高考數(shù)學復習 17-18版 第9章 第43課 直線的方程

《高考數(shù)學復習 17-18版 第9章 第43課 直線的方程》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數(shù)學復習 17-18版 第9章 第43課 直線的方程（14頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 第九章　平面解析幾何 第43課 直線的方程 [最新考綱] 內容 要求 A B C 直線的斜率與傾斜角 √ 直線方程 √ 1．直線的傾斜角 (1)定義：在平面直角坐標系中，對于一條與x軸相交的直線，把x軸所在的直線繞著交點按逆時針方向旋轉到和直線重合時所轉過的最小正角稱為這條直線的傾斜角．當直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0°. (2)范圍：直線l傾斜角的取值范圍是[0，π)． 2．斜率公式 (1)直線l的傾斜角為α≠90°，則斜率k＝tan_α. (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上，且x1≠x2，

2、則l的斜率k＝. 3．直線方程的五種形式 名稱 方程 適用范圍 點斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直線x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x軸的直線 兩點式 ＝ 不含直線x＝x1(x1≠x2)和直線y＝y(tǒng)1(y1≠y2) 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐標軸和過原點的直線 一般式 Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0 平面內所有直線都適用 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)根據直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置．(　　) (2)坐標平面內的任何一條直線均有傾斜角與斜率．(　　) (3)過定點P0

3、(x0，y0)的直線都可用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(　　) (4)經過任意兩個不同的點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)直線x－y＋a＝0(a為常數(shù))的傾斜角為________． 60°　[直線的斜率為k＝tan α＝， 又因為0°≤α＜180°，則α＝60°.] 3．已知直線l經過點P(－2,5)，且斜率為－.則直線l的方程為________． 3x＋4y－14＝0　[直線l的方程為y－5＝－(x＋2)，即3x＋

4、4y－14＝0.] 4．如果A·C<0，且B·C<0，那么直線Ax＋By＋C＝0不通過第________象限． 三　[Ax＋By＋C＝0可變形為y＝－x－. 又A·C<0，B·C<0，故A，B同號． 所以－<0，－>0， 所以Ax＋By＋C＝0不通過第三象限．] 5．過點P(2,3)，并且在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)的直線l的方程為________． 3x－2y＝0或x－y＋1＝0　[當直線過原點時，方程為y＝x，即3x－2y＝0. 當直線l不過原點時，設直線方程為－＝1. 將P(2,3)代入方程，得a＝－1， 所以直線l的方程為x－y＋1＝0. 綜上，所求直線l的方程為

5、3x－2y＝0或x－y＋1＝0.] 直線的傾斜角和斜率 　(1)直線x－ycos θ＋1＝0(θ∈R)的傾斜角α的取值范圍是________. 【導學號：62172235】 (2)若直線l過點P(－3,2)，且與以A(－2，－3)，B(3,0)為端點的線段相交，則直線l的斜率的取值范圍是________． (1)　(2)　[(1)當θ＝kπ＋(k∈Z)時，cos θ＝0，直線為x＋1＝0，其傾斜角為. 當θ≠kπ＋(k∈Z)時，直線l的斜率為 tan α＝∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 所以直線l的傾斜角的取值范圍是∪. 綜上，α的取值范圍是. (2)因為P

6、(－3,2)，A(－2，－3)，B(3,0)，則kPA＝＝－5， kPB＝＝－. 如圖所示，當直線l與線段AB相交時，直線l的斜率的取值范圍為.] [規(guī)律方法]　1.(1)任一直線都有傾斜角，但斜率不一定都存在；直線傾斜角的范圍是[0，π)，斜率的取值范圍是R. (2)正切函數(shù)在[0，π)上不單調，借助圖象或單位圓數(shù)形結合，確定傾斜角α的取值范圍． 2．第(2)問求解要注意兩點： (1)斜率公式的正確計算； (2)數(shù)形結合寫出斜率的范圍，切莫誤認為k≤－5或k≥－. [變式訓練1]　(1)直線l經過點A(1,2)，在x軸上的截距的取值范圍是(－3,3)，則其斜率k的取值范圍

7、是________． (2)直線l經過點A(3,1)，B(2，－m2)(m∈R)兩點，則直線l的傾斜角α的取值范圍是________． (1)k＜－1或k＞　(2)　[(1)設直線的斜率為k，則直線方程為y－2＝k(x－1)，直線在x軸上的截距為1－. 令－3＜1－＜3，解不等式得k＜－1或k＞. (2)直線l的斜率k＝＝1＋m2≥1，所以k＝tan α≥1. 又y＝tan α在上是增函數(shù)，因此≤α＜.] 求直線的方程 　(1)過點A(1,3)，斜率是直線y＝－4x的斜率的的直線方程為________． (2)若A(1，－2)，B(5,6)，直線l經過AB的中點M且在兩坐標

8、軸上的截距相等，求直線l的方程． (1)4x＋3y－13＝0　[設所求直線的斜率為k，依題意 k＝－4×＝－. 又直線經過點A(1,3)，因此所求直線方程為 y－3＝－(x－1)，即4x＋3y－13＝0.] (2)法一：設直線l在x軸，y軸上的截距均為a. 由題意得M(3,2)． 若a＝0，即l過點(0,0)和(3,2)， 所以直線l的方程為y＝x，即2x－3y＝0. 若a≠0，設直線l的方程為＋＝1， 因為直線l過點M(3,2)，所以＋＝1， 所以a＝5，此時直線l的方程為＋＝1，即x＋y－5＝0. 綜上，直線l的方程為2x－3y＝0或x＋y－5＝0. 法二：易知M

9、(3,2)，由題意知所求直線l的斜率k存在且k≠0，則直線l的方程為y－2＝k(x－3)． 令y＝0，得x＝3－；令x＝0，得y＝2－3k. 所以3－＝2－3k，解得k＝－1或k＝. 所以直線l的方程為y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)， 即x＋y－5＝0或2x－3y＝0. [規(guī)律方法]　1.截距可正、可負、可為0，因此在解與截距有關的問題時，一定要注意“截距為0”的情況，以防漏解． 2．求直線方程的方法主要有兩種：直接法與待定系數(shù)法．運用待定系數(shù)法要先設出直線方程，再根據條件求出待定系數(shù)．利用此方法，注意各種形式的適用條件，選擇適當?shù)闹本€方程的形式至關重要． [變式訓練2

10、]　求過點A(－1，－3)且傾斜角等于直線y＝3x的傾斜角的2倍的直線方程． [解]　由已知設直線y＝3x的傾斜角為α， 則所求直線的傾斜角為2α. ∵tan α＝3， ∴tan 2α＝＝－. 又直線經過點A(－1，－3)， 因此所求直線方程為y＋3＝－(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0. 直線方程的綜合應用 　已知直線l過點M(1,1)，且與x軸，y軸的正半軸分別相交于A，B兩點，O為坐標原點．求： (1)當OA＋OB取得最小值時，直線l的方程； (2)當MA2＋MB2取得最小值時，直線l的方程. 【導學號：62172236】 [解]　(1)設A(a,0)，B(0，

11、b)(a＞0，b＞0)． 設直線l的方程為＋＝1，則＋＝1， 所以OA＋OB＝a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4， 當且僅當a＝b＝2時取等號，此時直線l的方程為x＋y－2＝0. (2)設直線l的斜率為k，則k＜0，直線l的方程為y－1＝k(x－1)， 則A，B(0,1－k)， 所以MA2＋MB2＝2＋12＋12＋(1－1＋k)2＝2＋k2＋≥2＋2＝4. 當且僅當k2＝，即k＝－1時，上式等號成立． ∴當MA2＋MB2取得最小值時，直線l的方程為x＋y－2＝0. [規(guī)律方法]　1.求解本題的關鍵是找出OA＋OB與MA2＋MB2取得最小值的求法，恰當設出方程的形式，利用均

12、值不等式求解，但一定要注意等號成立的條件． 2．利用直線方程解決問題，為簡化運算可靈活選用直線方程的形式．一般地，已知一點通常選擇點斜式；已知斜率選擇斜截式或點斜式；已知截距選擇截距式． [變式訓練3]　已知直線l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，當0＜a＜2時，直線l1，l2與兩坐標軸正半軸圍成一個四邊形，則當a為何值時，四邊形的面積最?。? [解]　由得x＝y(tǒng)＝2， ∴直線l1與l2交于點A(2,2)(如圖)． 易知OB＝a2＋2，OC＝2－a， 則S四邊形OBAC＝S△AOB＋S△AOC＝×2(a2＋2)＋×2(2－a)＝a2－a＋4＝2＋，a∈(0,2

13、)， ∴當a＝時，四邊形OBAC的面積最小． [思想與方法] 1．求直線方程的兩種常見方法： (1)直接法：根據已知條件選擇恰當?shù)闹本€方程形式，直接求出直線方程． (2)待定系數(shù)法：先根據已知條件設出直線方程，再根據已知條件構造關于待定系數(shù)的方程(組)，求出待定系數(shù)，從而求出直線方程． 2．5種形式的直線方程都有不同的適用條件，當條件不具備時，要注意分類討論思想的應用． [易錯與防范] 1．求直線方程時要注意判斷直線斜率是否存在；每條直線都有傾斜角，但不一定每條直線都存在斜率． 2．根據斜率求傾斜角，一是要注意傾斜角的范圍；二是要考慮正切函數(shù)的單調性． 3．應用截距

14、式方程時要注意討論直線是否過原點，截距是否為0. 4．由一般式Ax＋By＋C＝0確定斜率k時，易忽視判定B是否為0.當B＝0時，k不存在；當B≠0時，k＝－. 課時分層訓練(四十三) A組　基礎達標 (建議用時：30分鐘) 一、填空題 1．傾斜角為135°，在y軸上的截距為－1的直線方程是________． x＋y＋1＝0　[直線的斜率為k＝tan 135°＝－1，所以直線方程為y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.] 2．設直線ax＋by＋c＝0的傾斜角為α，且sin α＋cos α＝0，則a，b滿足的等量關系式為________． a＝b　[由sin α＋cos α＝0，得＝－

15、1，即tan α＝－1. 又因為tan α＝－，所以－＝－1，則a＝b.] 3．直線l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0的斜率是________． 　[直線l可化簡為： x－y＋1＝0. 即y＝x＋，故斜率k＝.] 4．直線x＋(a2＋1)y＋1＝0的傾斜角的取值范圍是________． 　[由x＋(a2＋1)y＋1＝0得y＝－x－. ∵a2＋1≥1，∴－∈[－1,0)． 設直線的傾斜角為α，則－1≤tan α<0， 又α∈[0，π)，故≤α<π.] 5．斜率為2的直線經過(3,5)，(a,7)，(－1，b)三點，則a＋b＝________. 【導學號：6

16、2172237】 1　[由題意可知＝＝2， 解得a＝4，b＝－3，∴a＋b＝1.] 6．若直線l的斜率為k，傾斜角為α，而α∈∪，則k的取值范圍是________． [－，0)∪　[∵k＝tan α， ∴當α∈時，tan ≤k≤tan ，即≤k≤1； 當α∈時，tan ≤k

17、 8．設點A(－1,0)，B(1,0)，直線2x＋y－b＝0與線段AB相交，則b的取值范圍是________. 【導學號：62172238】 [－2,2]　[b為直線y＝－2x＋b在y軸上的截距， 如圖，當直線y＝－2x＋b過點A(－1,0)和點B(1,0)時，b分別取得最小值和最大值， ∴b的取值范圍是[－2,2]．] 9．直線l過點(－3,4)，且在兩坐標軸上的截距之和為12，則直線l的方程為________． 4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0　[由題意知，截距不為0，設直線l的方程為＋＝1. 又直線l過點(－3,4)， 從而＋＝1， 解得a＝－4或a＝9.故所求直線方

18、程為4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.] 10．(2017·蘇州模擬)若直線l：＋＝1(a>0，b>0)經過點(1,2)，則直線l在x軸和y軸上的截距之和的最小值是________． 3＋2　[∵直線l過定點(1,2)， ∴＋＝1， ∴a＋b＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2， 當且僅當b＝a時上式等號成立． ∴直線在x軸，y軸上的截距之和的最小值為3＋2.] 二、解答題 11．直線l過點(－2,2)且與x軸，y軸分別交于點(a,0)，(0，b)，若|a|＝|b|，求l的方程． [解]　若a＝b＝0，則直線l過點(0,0)與(－2,2)， 直線l的斜率k＝－1，直線l的方程為

19、y＝－x，即x＋y＝0. 若a≠0，b≠0，則直線l的方程為＋＝1， 由題意知解得 此時，直線l的方程為x－y＋4＝0. 綜上，直線l的方程為x＋y＝0或x－y＋4＝0. 12．設直線l的方程為(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)． (1)若l在兩坐標軸上截距相等，求l的方程； (2)若l不經過第二象限，求實數(shù)a的取值范圍. 【導學號：62172239】 [解]　(1)當直線過原點時，在x軸和y軸上的截距為零， ∴a＝2，方程即為3x＋y＝0. 當直線不過原點時，截距存在且均不為0， ∴＝a－2，即a＋1＝1， ∴a＝0，方程即為x＋y＋2＝0. ∴直線l的方程為3

20、x＋y＝0或x＋y＋2＝0. (2)將l的方程化為y＝－(a＋1)x＋a－2， ∴或∴a≤－1. 綜上可知，a的取值范圍是a≤－1. B組　能力提升 (建議用時：15分鐘) 1．設A，B是x軸上的兩點，點P的橫坐標為2且PA＝PB，若直線PA的方程為x－y＋1＝0，則直線PB的方程為________． x＋y－5＝0　[由條件得點A的坐標為(－1,0)，點P的坐標為(2,3)，因為PA＝PB，根據對稱性可知，點B的坐標為(5,0)，從而直線PB的方程為＝，整理得x＋y－5＝0.] 2．已知A(3,0)，B(0,4)，直線AB上一動點P(x，y)，則xy的最大值是________

21、． 3　[直線AB的方程為＋＝1. ∵動點P(x，y)在直線AB上，則x＝3－y， ∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y) ＝≤3， 即當P點坐標為時，xy取最大值3.] 3．已知曲線y＝，求曲線的切線中斜率最小的直線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積． [解]　y′＝＝，因為ex>0，所以ex＋≥2＝2，所以ex＋＋2≥4，故y′＝≥－(當且僅當x＝0時取等號)．所以當x＝0時，曲線的切線斜率取得最小值，此時切點的坐標為，切線的方程為y－＝－(x－0)，即x＋4y－2＝0.該切線在x軸上的截距為2，在y軸上的截距為，所以該切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積S＝×2×＝. 4．已知直

22、線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)若直線不經過第四象限，求k的取值范圍； (2)若直線l交x軸負半軸于A，交y軸正半軸于B，△AOB的面積為S(O為坐標原點)，求S的最小值并求此時直線l的方程． [解]　(1)由方程知，當k≠0時，直線在x軸上的截距為－，在y軸上的截距為1＋2k，要使直線不經過第四象限，則必須有解得k＞0； 當k＝0時，直線為y＝1，符合題意，故k≥0. (2)由l的方程，得A，B(0,1＋2k)． 依題意得 解得k＞0. ∵S＝·OA·OB＝··|1＋2k| ＝·＝≥×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的條件是k＞0且4k＝，即k＝， ∴Smin＝4，此時直線l的方程為x－2y＋4＝0.