新編理數(shù)北師大版練習(xí)：第十章 第三節(jié)　二項式定理 Word版含解析

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1、 課時作業(yè) A組——基礎(chǔ)對點練 1．二項式(x＋1)n(n∈N＋)的展開式中x2的系數(shù)為15，則n＝(　　) A．7　　　　　　　　　 B．6 C．5 D．4 解析：因為(x＋1)n的展開式中x2的系數(shù)為C，所以C＝15，即C＝15，亦即n2－n＝30，解得n＝6(n＝－5舍)． 答案：B 2．二項式(－)10的展開式中，項的系數(shù)是(　　) A. B．－ C．15 D．－15 解析：(－)10的二項展開式的通項公式為Tr＋1＝C()10－r(－)r＝令5－＝，得r＝3，所以項的系數(shù)是(－1)3·2－4·C＝－.故選B. 答案：B 3．(20xx·惠

2、州市調(diào)研)(x－2y)5的展開式中x2y3的系數(shù)是(　　) A．－20 B．－5 C．5 D．20 解析：(x－2y)5展開式的通項公式為Tr＋1＝C(x)5－r·(－2y)r＝C·()5－r·(－2)r·x5－r·yr，令r＝3，得x2y3的系數(shù)為C()2·(－2)3＝－20. 答案：A 4．若(a2＋＋2)n展開式中的常數(shù)項是252，則n＝(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：(a2＋＋2)n＝(a＋)2n，(a＋)2n的展開式的通項為Tr＋1＝Ca2n－r()r＝Ca2n－2r，令2n－2r＝0，則r＝n，所以其展開式中的常數(shù)項為C，依題意知，C＝252

3、，結(jié)合選項得n＝5. 答案：B 5．在x(1＋x)6的展開式中，含x3項的系數(shù)為(　　) A．30 B．20 C．15 D．10 解析：在(1＋x)6的展開式中，含x2的項為T3＝C·x2＝15x2，故在x(1＋x)6的展開式中，含x3的項的系數(shù)為15. 答案：C 6．若則在(－)a的展開式中，x的冪指數(shù)不是整數(shù)的項共有(　　) A．13項 B．14項 C．15項 D．16項 解析：因為，所以該二項展開式的通項Tr＋1＝C()18－r(－)r＝(－1)rCx9－(0≤r≤18，且r∈N)，當(dāng)r＝0,6,12,18時，展開式中x的冪指數(shù)為整數(shù)，所以該二項展開式中x的冪

4、指數(shù)不是整數(shù)的項有19－4＝15項，故選C. 答案：C 7．(20xx·武漢市模擬)若(3x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，則a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝(　　) A．80 B．120 C．180 D．240 解析：由(3x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5兩邊求導(dǎo)，可得15(3x－1)4＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋5a5x4，令x＝1得，15×(3－1)4＝a1＋2a2＋3a3＋…＋5a5，即a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝240，故選D. 答案：D 8．設(shè)m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)

5、2m＋1展開式的二項式系數(shù)的最大值為b.若13a＝7b，則m＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：由題意得：a＝C，b＝C， 所以13C＝7C， ∴＝， 解得m＝6，經(jīng)檢驗為原方程的解，選B. 答案：B 9．設(shè)(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，則a10＋a11＝ . 解析：a10，a11分別是含x10和x11項的系數(shù)， 所以a10＝－C，a11＝C， 所以a10＋a11＝C－C＝0. 答案：0 10．已知(x－1)(ax＋1)6的展開式中含x2項的系數(shù)為0，則正實數(shù)a＝

6、 . 解析：(ax＋1)6的展開式中x2項的系數(shù)為Ca2，x項的系數(shù)為Ca，(x－1)(ax＋1)6的展開式中含x2項的系數(shù)為0，可得－Ca2＋Ca＝0，因為a為正實數(shù)，所以15a＝6，所以a＝. 答案： 11．(x－y)(x＋y)8的展開式中x2y7的系數(shù)為 ．(用數(shù)字填寫答案) 解析：由二項展開式公式可知，含x2y7的項可表示為x·Cxy7－y·Cx2y6，故(x－y)(x＋y)8的展開式中x2y7的系數(shù)為C－C＝C－C＝8－28＝－20. 答案：－20 12．若(－3x)n的展開式中二項式系數(shù)和為64，則展開式中的常數(shù)項為

7、 ．(用數(shù)字作答) 解析：(－3x)n的展開式中二項式系數(shù)和為2n＝64，解得n＝6，則展開式的通項公式為Tk＋1＝C()6－k(－3x)k＝C(－3)kx2k－6，令2k－6＝0，則k＝3，故T4＝C(－3)3＝－540. 答案：－540 13．(20xx·山西八校聯(lián)考)已知(1＋ax2)n(a，n∈N*)的展開式中第3項與第4項的二項式系數(shù)最大，且含x4的項的系數(shù)為40，則a的值為 ． 解析：由二項式系數(shù)的性質(zhì)可得n＝5，Tr＋1＝C15－r(ax2)r＝Carx2r，由2r＝4，得r＝2，由Ca2＝40，得a2＝4，又a∈N*，所以a＝2.

8、答案：2 14．若將函數(shù)f(x)＝x5表示為f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5為實數(shù)，則a3＝ . 解析：由于f(x)＝x5＝[(1＋x)－1]5，所以a3＝C(－1)2＝10. 答案：10 B組——能力提升練 1．(20xx·漳州模擬)已知(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9＋a10x10，則a2＋a3＋…＋a9＋a10的值為(　　) A．－20 B．0 C．1 D．20 解析：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…a9＋a10＝1，再令x＝0，得a0＝1，所以a

9、1＋a2＋…＋a9＋a10＝0，又易知a1＝C×21×(－1)9＝－20，所以a2＋a3＋…＋a9＋a10＝20. 答案：D 2．若(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋an(1－x)n，則a0－a1＋a2－…＋(－1)nan等于(　　) A.(3n－1) B.(3n－2) C.(3n－2) D.(3n－1) 解析：在展開式中，令x＝2得3＋32＋33＋…＋3n＝a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan， 即a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝＝(3n－1)． 答案：D 3．(20xx·南昌模擬)(x2－x＋1

10、)3展開式中x項的系數(shù)為(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 解析：∵(x2－x＋1)3＝[(x2－x)＋1]3的展開式的通項為Tk＋1＝C(x2－x)3－k，令3－k＝1，則T3＝C(x2－x)＝3x2－3x，即(x2－x＋1)3展開式中x項的系數(shù)為－3.故選A. 答案：A 4．(20xx·肇慶模擬)(x＋2y)7的展開式中，系數(shù)最大的項是(　　) A．68y7 B．112x3y4 C．672x2y5 D．1 344x2y5 解析：設(shè)第r＋1項系數(shù)最大， 則有 即 即解得 又∵r∈Z，∴r＝5. ∴系數(shù)最大的項為T6＝Cx2·25y5＝672x2y5

11、.故選C. 答案：C 5．已知函數(shù)f(x)＝－x3＋2f′(2)x，n＝f′(2)，則二項式n展開式中常數(shù)項是(　　) A．第7項 B．第8項 C．第9項 D．第10項 解析：由題意可得f′(x)＝－3x2＋2f′(2)，令x＝2可得f′(2)＝－12＋2f′(2)，∴n＝f′(2)＝12.二項式12展開式的通項為Tr＋1＝Cx12－r(2x－)r＝2r·Cx12－r，令12－r＝0，可得r＝8，所以展開式中常數(shù)項是第9項，故選C. 答案：C 6．設(shè)函數(shù)f(x)＝則當(dāng)x>0時，f[f(x)]表達(dá)式的展開式中常數(shù)項為(　　) A．－20 B．20 C．－15 D．15

12、 解析：當(dāng)x>0時，f[f(x)]＝f(－)＝6，常數(shù)項為C(－)33＝－20. 答案：A 7．若(1－2x)2 016＝a0＋a1x＋…＋a2 016x2 016(x∈R)，則＋＋…＋的值 為(　　) A．2 B．0 C．－1 D．－2 解析：在(1－2x)2 016＝a0＋a1x＋…＋a2 016x2 016中，令x＝0，得(1－0×2)2 016＝a0，即a0＝1，令x＝，得 2 016＝a0＋＋＋…＋，即a0＋＋＋…＋＝0. ∵a0＝1，∴＋＋…＋＝－1，故選C. 答案：C 8．設(shè)a≠0，n是大于1的自然數(shù)，n的展開式為a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若點

13、Ai(i，ai)(i＝0,1,2)的位置如圖所示，則a＝ . 解析：根據(jù)題意知a0＝1，a1＝3，a2＝4，結(jié)合二項式定理得 解得a＝3. 答案：3 9．已知則(x－)n的展開式中常數(shù)項為 ． 解析：令4－r＝0，則r＝3，展開式中常數(shù)項為(－2)3C＝－8×4＝－32. 答案：－32 10．(20xx·石家莊模擬)已知x8＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8，則a7＝ . 解析：∵x8＝[1＋(x－1)] 8，∴其展開式的通項為Tr＋1＝C(x－1)r.

14、令r＝7，得a7＝C＝8. 答案：8 11．(20xx·洛陽模擬)n的展開式中各項系數(shù)之和為729，則該展開式中x2的系數(shù)為 ． 解析：依題意，得3n＝729，即n＝6.二項式6的展開式的通項是Tr＋1＝C·(2x)6－r·r＝C·26－r·x6－.令6－＝2，得r＝3.因此，在該二項式的展開式中x2的系數(shù)是C×26－3＝160. 答案：160 12．已知(x－)5的展開式中x5的系數(shù)為A，x2的系數(shù)為B，若A＋B＝11，則a＝ . 解析：該二項展開式的通項Tr＋1＝Cx5－r(－)r＝C×由5－r＝5，得r＝0，由5－r

15、＝2，得r＝2，所以A＝C×(－a)0＝1，B＝C×(－a)2＝10a2，則由1＋10a2＝11，解得a＝±1. 答案：±1 13．將n(n∈N*)的展開式中x－4的系數(shù)記為an，則＋＋…＋＝ . 解析：將n(n∈N*)的展開式中x－4的系數(shù)記為an，則an＝C＝， ∴＋＋…＋＝2× ＝. 答案： 14．(20xx·合肥市質(zhì)檢)(x－2)3(2x＋1)2展開式中x奇次項的系數(shù)之和為 ． 解析：依題意，(x－2)3(2x＋1)2＝(x3－6x2＋12x－8)(4x2＋4x＋1)＝4x5－20x4＋25x3＋10x2－20x－8，所以展開式中x奇次項的系數(shù)之和為4＋25－20＝9. 答案：9 15．(20xx·合肥市質(zhì)檢)在(x－－1)4的展開式中，求常數(shù)項． 解析：易知(x－－1)4的展開式的通項Tr＋1＝C(－1)4－r·(x－)r，又(x－)r的展開式的通項Rm＋1＝C(－x－1)mxr－m＝C(－1)mxr－2m， ∴Tr＋1＝C(－1)4－r·C(－1)mxr－2m，令r－2m＝0，得r＝2m，∵0≤r≤4，∴0≤m≤2，∴當(dāng)m＝0,1,2時，r＝0,2,4，故常數(shù)項為T1＋T3＋T5＝C(－1)4＋C(－1)2·C(－1)1＋C(－1)0·C(－1)2＝－5.