高中數(shù)學(xué) 模塊復(fù)習(xí)課1 推理與證明課件 北師大版選修22

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1、第第1 1課時(shí)課時(shí)推理與證明推理與證明知識(shí)網(wǎng)絡(luò)要點(diǎn)梳理答案:歸納推理從特殊到特殊從結(jié)論出發(fā)尋找結(jié)論成立的充分條件反證法與正整數(shù)n有關(guān)的命題知識(shí)網(wǎng)絡(luò)要點(diǎn)梳理1.歸納推理與數(shù)學(xué)歸納法.歸納推理是一種合情推理,但“合情”不一定“合理”,其正確性都有待于嚴(yán)格證明,盡管如此,由歸納推理建立的“猜想”在探究新知識(shí)方面有著極其重要的作用.若是與自然數(shù)有關(guān)的“猜想”往往可以用數(shù)學(xué)歸納法來證明.2.直接證明與間接證明.綜合法和分析法是直接證明中的兩種最基本的證明方法,但兩種證明方法的思路截然相反,分析法既可用于尋找解題思路,也可以是完整的證明過程,分析法和綜合法可相互轉(zhuǎn)換,相互滲透,在解題中綜合法和分析法聯(lián)合運(yùn)

2、用,可轉(zhuǎn)換解題思路,增加解題途徑.反證法是一種間接證明的方法,它從命題結(jié)論的反面出發(fā)引出矛盾,從而肯定命題的結(jié)論.知識(shí)網(wǎng)絡(luò)要點(diǎn)梳理思考辨析判斷以下說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫“”,錯(cuò)誤的畫“”.(1)在歸納推理的過程中,前提真而結(jié)論假的情況有可能發(fā)生. ()(2)合情推理包括歸納推理和類比推理. ()(3)綜合法與分析法都是直接證明的方法. ()(4)“正難則反”的思想與反證法原理相同. () 專題歸納高考體驗(yàn)專題一歸納推理與類比推理 上不等式的規(guī)律,請寫出一個(gè)對(duì)正實(shí)數(shù)m,n都成立的條件不等式.解析:觀察所給不等式可以發(fā)現(xiàn):不等號(hào)左邊兩個(gè)根式的被開方專題歸納高考體驗(yàn)【例2】 對(duì)于問題:

3、“已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c0的解集為(-1,2),解關(guān)于x的不等式ax2-bx+c0”給出如下一種解法:解:由ax2+bx+c0的解集為(-1,2),得a(-x)2+b(-x)+c0的解集為(-2,1),即關(guān)于x的不等式ax2-bx+c0的解集為(-2,1).答案:(-3,-1)(1,2) 專題歸納高考體驗(yàn)反思感悟歸納推理的一般步驟為首先通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同特征,然后從相同特征中推出一個(gè)明確表述的一般性結(jié)論.類比推理的一般步驟是先找出兩類事物之間的相似性或一致性,再用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì),得到一個(gè)明確的命題.專題歸納高考體驗(yàn)變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1觀察下列各式:a+

4、b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,則a10+b10=()A.28 B.76C.123 D.199解析:1+3=4,3+4=7,4+7=11,7+11=18,11+18=29,47+76=123,可得a10+b10=123.答案:C專題歸納高考體驗(yàn)專題二綜合法和分析法 專題歸納高考體驗(yàn)【例4】 已知x,y0,x+y=1,試用分析法證明log2(x2y2+1)-log2x-log2ylog217-2.證明:x,y0,欲證log2(x2y2+1)-log2x-log2ylog217-2,式成立,這就證明了log2(x2y2+1)-log2x-log2ylog2

5、17-2成立.專題歸納高考體驗(yàn)反思感悟綜合法與分析法是直接證明中最基本的兩種證明方法,是解決數(shù)學(xué)問題的常用方法,也是兩種思路相反的推理方法.分析法是執(zhí)果索因,而綜合法是由因?qū)Ч?兩者各有優(yōu)缺點(diǎn).分析法容易探路,且探路與表述合一,缺點(diǎn)是表述易錯(cuò);綜合法條理清晰,易于表述,因而對(duì)于難題常把二者結(jié)合,互補(bǔ)優(yōu)缺,形成分析綜合法.專題歸納高考體驗(yàn)變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2設(shè)a0,b0,a+b=1,求證: 8,試用分析法和綜合法分別證明.證明:(方法一:綜合法)a0,b0,a+b=1,專題歸納高考體驗(yàn)(方法二:分析法)a0,b0,a+b=1,由基本不等式可知,當(dāng)a0,b0時(shí), 2成立,(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立)

6、所以原不等式成立.專題歸納高考體驗(yàn)專題三反證法【例5】 如圖,已知兩直線lm=O,l ,m ,l,m,=a,求證:l與m中至少有一條與平面相交.分析:結(jié)論中以“至少”形式出現(xiàn),直接證明較困難,可考慮用反證法.證明:假設(shè)l,m都不與平面相交,它們都不在平面內(nèi),l,且m.又l ,m ,=a,la,ma.lm.這與已知l,m是相交直線矛盾,因此,l與m中至少有一條與平面相交.專題歸納高考體驗(yàn)反思感悟反證法是高中數(shù)學(xué)的一種重要的證明方法,在不等式和立體幾何的證明中經(jīng)常用到,在高考題中也經(jīng)常出現(xiàn),它所反映出的“正難則反”的解決問題的思想方法更為重要.反證法主要證明否定性、唯一性命題,至多、至少型問題,幾

7、何問題.專題歸納高考體驗(yàn)證明:假設(shè)a,b,c都不小于零,則a+b+c0.=-(x-2)2+(y-2)2+(z-2)2-4+120.因?yàn)?(x-2)2+(y-2)2+(z-2)20,所以-4+120,即412,這與基本事實(shí)412矛盾.故a,b,c中至少有一個(gè)小于零.專題歸納高考體驗(yàn)專題四數(shù)學(xué)歸納法 專題歸納高考體驗(yàn)反思感悟數(shù)學(xué)歸納法是一種直接證明的方法,主要用來證明與正整數(shù)n有關(guān)的命題.證明時(shí)先證n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立,然后假設(shè)n=k(kn0,kN+)時(shí)命題成立,證明n=k+1時(shí)命題也成立即可.用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí),要注意幾個(gè)方面:(1)n的范圍以及遞推的起點(diǎn);(2)從f(k+1)和f(k)的

8、差異,尋找由k到k+1的遞推中,左邊要加(乘)上的式子;(3)在歸納遞推中,一定要運(yùn)用歸納假設(shè);(4)注意“歸納猜想證明”的思維模式的應(yīng)用.專題歸納高考體驗(yàn)考點(diǎn)一:合情推理1.(2017全國高考)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績.老師說:你們四人中有2位優(yōu)秀,2位良好,我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績,給乙看丙的成績,給丁看甲的成績,看后甲對(duì)大家說:我還是不知道我的成績.根據(jù)以上信息,則()A.乙可以知道四人的成績B.丁可以知道四人的成績C.乙、丁可以知道對(duì)方的成績D.乙、丁可以知道自己的成績解析:因?yàn)榧撞恢雷约旱某煽?所以乙、丙的成績是一位優(yōu)秀一位良好.又因?yàn)橐抑辣某煽?所

9、以乙知道自己的成績.又因?yàn)橐摇⒈某煽兪且晃粌?yōu)秀一位良好,所以甲、丁的成績也是一位優(yōu)秀一位良好.又因?yàn)槎≈兰椎某煽?所以丁也知道自己的成績,故選D.答案:D專題歸納高考體驗(yàn)2.(2016全國丙高考)定義“規(guī)范01數(shù)列”an如下:an共有2m項(xiàng),其中m項(xiàng)為0,m項(xiàng)為1,且對(duì)任意k2m,a1,a2,ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).若m=4,則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有()A.18個(gè) B.16個(gè)C.14個(gè)D.12個(gè)專題歸納高考體驗(yàn)解析:由題意知a1=0,a8=1,則滿足題意的a1,a2,a8的可能取值如下:綜上可知,不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有14個(gè).答案:C 專題歸納高考體驗(yàn)3.(2016全國甲高考

10、)如圖,小明從街道的E處出發(fā),先到F處與小紅會(huì)合,再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng),則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A.24B.18C.12 D.9解析:由題意知,小明從街道的E處出發(fā)到F處的最短路徑有6條,再從F處到G處的最短路徑有3條,則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為63=18,故選B.答案:B專題歸納高考體驗(yàn)4.(2016山東高考)觀察下列等式: 專題歸納高考體驗(yàn)解析:由等式可知,等式右邊共三個(gè)數(shù)相乘,第一個(gè)數(shù)都是 ;而所給等式就是第n個(gè)式子,顯然第2個(gè)數(shù)與該等式所在行數(shù)相同,故第2個(gè)數(shù)為n;第三個(gè)數(shù)比第2個(gè)數(shù)大1,所以第3個(gè)數(shù)為n+1.所以第n個(gè)式子等號(hào)右邊

11、為 n(n+1).專題歸納高考體驗(yàn)5.(2016北京高考)袋中裝有偶數(shù)個(gè)球,其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個(gè)空盒.每次從袋中任意取出兩個(gè)球,將其中一個(gè)球放入甲盒,如果這個(gè)球是紅球,就將另一個(gè)球放入乙盒,否則就放入丙盒.重復(fù)上述過程,直到袋中所有球都被放入盒中,則()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多專題歸納高考體驗(yàn)解析:若乙盒中放入的是紅球,則須保證抽到的兩個(gè)均是紅球;若乙盒中放入的是黑球,則須保證抽到的兩個(gè)球是一紅一黑,且紅球放入甲盒;若丙盒中放入的是紅球,則須保證抽到的兩個(gè)球是一紅一黑,且黑球

12、放入甲盒;若丙盒中放入的是黑球,則須保證抽到的兩個(gè)球都是黑球;又由于袋中有偶數(shù)個(gè)球,且紅球、黑球各占一半,則每次從袋中任取兩個(gè)球,抽到兩個(gè)紅球的次數(shù)與抽到兩個(gè)黑球的次數(shù)一定是相等的,故乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多,選B.答案:B專題歸納高考體驗(yàn)6.(2016全國甲高考)有三張卡片,分別寫有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一張卡片,甲看了乙的卡片后說:“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”,乙看了丙的卡片后說:“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”,丙說:“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”,則甲的卡片上的數(shù)字是.解析:由丙說的話可知,丙的卡片上的數(shù)字可能是“1和2”或“1和3”.若丙的卡片上的數(shù)

13、字是“1和2”,則由乙說的話可知,乙的卡片上的數(shù)字是“2和3”,甲的卡片上的數(shù)字是“1和3”,此時(shí)與甲說的話一致;若丙的卡片上的數(shù)字是“1和3”,則由乙說的話可知,乙的卡片上的數(shù)字是“2和3”,甲的卡片上的數(shù)字是“1和2”,此時(shí)與甲說的話矛盾.綜上可知,甲的卡片上的數(shù)字是“1和3”.答案:1和3專題歸納高考體驗(yàn)考點(diǎn)二:分析法、綜合法、反證法7.(2016北京高考)某學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的立定跳遠(yuǎn)和30秒跳繩兩個(gè)單項(xiàng)比賽分成預(yù)賽和決賽兩個(gè)階段.下表為10名學(xué)生的預(yù)賽成績,其中有三個(gè)數(shù)據(jù)模糊.專題歸納高考體驗(yàn)在這10名學(xué)生中,進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽的有8人,同時(shí)進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽和30秒跳繩決賽的有6人,則()A.

14、2號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽B.5號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽C.8號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽D.9號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽解析:將30秒跳繩成績確定的學(xué)生,按其成績從大到小,把他們的序號(hào)排列為3,6,7,10,1與5并列,4;由題意可知3,6,7號(hào)同時(shí)進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)和30秒跳繩的決賽.假設(shè)5號(hào)學(xué)生沒有進(jìn)入30秒跳繩決賽,則1號(hào)和4號(hào)學(xué)生也沒有進(jìn)入30秒跳繩決賽.這與“同時(shí)進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽和30秒跳繩決賽的有6人”矛盾.故5號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽,故選B.答案:B專題歸納高考體驗(yàn)8.(2015浙江高考)設(shè)實(shí)數(shù)a,b,t滿足|a+1|=|sin b|=t. ()A.若t確定,則b2唯一確定B.若t確定,

15、則a2+2a唯一確定C.若t確定,則sin 唯一確定D.若t確定,則a2+a唯一確定解析:當(dāng)t=0時(shí),sin b=0,b=k,kZ,所以b2不確定,故A錯(cuò); 當(dāng)t=2時(shí),|a+1|=2,解得a=1或a=-3,所以a2+a=2或a2+a=6,故D錯(cuò);因?yàn)閨a+1|=t,所以a2+2a=t2-1;當(dāng)t確定時(shí),t2-1唯一確定,即a2+2a唯一確定,故B正確.答案:B 專題歸納高考體驗(yàn)9.(2015福建高考)一個(gè)二元碼是由0和1組成的數(shù)字串x1x2xn(nN+),其中xk(k=1,2,n)稱為第k位碼元.二元碼是通信中常用的碼,但在通信過程中有時(shí)會(huì)發(fā)生碼元錯(cuò)誤(即碼元由0變?yōu)?,或者由1變?yōu)?).已

16、知某種二元碼x1x2x7的碼元滿足如下校驗(yàn)方程為:00=0,01=1,10=1,11=0.現(xiàn)已知一個(gè)這種二元碼在通信過程中僅在第k位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了1101101,那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定k等于.專題歸納高考體驗(yàn)解析:若1k3,則x4=1,x5=1,x6=0,x7=1,不滿足x4x5x6x7=0;若k=4,則二元碼為1100101,不滿足x1x3x5x7=0;若k=5,則二元碼為1101001,滿足方程組,故k=5.答案:5專題歸納高考體驗(yàn)10.(2016天津高考)已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列,公差為d.對(duì)任意的nN+,bn是an和an+1的等比中項(xiàng).專題歸納高考體驗(yàn)考點(diǎn)三:數(shù)學(xué)歸

17、納法11.(2015江蘇高考)已知集合X=1,2,3,Yn=1,2,3,n(nN+),設(shè)Sn=(a,b)|a整除b或b整除a,aX,bYn.令f(n)表示集合Sn所含元素的個(gè)數(shù).(1)寫出f(6)的值;(2)當(dāng)n6時(shí),寫出f(n)的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.專題歸納高考體驗(yàn)解:(1)f(6)=13.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明: 專題歸納高考體驗(yàn)假設(shè)n=k(k6)時(shí)結(jié)論成立,那么n=k+1時(shí),Sk+1在Sk的基礎(chǔ)上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中產(chǎn)生,分以下情形討論:1)若k+1=6t,則k=6(t-1)+5,此時(shí)有專題歸納高考體驗(yàn)專題歸納高考體驗(yàn)專題歸納高考體驗(yàn)12.

18、(2015北京高考)已知數(shù)列an滿足:a1N+,a136,且 (1)若a1=6,寫出集合M的所有元素;(2)若集合M存在一個(gè)元素是3的倍數(shù),證明:M的所有元素都是3的倍數(shù);(3)求集合M的元素個(gè)數(shù)的最大值.專題歸納高考體驗(yàn)解:(1)6,12,24.(2)因?yàn)榧螹存在一個(gè)元素是3的倍數(shù),所以不妨設(shè)ak是3的倍數(shù).如果k=1,則M的所有元素都是3的倍數(shù).如果k1,因?yàn)閍k=2ak-1或ak=2ak-1-36,所以2ak-1是3的倍數(shù),于是ak-1是3的倍數(shù).類似可得,ak-2,a1都是3的倍數(shù),從而對(duì)任意n1,an是3的倍數(shù),因此M的所有元素都是3的倍數(shù).綜上,若集合M存在一個(gè)元素是3的倍數(shù),則

19、M的所有元素都是3的倍數(shù).專題歸納高考體驗(yàn)所以a2是2的倍數(shù).從而當(dāng)n3時(shí),an是4的倍數(shù).如果a1是3的倍數(shù),由(2)知對(duì)所有正整數(shù)n,an是3的倍數(shù).因此當(dāng)n3時(shí),an12,24,36.這時(shí)M的元素個(gè)數(shù)不超過5.如果a1不是3的倍數(shù),由(2)知對(duì)所有正整數(shù)n,an不是3的倍數(shù).因此當(dāng)n3時(shí),an4,8,16,20,28,32.這時(shí)M的元素個(gè)數(shù)不超過8.當(dāng)a1=1時(shí),M=1,2,4,8,16,20,28,32有8個(gè)元素.綜上可知,集合M的元素個(gè)數(shù)的最大值為8.專題歸納高考體驗(yàn)(1)若b=1,求a2,a3及數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)若b=-1,問:是否存在實(shí)數(shù)c使得a2ncf(a2k+1)f(

20、1)=a2,即1ca2k+2a2.再由f(x)在(-,1上為減函數(shù)得c=f(c)f(a2k+2)f(a2)=a31.故ca2k+31,因此a2(k+1)ca2(k+1)+11.這就是說,當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立.專題歸納高考體驗(yàn)則an+1=f(an).先證:0an1(nN+).當(dāng)n=1時(shí),結(jié)論明顯成立.假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立,即0ak1.易知f(x)在(-,1上為減函數(shù),即0ak+11,這就是說,當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立.故成立.再證:a2na2n+1(nN+).專題歸納高考體驗(yàn)假設(shè)n=k時(shí),結(jié)論成立,即a2kf(a2k+1)=a2k+2,a2(k+1)=f(a2k+1)f(a2k+2)=a2(k+1)+1.這就是說,當(dāng)n=k+1時(shí)成立.所以對(duì)一切nN+成立.專題歸納高考體驗(yàn)