肉硬度有極顯著差異，A和E兩處理間有顯著差異，其余各自處理均無(wú)顯著差異。

41、 表5.4.5 小包裝貯藏紅星蘋果果肉硬度差異顯著性(SSR法) 處理 果肉硬度 (磅) 差異顯著性 5% 1% A 11.52 a A D 10.05 ab AB C 9.95 ab AB E 9.22 b AB B 8.42 b B 結(jié)果表明，A和B處理間果肉硬度有極顯著差異，A和E兩處理間有顯著差異，其余各自處理均無(wú)顯著差異。 (二)、缺區(qū)估計(jì) 方差分析是基于線性模型的基本假定，即，其中： 為全試驗(yàn)的總體平均數(shù)； 為處理效應(yīng)，即某一處理所引起的試驗(yàn)指標(biāo)的增

42、大或減小的部分，其數(shù)值為，為第i個(gè)處理的總體平均數(shù)； 為區(qū)組效應(yīng)，即某一區(qū)組由于土壤肥力或其它環(huán)境條件的差異所引起的試驗(yàn)指標(biāo)的增大或減小的部分，其數(shù)值為，其中為第j個(gè)區(qū)組的總體平均數(shù)； 為該觀察值誤差的總體平均數(shù)。 在田間實(shí)際試驗(yàn)中，需要用全試驗(yàn)的樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值；作為的估計(jì)值；作為的估計(jì)值；作為的估計(jì)值。因此上述線性模型可以轉(zhuǎn)化為： 如果由于無(wú)法控制的因素引起某些小區(qū)的觀察值丟失，可以采用數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的原理估算出相應(yīng)小區(qū)的數(shù)值，然后再進(jìn)行方差分析，在一定程度上可以進(jìn)行補(bǔ)救，即缺區(qū)估計(jì)。 缺區(qū)估計(jì)的基本原理是假定所缺失的小區(qū)的隨機(jī)誤差為0，即，則上述線性等式可轉(zhuǎn)化為：

43、其中為缺區(qū)所在的處理總和，可用計(jì)算，為缺區(qū)所在的處理除缺區(qū)外的觀察值總和。 為缺區(qū)所在的區(qū)組總和，可用計(jì)算，為缺區(qū)所在的區(qū)組除缺區(qū)外的觀察值總和。 為小區(qū)的觀察值總和，可用計(jì)算，為除缺區(qū)外的所有觀察值總和。因此有： 如果缺失兩個(gè)小區(qū)的數(shù)據(jù)，可用同樣原理建立以下方程組進(jìn)行估計(jì)： 缺區(qū)的數(shù)據(jù)估計(jì)出來(lái)后，將估計(jì)值代入相應(yīng)的小區(qū)中進(jìn)行方差分析，需要注意的是，由于估計(jì)值是沒有誤差的理論值，在進(jìn)行自由度的分解時(shí)，總自由度和誤差自由度均要減去缺區(qū)數(shù)，同時(shí)由于數(shù)據(jù)本身的精確度較低，因此多重比較常采用LSD法。 缺區(qū)估計(jì)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法消除了客觀上本應(yīng)該存在的誤差，導(dǎo)致結(jié)果的精確度降低，可

44、靠性較差，因此不能用缺區(qū)估計(jì)的方法代替田間的實(shí)際觀察測(cè)定。 二、兩因素試驗(yàn) 如果有A、B兩個(gè)試驗(yàn)因素，A因素有a個(gè)水平，B因素有b個(gè)水平，則共有ab個(gè)處理組合。試驗(yàn)共有n個(gè)區(qū)組按隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)，則共有abn個(gè)觀察值。則平方和和自由度的分解如下： ，其中 總平方和 ， 處理組合平方和 區(qū)組平方和 誤差平方和 而有，其中 A因素平方和 B因素平方和 A×B互作平方和 ，其中 同樣有：，其中

45、 表5.7 兩因素隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)方差分析表 變異來(lái)源 SS df s2 F F0.05 F0.01 處理組合 區(qū) 組 A因素 B因素 A×B互作 誤差 詳細(xì)分析過(guò)程見教材P249例13.1。 第四節(jié) 拉丁方試驗(yàn)資料的方差分析 一、方差分析 設(shè)有k個(gè)處理，按拉丁方進(jìn)行設(shè)計(jì)，則橫向有k個(gè)區(qū)組，縱向也有k個(gè)區(qū)組，則平方和和自由度的分解如下： 即，其中：

46、 總平方和 處理平方和 橫向區(qū)組平方和 縱向區(qū)組平方和 誤差平方和 從誤差平方和的計(jì)算可以看出，由于和分別代表橫向區(qū)組和縱向區(qū)組由于土壤肥力或其它環(huán)境條件的差異所引起的變異大小，同時(shí)和均為非負(fù)數(shù)，誤差平方和在隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步降低，具有雙向控制土壤差異的作用，具有更高的試驗(yàn)精確度。 ，，， 例5.5 番茄品種5個(gè)，采用5×5拉丁方設(shè)計(jì)，小區(qū)田間排列及其產(chǎn)量如圖5.2，試進(jìn)行方差分析。 Ⅰ Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅱ B 36 E 32 A

47、31 D 27 C 28 Ⅲ D 29 A 32 E 28 C 25 B 28 Ⅳ E 27 D 30 C 25 B 23 A 26 Ⅴ A 32 C 30 B 23 E 26 D 27 Ⅰ C 35 B 36 D 30 A 30 E 30 圖5.2 番茄品比試驗(yàn)拉丁方設(shè)計(jì)排列圖及其產(chǎn)量(㎏) 解：根據(jù)圖5.2結(jié)果，初步整理如表5.5.1和表5.2.2。 表5.5.1 番茄品比試驗(yàn)縱、橫區(qū)組產(chǎn)量統(tǒng)計(jì)(㎏) 橫向區(qū)組 縱向區(qū)組 Tr Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅰ 36 32

48、31 27 28 154 Ⅱ 29 32 28 25 28 142 Ⅲ 27 30 25 23 26 131 Ⅳ 32 30 23 26 27 138 Ⅴ 35 36 30 30 30 161 Tc 160 137 131 139 159 726 表5.5.2 番茄品比試驗(yàn)各品種產(chǎn)量統(tǒng)計(jì)(㎏) 品種 品種總和(Tt) 平均() A 31+32+26+32+30=151 30.2 B 36+28+23+23+36=146 29.2 C 28+25+25+30+35=143 28.6 D

49、 27+29+30+27+30=143 28.6 E 32+28+27+26+30=143 28.6 726 29.04 (1)自由度和平方和的分解 (2)F測(cè)驗(yàn) 表5.5.3 番茄品比試驗(yàn)小區(qū)產(chǎn)量方差分析表 變異來(lái)源 SS df s2 F F0.05 F0.01 品種間 9.76 4 2.44 0.82 3.26 5.41 橫向區(qū)組間 118.16 4 29.54 9.95** 3.26 5.41 縱向區(qū)組間 143.36

50、 4 35.84 12.07** 3.26 5.41 誤差 35.68 12 2.97 結(jié)果表明，5個(gè)番茄品種間的小區(qū)產(chǎn)量沒有顯著差異，而縱、橫區(qū)組的差異均達(dá)到極顯著水平，說(shuō)明試驗(yàn)地的肥力水平差異極大。 如果處理間的F測(cè)驗(yàn)結(jié)果是顯著或極顯著差異，同樣需要按前面的方法進(jìn)行多重比較以明確產(chǎn)生差異的具體來(lái)源；而縱、橫區(qū)組一般可以不作F測(cè)驗(yàn)，更不需進(jìn)行多重比較，但如果試驗(yàn)?zāi)康谋旧硎且私庠囼?yàn)地的肥力差異性則除外。 當(dāng)只有一個(gè)方向的區(qū)組差異達(dá)到顯著或極顯著水平時(shí)，試驗(yàn)可采用隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)，在統(tǒng)計(jì)分析上一般要求將相應(yīng)部分的平方和和自由度合并到誤差項(xiàng)中，再按隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的

51、方差分析方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析；當(dāng)兩個(gè)方向的區(qū)組差異均未達(dá)到顯著水平時(shí)，試驗(yàn)可采用完全隨機(jī)設(shè)計(jì)，在統(tǒng)計(jì)分析上一般要求將相應(yīng)部分的平方和和自由度合并到誤差項(xiàng)中按完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方法方差分析進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。 二、缺區(qū)估計(jì) 拉丁方設(shè)計(jì)的線性模型為，按照隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)缺區(qū)估計(jì)的基本原理，有： 當(dāng)假定為0時(shí)，則有： 同樣，將缺區(qū)數(shù)據(jù)估計(jì)出來(lái)后需將估計(jì)值代入原始資料中再進(jìn)行方差分析，同理由于估計(jì)值是理論值而沒有誤差，故總自由度和誤差自由度均要減去缺區(qū)數(shù)。 第五節(jié) 裂區(qū)試驗(yàn)資料的方差分析 設(shè)有A和B兩個(gè)試驗(yàn)因素，A因素有a個(gè)水平，B因素有b個(gè)水平，作裂區(qū)設(shè)計(jì)，共有n個(gè)區(qū)組，則全試

52、驗(yàn)共有abn個(gè)觀察值。 (一)、平方和和自由度的分解 ，其中 總平方和 ， 處理組合平方和 主區(qū)部分 主區(qū)平方和 區(qū)組平方和 A因素平方和 主區(qū)誤差平方和 副區(qū)部分 B因素平方和 A×B互作平方和 主區(qū)誤差平方和 ， ， 主區(qū)部分 ，，， 副區(qū)部分 ， (二)、F測(cè)驗(yàn) 見下頁(yè)表。 (三)、多重比較 1. 主處理(A因素

53、)平均數(shù)的比較 1.1 LSD法 ， 1.2 SSR法 ， 表5.9 兩因素試驗(yàn)裂區(qū)設(shè)計(jì)方差分析表 變異來(lái)源 SS df s2 F F0.05 F0.01 主區(qū)部分 A因素 區(qū) 組 誤差(EA) 副區(qū)部分 B因素 A×B互作 誤差(EB) 2. 副處理(B因素)平均數(shù)的比較 2.1 LSD法 ， 2.2 SSR法 ， 3. 交互作用(A×B組合)平均數(shù)的比較 3

54、.1 相同主處理內(nèi)兩個(gè)副處理平均數(shù)間的比較 3.1.1 LSD法 ， 3.1.2 SSR法 ， 3.2 相同副處理或不同副處理內(nèi)兩個(gè)主處理平均數(shù)的比較 3.2.1 LSD法 ， 3.2.1 SSR法 ， 注：以上公式來(lái)源于：林德光編著.生物統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)原理.沈陽(yáng)：遼寧人民出版社.1982.325-326 第四節(jié) 方差分析的基本假定和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換 一、方差分析的基本假定 方差分析是建立在線性可加模型的基礎(chǔ)之上的，試驗(yàn)結(jié)果要能采用方差分析進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，觀察值必須同時(shí)滿足以下條件： 1. 可加性 即 2. 正態(tài)性 即試驗(yàn)誤差是隨機(jī)的、彼此獨(dú)立的，具有平均數(shù)為0而且作正態(tài)分布。 3. 方差同質(zhì)性 即各個(gè)處理必須有一個(gè)共同的誤差方差存在。 二、數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換 1. 平方根轉(zhuǎn)換 如果樣本平均數(shù)與其方差有比例關(guān)系，可采用平方根轉(zhuǎn)換。 2. 對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換 如果數(shù)據(jù)所反映的效應(yīng)成倍加性或可乘性，可采用對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換。 3. 反正弦轉(zhuǎn)換 如果數(shù)據(jù)資料為二項(xiàng)分布的百分?jǐn)?shù)或成數(shù)，則可采用反正弦轉(zhuǎn)換。 本節(jié)詳細(xì)內(nèi)容參見教材P124～127。 - 84 -