高二數(shù)學(xué)《不等式的證明》習(xí)題(共7頁(yè))

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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上 高二數(shù)學(xué)同步測(cè)試—不等式的證明 班級(jí)： 姓名： 一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分） 1．四個(gè)不相等的正數(shù)a,b,c,d成等差數(shù)列，則 （ ） A． B． C． D． 2．綜合法證明不等式中所說(shuō)的“由因?qū)Ч笔侵笇で笫共坏仁匠闪⒌? （ ） A．必要條件 B．充分條件 C．充要條件 D．必要或充分條件 3．在①， ② ③， 其中正確的個(gè)數(shù)是 （

2、） A．0 B．1 C．2 D．3 4．下列函數(shù)中最小值是2的是 （ ） A． B． C． D．× 5．設(shè)，則x，y的大小是 （ ） A. B． C． D．與m，n的取值有關(guān) 6．已知a、b、m是正實(shí)數(shù)，則不等式 （ ） A．當(dāng)a> b時(shí)成立 B．當(dāng)a< b時(shí)成立 C．是否成立與m有關(guān) D．一定成立 7．如果正數(shù)滿足，那么

3、 （ ） Ａ．，且等號(hào)成立時(shí)的取值唯一 Ｂ．，且等號(hào)成立時(shí)的取值唯一 Ｃ．，且等號(hào)成立時(shí)的取值不唯一 Ｄ．，且等號(hào)成立時(shí)的取值不唯一 8．在中，a,b,c分別是所對(duì)應(yīng)的邊，，則的取值范圍是（ ） A．（1,2） B． C． D． 9．定義，其中是△內(nèi)一點(diǎn)，、、分別是△、△、△的面積，已知△中，，，，則的最小值是 （ ） A．8 B．9

4、C．16 D．18 10．設(shè)的最值情況是 （ ） A．有最大值2，最小值 B．有最大值2，最小值0 C．有最大值10，最小值 D．最值不存在 一、 選擇題答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分） 11．若a、b、c、d∈R，且有，，則abcd的取值范圍是 _______． 12．若，則函數(shù)的最小值是 ________. 13．若的大小關(guān)系是_________________

5、_______． 14．某市用37輛汽車往災(zāi)區(qū)運(yùn)送一批救災(zāi)物資，假設(shè)以公里／小時(shí)的速度勻速直達(dá)災(zāi)區(qū)，已知某市到災(zāi)區(qū)公路線長(zhǎng)400公里，為了安全起見(jiàn)，兩輛汽車的間距不得小于公里，那么這批物資全部到達(dá)災(zāi)區(qū)的最少時(shí)間是________________小時(shí)．（車身長(zhǎng)不計(jì)） 15．實(shí)數(shù)_________，y=_________． 三、解答題（本大題共6題，共75分） 16．（12分）已知a，b，c都是正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，求證：． 17．（12分）已知A =, B = x + 1, 當(dāng)x ≠ 1時(shí)，試比較A與B的大小, 并說(shuō)明你

6、的理由. 18．（12分）已知，且 求證： 19．（12分）⑴證明：當(dāng)時(shí)，不等式成立。 ⑵要使上述不等式成立，能否將條件“”適當(dāng)放寬？若能，請(qǐng)放寬條件并簡(jiǎn)述理由；若不能，也請(qǐng)說(shuō)明理由。 ⑶請(qǐng)你根據(jù)⑴、⑵的證明，試寫(xiě)出一個(gè)類似的更為一般的結(jié)論，且給予證明。 20．（13分）如圖所示，校園內(nèi)計(jì)劃修建一個(gè)矩形花壇并在花壇內(nèi)裝置兩個(gè)相同的噴水器

7、。已知噴水器的噴水區(qū)域是半徑為5m的圓。問(wèn)如何設(shè)計(jì)花壇的尺寸和兩個(gè)噴水器的位置，才能使花壇的面積最大且能全部噴到水？ 噴水器 噴水器 21．（14分）已知二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，若，且時(shí)，． (1)試比較與c的大小； (2)證明：． 高二數(shù)學(xué)同步測(cè)試—不等式的證明參考答案 一．選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分） 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

8、 10 答案 A B C D A B A C D A 二．填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分） 11． 12． 13． 14．12 15. 1，2，1 三、解答題（本大題共6題，共75分） 16．（12分） [證明]：左－右=2（ab+bc－ac） ∵a，b，c成等比數(shù)列， 又∵a，b，c都是正數(shù)，所以≤ ∴ ∴ ∴ 17．（12分） [解析] A – B = =， 由 > 0得x < – 1或1 < x < 2 ∴ 當(dāng)x < – 1或1 < x < 2時(shí), A > B

9、； 當(dāng) – 1< x < 1或x > 2時(shí), A < B； 當(dāng)x = – 1或x = 2時(shí), A = B． 18．（12分） 證法一：（比較法） 即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)） 證法二：（分析法） 因?yàn)轱@然成立，所以原不等式成立 點(diǎn)評(píng)：分析法是基本的數(shù)學(xué)方法，使用時(shí)，要保證“后一步”是“前一步”的充分條件 證法三：（綜合法）由上分析法逆推獲證（略） 證法四：（反證法）假設(shè)， 則 由a+b=1，得，于是有 所以， 這與矛盾 所以 證法五：（放縮法）∵ ∴左邊＝＝右邊 點(diǎn)評(píng)：根據(jù)欲證不等式左邊是平方

10、和及a+b=1這個(gè)特點(diǎn)，選用基本不等式 證法六：（均值換元法）∵， 所以可設(shè)，， ∴左邊＝ ＝右邊 當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí)，等號(hào)成立 點(diǎn)評(píng)：形如a+b=1結(jié)構(gòu)式的條件，一般可以采用均值換元 證法七：（利用一元二次方程根的判別式法） 設(shè)y=(a+2)2+(b+2)2， 由a+b=1，有， 所以， 因?yàn)?，所以，? 故 19．（12分） 解：（1）證：,∵＞1，∴＞0， ∴原不等式成立 （2）∵a-1與a5-1同號(hào)對(duì)任何a＞0且a11恒成立，∴上述不等式的條件可放寬為 且 （3）根據(jù)（1）（2）的證明，可推知：若＞0且，m＞n＞0

11、，則有 證：左式-右式= 若a＞1，則由m＞n＞0Tam-n＞0,am+n＞0T不等式成立； 若0＜a＜1，則由m＞n＞0T0＜am-n＜1, 0＜am+n＜1T不等式成立. 20．（13分） 解：設(shè)花壇的長(zhǎng)、寬分別為xm，ym，根據(jù)要求，矩形花壇應(yīng)在噴水區(qū)域內(nèi)，頂點(diǎn)應(yīng)恰好位于噴水區(qū)域的邊界。依題意得：，（） 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在，的條件下，求的最大值。 法一：， 由和及得： 法二：∵，， = ∴當(dāng)，即， 由可解得：。 答：花壇的長(zhǎng)為，寬為，兩噴水器位于矩形分成的兩個(gè)正方形的中心，則符合要求。 21．（14分） (1)解：由已知的圖象與x軸有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，知有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根、，又由，且，知的兩個(gè)根就是和c ， 2分 如果，由，知，即， 4分 而當(dāng)0 < < c時(shí)，， 這與是的根矛盾，所以． 7分 (2)證：，. 又，， 9分 ，，∴ac > 0，于是，故. 11分 又的圖象的對(duì)稱軸為，且的兩根為c和，且， ，，故． 14分 專心---專注---專業(yè)