備戰(zhàn)2018年高考數(shù)學(xué) 解答題高分寶典 專題03 概率與統(tǒng)計(jì)（核心考點(diǎn)）理

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1、 專題03概率與統(tǒng)計(jì) 核心考點(diǎn)一概率與隨機(jī)變量的分布列 隨機(jī)變量的分布列及期望是高考考查的熱點(diǎn),在考查時(shí)經(jīng)常與統(tǒng)計(jì)知識(shí)結(jié)合在一起考查,求離散型隨機(jī)變量的分布列一般要涉及到隨機(jī)變量概率的求法,求概率時(shí)一定要弄清相應(yīng)的概率類型（古典概型、相互獨(dú)立事件的概率、獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)、條件概率）. 【經(jīng)典示例】從甲地到乙地要經(jīng)過3個(gè)十字路口,設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立,且在各路口遇到紅燈的概率分別為. （1）設(shè)表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望； （2）若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地,求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率. 答題模板 第一步,理解ξ的意義,寫出ξ可能取的全

2、部值； 第二步,求ξ取每個(gè)值的概率； 第三步,寫出ξ的分布列； 第四步,由均值的定義求E(ξ)．. 【滿分答案】（1）隨機(jī)變量的所有可能取值為0,1,2,3. , , , . 所以隨機(jī)變量的分布列為 0 1 2 3 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望. （2）設(shè)表示第一輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù),表示第二輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù),則所求事件的概率為 . 所以這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率為. 【解題技巧】 1.利用古典概型求事件A的概率,關(guān)鍵是要分清基本事件總數(shù)n與事件A包含的基本事件數(shù)m.如果基本事件的個(gè)數(shù)比較少,可用列舉法把古典概型試驗(yàn)所含的基本事件一一列舉出

3、來,然后再求出事件A中的基本事件數(shù),利用公式P(A)＝求出事件A的概率,注意列舉時(shí)必須按照某一順序做到不重不漏；如果基本事件個(gè)數(shù)比較多,列舉有一定困難時(shí),也可借助兩個(gè)計(jì)數(shù)原理及排列組合知識(shí)直接計(jì)算m,n,再運(yùn)用公式P(A)＝求概率. 2.幾個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生的應(yīng)用問題,可轉(zhuǎn)化為互斥事件來解決,關(guān)鍵是分清事件是否互斥；相互不影響的事件是否發(fā)生的實(shí)際應(yīng)用問題,可轉(zhuǎn)化為獨(dú)立事件的概率問題,解決此類問題要注意相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生與二項(xiàng)分布的區(qū)別與聯(lián)系. 3.對(duì)于復(fù)雜概率的計(jì)算一般要先設(shè)出事件,準(zhǔn)確地確定事件的性質(zhì),把問題化歸為古典概型、互斥事件、獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)四類事件中的某一種；其次判斷事

4、件是A＋B還是AB事件,確定事件至少有一個(gè)發(fā)生,還是同時(shí)發(fā)生,分別運(yùn)用相加或相乘事件公式；最后選用相應(yīng)的求古典概型、互斥事件、條件概率、獨(dú)立事件、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求解． 4.超幾何分布的特點(diǎn)是：①整體一般由兩部分組成,比如“正,反”、“黑,白”、“男生、女生”“正品、次品”等,②總體一般是有限個(gè),超幾何分布主要應(yīng)用于抽查產(chǎn)品,摸不同類型的小球等模型注意特殊背景下的“超幾何分布”被轉(zhuǎn)化為“二項(xiàng)分布”,如從兩類對(duì)象中不放回地抽取n個(gè)元素,當(dāng)兩類對(duì)象的總數(shù)量很大時(shí),超幾何分布近似于二項(xiàng)分布. 5.列出分布列后,可用所有概率之和為1進(jìn)行檢驗(yàn). 模擬訓(xùn)練 1．甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參

5、加猜成語活動(dòng),每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語,在一輪活動(dòng)中,如果兩人都猜對(duì),則“星隊(duì)”得3分；如果只有一個(gè)人猜對(duì),則“星隊(duì)”得1分；如果兩人都沒猜對(duì),則“星隊(duì)”得0分.已知甲每輪猜對(duì)的概率是,乙每輪猜對(duì)的概率是；每輪活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響.各輪結(jié)果亦互不影響.假設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動(dòng),求： （1）“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語的概率； （2）“星隊(duì)”兩輪得分之和為的分布列和數(shù)學(xué)期望. , 所以“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語的概率為. （2）由題意,隨機(jī)變量的可能取值為.由事件的獨(dú)立性與互斥性, 得,, , ,, . 可得隨機(jī)變量X的分布列為 0 1 2 3 4

6、6 所以數(shù)學(xué)期望. 核心考點(diǎn)二正態(tài)分布 正態(tài)分布是概率統(tǒng)計(jì)中相對(duì)較獨(dú)立的一個(gè)考點(diǎn),且已經(jīng)從冷點(diǎn)轉(zhuǎn)化為熱點(diǎn),求解此類問題,一般從入手,對(duì)于應(yīng)用問題,要注意從較大的閱讀量中提取有用的信息. 【經(jīng)典示例】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取個(gè)零件,并測(cè)量其尺寸（單位：）．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布． （1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記表示一天內(nèi)抽取的個(gè)零件中其尺寸在之外的零件數(shù),求及的數(shù)學(xué)期望； （2）一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出

7、現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查． （ⅰ）試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性； （ⅱ）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的個(gè)零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 經(jīng)計(jì)算得,,其中為抽取的第個(gè)零件的尺寸,． 用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值,利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù),用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)和（精確到）． 附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則 ,,． 答題模板

8、第一步,讀懂題意,從題中提取有用信息；. 第二步,通過計(jì)算確定的值；. 第三步,利用正態(tài)分布的性質(zhì)或3解題. 第四步,檢驗(yàn)、作答. 【滿分答案】（1）由題可知尺寸落在之內(nèi)的概率為,落在之外的概率為．, , 由題可知,所以. （2）（i）尺寸落在之外的概率為,由正態(tài)分布知尺寸落之外為小概 率事件,因此上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法合理． （ii）,, ,因?yàn)? 所以需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程檢查． 因此剔除,剔除數(shù)據(jù)之后：． . 所以. 【解題技巧】 (1)利用正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性研究相關(guān)概率問題,涉及的知識(shí)主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱,及曲線與x軸之間的面積為1

9、. (2)利用3σ原則求概率問題時(shí),要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ,σ進(jìn)行對(duì)比聯(lián)系,確定它們屬于(μ－σ,μ＋σ),(μ－2σ,μ＋2σ),(μ－3σ,μ＋3σ)中的哪一個(gè). 模擬訓(xùn)練 2．從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件,測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖： (1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)； (2)由直方圖可以認(rèn)為,這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數(shù)x,σ2近似為樣本方差s2. ①利用該正態(tài)分布,求P(187.8

10、； ②某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品,記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的產(chǎn)品件數(shù).利用①的結(jié)果,求E(X). 附：≈12.2.若Z～N(μ,σ2),則P(μ－σ

11、立數(shù)學(xué)模型,再應(yīng)用數(shù)學(xué)原理和數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題.該類問題閱讀量一般比較大,但難度多為中等或中等偏易. 【經(jīng)典示例】我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家,某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水,計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案,擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)（噸）、一位居民的月用水量不超過的部分按平價(jià)收費(fèi),超出的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況,通過抽樣,獲得了某年位居民每人的月均用水量（單位：噸）,將數(shù)據(jù)按照,,,分成組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖. （1）求直方圖中的值； （2）設(shè)該市有萬居民,估計(jì)全市居民中月均用水量不低于噸的人數(shù),請(qǐng)說明理由； （3）若該市政府希望使的居民每月的用水量不超過標(biāo)

12、準(zhǔn)（噸）,估計(jì)的值,并說明理由. 答題模板 第一步,讀懂題意,確定各組頻率；. 第二步,利用概率之和為1,求的值； 第三步,用頻率分別直方圖估計(jì)平均數(shù). 第四步,用樣本數(shù)據(jù)對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)代換. 【滿分答案】（1）由頻率分布直方圖知,月均用水量在中的頻率為,同理,在,,,,,中的頻率分別為,,,,,. 由,解得. （2）由（1）,位居民每人月均用水量不低于噸的頻率為. 由以上樣本的頻率分布,可以估計(jì)全市萬居民中月均用水量不低于噸的人數(shù)為 . （3）因?yàn)榍敖M的頻率之和為, 而前組的頻率之和為, 所以由,解得. 【解題技巧】 1.解決頻率分布直方圖問題時(shí)要抓?。? (1

13、)直方圖中各小長方形的面積之和為1.(2)直方圖中縱軸表示,故每組樣本的頻率為組距×,即矩形的面積．(3)直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率×總體數(shù)． 2.頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系： (1)最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；(3)平均數(shù)等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長方形的面積乘以小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和,即平均數(shù)=． 模擬訓(xùn)練 3．三個(gè)班共有名學(xué)生,為調(diào)查他們的體育鍛煉情況,通過分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時(shí)間,數(shù)據(jù)如下表（單位：小時(shí)）； 班 6 6.5 7 7.5 8 班

14、6 7 8 9 10 11 12 班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 （1）試估計(jì)班的學(xué)生人數(shù)； （2）從班和班抽出的學(xué)生中,各隨機(jī)選取一人,班選出的人記為甲,班選出的人記為乙,假設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時(shí)間相對(duì)獨(dú)立,求該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長的概率； （3）再從三個(gè)班中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生,他們?cè)撝艿腻憻挄r(shí)間分別是,,（單位：小時(shí)）,這個(gè)新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為,表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為,試判斷和的大小,（結(jié)論不要求證明）. 從班抽出的學(xué)生中選取一人

15、甲有5種選法,從班抽出的學(xué)生中選取一人乙有8種選法.由分步計(jì)數(shù)原理知,選出甲、乙兩人共有種選法.其中甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長的選法有 (其中表示該周甲、乙的鍛煉時(shí)間分別是6小時(shí),3小時(shí),其余類推).共有種. 所以,即該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長的概率是. （3）.因?yàn)楸砀裰腥M數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為,,,所以總的的平均值,. 新加的三個(gè)數(shù)據(jù),,,平均值為,比小,所以拉低了平均值,即. 核心考點(diǎn)四回歸分析 高考對(duì)回歸分析的考查方向比較固定,即先根據(jù)數(shù)據(jù)確定回歸方程,再根據(jù)散點(diǎn)圖或相關(guān)系數(shù)判斷相關(guān)性的強(qiáng)弱,最后根據(jù)回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè),此類問題運(yùn)算量一般較大,要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性. 【經(jīng)典

16、示例】下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖 （1）由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系,請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明 （2）建立關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到）,預(yù)測(cè)年我國生活垃圾無害化處理量. 參考數(shù)據(jù)：,,,. 參考公式：相關(guān)系數(shù) 回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為： 答題模板 第一步,利用散點(diǎn)圖或相關(guān)系數(shù)r,確定兩個(gè)變量的相關(guān)程度的高低； 第二步,用最小二乘法求回歸直線方程＝x＋； 第三步,利用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)報(bào)； 第四步,對(duì)于非線性(可線性化)的回歸分析,一般是利用條件及我們熟識(shí)的函數(shù)模型,將題目中的非線性關(guān)系轉(zhuǎn)化為線

17、性關(guān)系進(jìn)行分析,最后還原． 【滿分答案】（1）由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得,,, ,. 因?yàn)榕c的相關(guān)系數(shù)近似為,說明與的線性相關(guān)程度相當(dāng)高,從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系. （1）變量與的相關(guān)系數(shù), 又,,,,, 所以, 故可用線性回歸模型擬合變量與的關(guān)系. （2）,,所以, ,所以線性回歸方程為. 當(dāng)時(shí),.因此,我們可以預(yù)測(cè)2016年我國生活垃圾無害化處理億噸. 【解題技巧】線性回歸分析問題的類型 (1)利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè),把線性回歸方程看作一次函數(shù),求函數(shù)值． (2)利用回歸直線判斷正、負(fù)相關(guān)；決定正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的是系數(shù). (3)回歸方程的擬合效果,

18、可以利用相關(guān)系數(shù)判斷,當(dāng)|r|越趨近于1時(shí),兩變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)． 模擬訓(xùn)練 4．某品牌手機(jī)廠商推出新款的旗艦機(jī)型,并在某地區(qū)跟蹤調(diào)查得到這款手機(jī)上市時(shí)間(x個(gè)月)和市場(chǎng)占有率(y%)的幾組相關(guān)對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)： x 1 2 3 4 5 y 0.02 0.05 0.1 0.15 0.18 (1)根據(jù)上表中的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程； (2)根據(jù)上述回歸方程,分析該款旗艦機(jī)型市場(chǎng)占有率的變化趨勢(shì),并預(yù)測(cè)自上市起經(jīng)過多少個(gè)月,該款旗艦機(jī)型市場(chǎng)占有率能超過0.5%(精確到月)． 附：＝,＝－. 所以線性回歸方程為＝0.042x－0.026.

19、(2)由(1)中的回歸方程可知,上市時(shí)間與市場(chǎng)占有率正相關(guān), 即上市時(shí)間每增加1個(gè)月,市場(chǎng)占有率約增加0.042個(gè)百分點(diǎn)． 由＝0.042x－0.026>0.5,解得x≥13, 故預(yù)計(jì)上市13個(gè)月時(shí),該款旗艦機(jī)型市場(chǎng)占有率能超過0.5%. 核心考點(diǎn)五獨(dú)立性檢驗(yàn) 在高考中獨(dú)立性檢驗(yàn)常與抽樣方法、樣本對(duì)總體的估計(jì)等知識(shí)結(jié)合在一起考查,難度多為中等或中等以下,屬于得分題. 【經(jīng)典示例】某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名,25周歲以下工人200名．為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān),現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從中抽取了100名工人,先統(tǒng)計(jì)了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù),然后按工人年

20、齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分為兩組,再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分別加以統(tǒng)計(jì),得到如圖所示的頻率分布直方圖 (1)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機(jī)抽取2人,求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率； (2)規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”,請(qǐng)你根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”？ 附：K2＝ P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706

21、 3.841 6.635 10.828 答題模板 第一步,假設(shè)兩個(gè)分類變量x與y沒有關(guān)系； 第二步,計(jì)算出K2的觀測(cè)值,其中K2＝； 第三步,把K2的值與臨界值比較,作出合理的判斷． 【滿分答案】(1)由已知得,樣本中有25周歲以上組工人60名,25周歲以下組工人40名,所以,樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中,25周歲以上組工人有60×0.05＝3(人),25周歲以下組工人有40×0.05＝2(人),從5名工人中隨機(jī)抽取2人有C＝10種情形,每種情形都是等可能出現(xiàn)的,其中至少抽到一名“25周歲以下組”工人有CC＋C＝7種,故所求概率P＝. (2)由頻率分布直方圖可知,在抽

22、取的100名工人中,“25周歲以上組”中的生產(chǎn)能手有60×0.25＝15(人),“25周歲以下組”中的生產(chǎn)能手有40×0.375＝15(人),據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如圖所示： 生產(chǎn)能手 非生產(chǎn)能手 合計(jì) 25周歲以上組 15 45 60 25周歲以下組 15 25 40 合計(jì) 30 70 100 所以K2＝＝＝≈1.79. 因?yàn)?.79<2.706,所以沒有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)” . 【解題技巧】 (1)在列聯(lián)表中注意事件的對(duì)應(yīng)及相關(guān)值的確定,不可混淆． (2)在實(shí)際問題中,獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論僅是一種數(shù)學(xué)關(guān)系表述,得到的結(jié)論有

23、一定的概率出錯(cuò)． (3)對(duì)判斷結(jié)果進(jìn)行描述時(shí),注意對(duì)象的選取要準(zhǔn)確無誤,應(yīng)是對(duì)假設(shè)結(jié)論進(jìn)行的含概率的判斷,而非其他． 模擬訓(xùn)練 5.某公司為評(píng)估兩套促銷活動(dòng)方案（方案1運(yùn)作費(fèi)用為5元/件；方案2的運(yùn)作費(fèi)用為2元/件）,在某地區(qū)部分營銷網(wǎng)點(diǎn)進(jìn)行試點(diǎn)（每個(gè)試點(diǎn)網(wǎng)點(diǎn)只采用一種促銷活動(dòng)方案）,運(yùn)作一年后,對(duì)比該地區(qū)上一年度的銷售情況,制作相應(yīng)的等高條形圖如圖所示． （1）請(qǐng)根據(jù)等高條形圖提供的信息,為該公司今年選擇一套較為有利的促銷活動(dòng)方案（不必說明理由）； （2）已知該公司產(chǎn)品的成本為10元/件（未包括促銷活動(dòng)運(yùn)作費(fèi)用）,為制定本年度該地區(qū)的產(chǎn)品銷售價(jià)格,統(tǒng)計(jì)上一年度的8組售價(jià)（單位：

24、元/件,整數(shù)）和銷量（單位：件）（）如下表所示： 售價(jià) 33 35 37 39 41 43 45 47 銷量 840 800 740 695 640 580 525 460 ①請(qǐng)根據(jù)下列數(shù)據(jù)計(jì)算相應(yīng)的相關(guān)指數(shù),并根據(jù)計(jì)算結(jié)果,選擇合適的回歸模型進(jìn)行擬合； ②根據(jù)所選回歸模型,分析售價(jià)定為多少時(shí)？利潤可以達(dá)到最大. 49428.74 11512.43 175.26 124650 （附：相關(guān)指數(shù)） 回歸模型對(duì)應(yīng)的相關(guān)指數(shù). 因?yàn)?所以采用回歸模型進(jìn)行擬合最為合適. ②由（1）可知,采用方案1的運(yùn)作效果較方案2好, 故年利潤, , 當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞減, 故當(dāng)售價(jià)時(shí),利潤達(dá)到最大. 14