10、
始溫儀分仆為"(工0) = /(Q,問(wèn)以看時(shí)刻的溫度分傷如何？?jī)鹤C明兒/⑴鴿］：常數(shù)心時(shí),
恒有 M(X,/) = M0o
解：即解定解問(wèn)題
w|/=o=/W
設(shè)"=x(.v)r(o代入方程及邊值得
Xn+AX =0 X,(0) = X\l)=Q
T9+a2aAT = 0
求非冬解X(x)：
(1) 當(dāng);I V0時(shí)，通解為
X(x) = AfC 十％廿^
X\x) = -
山邊值得= 0
[ A — B = 0
因fT工o故相當(dāng)于仃*財(cái)戶(hù)=。
視久B為未知數(shù).此為一齊次線(xiàn)性代數(shù)方程紐?要X(x)卄?零，必需不同為零.即 此齊次線(xiàn)性代數(shù)方程組要令非冬解，
11、由代數(shù)知必盂令
=0
[右_詞
W/ > O,qFT> 0, e'為單調(diào)増函數(shù)Z故。因此沒(méi)有非冬解X(x) o
當(dāng)久=0時(shí)，通解為
X (x) = ax + b X\x) = a
/|=1
/|=1
由邊值得
X9(O) = X9(l)=a=O
/|=1
/|=1
即b nj任意.故X(x)三1為一非零解.
(2) 當(dāng)久＞0時(shí)，通解為
X (x) = A cos^Ax 十 B sin
/|=1
/|=1
由邊值得
要X(x)非零,必需A#0,因此必需sin羽 =0,即
X,(O) =
%
12、?(/) = -^[A sin楨 + cos^AI = 0
an/T 2
-nn (zi整數(shù))
這時(shí)對(duì)應(yīng)
X (x) = cojU?a(1(Z-4 = 1)
(〃整數(shù))
因葉取正整數(shù)與負(fù)整數(shù)對(duì)應(yīng)X (x) —樣，故町取
2 = (?)2 n =1,2,L L
Xn (x) = cos——x n =1,2,L L
對(duì)應(yīng)J -
A = O,X0(a)=1,解T 得 T0(t) = C0
對(duì)應(yīng)?。?二竽2, x“(x)二 co年x,解 T 得7；(t) = Cne~~
由迭加性質(zhì),解為
/|=1
/|=1
8
W(XJ) = Co 十
13、
/|=1
由始值得
/(X) = ￡cn co年x
n=0 <
因此
cos^Lxdx n = 1,2,L L
./
Co =j\f(x)dx
/ o
所以
w(x,0 = yJ f(x)dx + f*|7? CO
“0 n=l 0
?<翠兒 H7T
1 - COSv^.V
當(dāng) f(X)= Wo = 時(shí),
C° =?j u^dx = / 0
cos^^xdx = 0 n = 1,2,L
所以
u(u,t) = uQ
4.在/> 0, 0 < X < /區(qū)域
14、中求解如卜的定解問(wèn)題
dw 0 d2U 、
方w片-0(一呦)
w(o,r) = u(/,r) = w0
心 o)= /W
其中a,0,知均為常數(shù)，/(Q均為已知函數(shù)。
[提示：作變量代換//=?0+v(x,O^.]
解：按提示，引U - Mq + v(x,t)e~^ ,則v(A*,r)滿(mǎn)足
由分離變吊法滿(mǎn)足方程及邊值條件的解為
再由始值得
故
因此
￡打［/?-々］血學(xué)舛嚴(yán)〒)'詢(xún)sin牛
w0十
H=1 ? 0
5.長(zhǎng)度為/的均勻細(xì)桿的初始溫度為0°,端點(diǎn)x = Q保持常溫
15、而在x =/和側(cè)面上.
熱吊町以發(fā)散到到周田的介質(zhì)屮氏介質(zhì)的溫度取為0J此時(shí)桿上的溫度分布函數(shù)u(xj)滿(mǎn)
足卜述定解問(wèn)題:
解：引“(E/) = y(x) + w(兀/)使w滿(mǎn)足齊次方程及齊次邊值，代入方程及邊值，計(jì)算
后v(x)要滿(mǎn)足:
a2l^-b2v = O
v(O) = w0,(v+//i0.r=i =0
8 _(竺
v(^0 = XA^e 1 血午大 n=l 1
oo
/⑴-呦=￡△“ sin竽X
n=l 1
A" /(x) —g] sin 竽vd」
z o z
由邊值
v(x)
Ach^Lx + Bshlx
v(0) = A = uq
v'
16、(x) =
shlx + Bchlx) a a
w(xj) =M0 +心/)廠(chǎng)介
得
厶"0$/?2/ 十 Bchh)十 H (igch^Ll + Bsh^l) = 0 a a a a a
解之.得
B = - ?()(hsh — 1 十 Hach—l)l(bch—l + Hash — /) a a / a a
■
因此
v(x) = w0 ch 厶 x -z/0 (bsh — 1 + Hach — /) sh — x !(bch—1 + Hash — /) a a a a / a a
=-u^[hch—(/ - ,v) + Hash—(/ -x)]/( hch — /
17、+ Hash—I)
a a f a a
這時(shí)w(x.t)滿(mǎn)足:
設(shè)= X(x)7\/)代入方程及邊值條件得
Wax =o x(o),x'(/)+ //x(/)= o
T +(a2A + h2)T = 0
求非零解X(x)cA>0時(shí)，才有非零解。這時(shí)通解為
X (x) = A + B sin^Tx
由邊值得
X (0) = 4 = 0 得 A = 0
X (x) = B sin^fTx X (,v) =^AB cos^Ax
+ H siii^^ = 0
要3工0,即有非零解，必須
+ H sin^fAl = 0
H
P
它仃無(wú)窮可數(shù)
18、多個(gè)正根，設(shè)其為“】,L ,〃2丄得
2
X“(x) = sin^kx,九 =學(xué)
對(duì)應(yīng)T為
因此
- Y犁+/?》 a
= y Ane 1 Sin牛
其中兒滿(mǎn)足方程
p = Hl
再由始值得
t加?！?
n=l
—“o [bch — (/ - .V)十 Hcish — (l - .v)]
bch—I + Hash—I
ci a
所以
j- vsiii 罕xdx 阿牛皿 0
應(yīng)用他滿(mǎn)足的方程，計(jì)算可得
嚴(yán)牛心*
19、
-x)c
osmmb.v 一2$力2(1 一 x) sin?y*.v^
二卄心出)
(T u二 +b 十 a
I 廠(chǎng)
f sh^LfJ - x) sui?LaJ.v (/
0 a I +b十 l 一 ~
-x） sin 牛Y 一牛/i級(jí)一 x） co 牛寸
丄sin ““ 十牛必2/)
cr p;十 b 十 d I a
所以
-V sill Ah xdx = - // 0 h^n COS ““ +
CT m十b十
bjunch —1-lHhsin //” 十 Ha/Jnsh a
y
/(bch — I + Jasj —
20、I f a a
a?"」 a'lb (-血 cos”〃-/H sin “J
-wo^^^*W7F-
D +b 十 H * 十 (bch-l Hash-I)
a a
M fl； +b 十
Q =
A _「2"0空”(￡+“：)
最厲得
"(d~“,；+/r「) (p_ 十p十〃,;)
氐礙(j) +加創(chuàng)7) 2
“CD 二 “° r r 卜
bch-l 十 HashS 1
)'sin 如x
a a
= "；(P 十坨) Y
n=\ SM+b十)("十"+“,；)
其中““滿(mǎn)足 lgp =」L
P
(P = Hl)
另一解法：設(shè)z/ = v + IV
21、使?jié)M足vv（o,r） = "o ,（」十Hw）L = 0-為此取
w = ax + b.代入邊值得
h = UQ, a十H(al + uQ) =0
解之得
—H% a
1 + HI b = uQ
因而
滿(mǎn)足
dv -> d^v .
v(Oj) = O
v(x,O) = -vt(x,O) = -?o (1
按非齊次方程分離變最法，有
8 咻,o二E幾⑴心⑴ n=l
其中心（X）為對(duì)應(yīng)齊次方程的特征阪數(shù)，由詢(xún)一解知為
加）=血3 罠吟尿=書(shū),p = HD
8
v(x,/) = 5^7；,
22、 (r) sill knx
n=l
代入方程得
8 LJ^
g 0 J ajIJw
L(幾十曠RRn+b~TJsill knx 二-/r“o (1 -］十川 n=l
由J ｛sillier｝是完備正交函數(shù)系，因此可將—b認(rèn)Q一占舖展成｛sin燈x｝的級(jí)數(shù), 即
sin knxdx! N
一b 2w° a -f：/)=E ￡ 血忍兀 丄十E n=l
N八=fsiii2 knxdx 二■十a(chǎn) = “
J 2 2(益+/)
-b"
coskj
UQ + H)
所以
7吩十。曲（1-為-島寺］
=-b^T
A ,
23、0 ]
An
0 k N
Kn1N n
由始值得
將此級(jí)數(shù)代入等式右端得幾滿(mǎn)足的方程為
恥）""0僉
解7；的方程，其通解為
T _二廣(必+心■ 一慶"0 1
knNn "k； +/T
j-/?2w0 (1 sill knxdx = -/?2m0(-??cosAhx -
xcos/:/；x+?2^siii A.v]}|^
得
即有解
因此
H 「
"(XJ) = w0 (1 - 一 2J
“0
knNn(a2k^ +滬)
(a'k 詁 Skhb" +b')sin knx
6半徑為a的半圓形平板，荻表而絕熱，在板的圓周邊界上保持常溫心，而在11
24、徑邊
界上保持常溫"「闘板穩(wěn)恒狀態(tài)的溫度分布。
解：引入極坐標(biāo)，求穩(wěn)恒狀態(tài)的溫度分布化為解泄解問(wèn)題
d2W 1 du 1 d2U 門(mén)
■^十二 o
。廠(chǎng) r dr 廠(chǎng) d&-
“ = U|如產(chǎn)"1
u\l=a = uQ u\t =0 為有限
(拉普斯方程在極坐標(biāo)系卜形式的推導(dǎo)見(jiàn)第二章§1習(xí)題"其屮引入的也界條件M|r=0為
仃限時(shí)，叫做自然邊界條件?它是從實(shí)際情況而引入的。再引= +v(r^),則
滿(mǎn)足
d2v 1 dv 1 d2v
Vlr=? = W0-Ml vlr=0 有限
設(shè)v(r^) = ①(&),代入方程得
? 1 、 1
R cD=i/?(D+—/
25、?^M=O
? II ?
① r-R十rR
R
右邊為「丙數(shù)，左邊為&丙數(shù)，耍恒等必須為一常數(shù)記為久，分開(kāi)寫(xiě)出即得
J ①“+久①=0
［r2/?,,+/7?,-^/? = O
再由齊次邊值得
①(0) = <1)(龍)=0
由以前的討論知
Afl = 2 = ??2 ①“(&) = sin〃0 n =1,2L L
7V
對(duì)應(yīng)R滿(mǎn)足方程
r2Ru+rR9-n2R = O 7?=1,2L L
這是尤拉方程，設(shè)R = ra代入得
a(a-l)ra ^oo a -n2ra =0
-ir =0
a = ±n
即 R = rn R = rn
26、為兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解，因此通解為
心(Of 0嚴(yán)
由口然邊界條件v\r=oii限知Rn (r)在廣=0處裳右限.因此必? Dlt = 0由迭加性質(zhì)知
滿(mǎn)足方程及齊次邊值和門(mén)然邊界條件，再宙
說(shuō)嚴(yán)“0一"1
得
因此
所以
8
?0 - "1 = y\Cna，J sill" &
n=l
-旳）血〃更0= 2（"o 弓1）［1_（_1門(mén)
7UI Q H7ta
2（i/n — Wi） r .. ”
心）F十占一3 ］皿
H7T
§3柯西問(wèn)題
1.求卜述函數(shù)的富甲?埃變換：
(1)
（〃>0）
C)
(3>0)
(3)
X
1
（a>
27、0, k為門(mén)然數(shù)）
—2
OO
r — 2
* -瓜宀里X）
（柯兩定理）
己 工8 認(rèn)"切f
00 一〃 十
—co
解：(1) F{e~^ ] = J e~^e~ipxdx= \e 刁 dx
8 8
或者 F[e_*'‘ ] = | e~^ (cospx一 isiii px)d.x = 2卜一""cospxdx = 2/(p)
—OO 0
p
/(P)
枳分得
乂
故
所以
I(P) = Ce 仞
OO
/(0)=J
e^dx =
(2)
]=j廠(chǎng)札T
—oo
0 oo
?~ipxdx = j eaxe~,pxdx
28、 + j e~ —oo 0
oo
a 一 + p-
一49]= Je~l^e~ipxdx = Je~4i(cos px- isill px)dx
0 oo |
=^e^a~ip^xdx + '-("+巾)仏
oo
=2 f e~ax cos pxdx -
Q d ■十 /T
G)
F[ A 1 A
(d- +X-)
7 e_Px e^ipz
= 17ti Re
丄(曠+廠(chǎng))人 (?/ d? 十 ai)
[ A：—1 m
…ST
(z + ai)-k-m(-ip)k-m-[e-ipz
二方丄nfc：i
29、(T)嘆伙十1兒伙+加-1)(2帀)亠氣—初u嚴(yán)
(K — l)：m=0
_ 1 亍伙 + 加-1)! (_l)f
一伙一 1)!召加伙一加一1)! i(2d)5
所以
J+m
k_m-\ ap
]
(a2 +x2)A
2加亠
pH嚴(yán)
2龍 &伙十加一 1)! (一1)-心嚴(yán)
(k-iy.^m(k-m-iy. (2a)k+m
? ■
X
1 d匚
—― h
■
1
(6/2 +/)人
i dp
(a2 +x3)A
_ . 2龍悩伙+加一1)! (_1)H
(k-1)!角伙 _ 加一1)! (2a)k+m
[伙-m-l)pk-nt-2e
30、aP + apj-" ] + 嚴(yán)—2妝嚴(yán)+2 嚴(yán)
[伙一 1)丁
E如s能加背
兀(2—2)!
(20)4 (_l)f T 嚴(yán)-2 嚴(yán)(ap + k— m -1)
2.證明當(dāng)f(x)在(-8,00)內(nèi)絕對(duì)可積時(shí).F(f)為連續(xù)函數(shù)。
證：因F⑴二jf(x)e~ipxdx = g(p)對(duì)任何實(shí)數(shù)pff
OO
OO
1尸(/)冃 g(P)l< Jl/(x)|dx
—OO
即關(guān)于P絕對(duì)一致收斂，因而可以在積分下取極限.故旳)關(guān)于P為連續(xù)函數(shù)。
3.用富里埃變換求解三維熱傳導(dǎo)方程的柯兩問(wèn)題
du d2u d2u d2u \
付訂十滬十訂)
8
31、
解：令尸[m(x,y,z)] = JJJw(x,y,z,t)e~'{xSx+ys^:^dxdydz = i7(51,52,53,/)
—8
對(duì)問(wèn)題作富里埃變換得
OO
牛+s「+532)w
帀 b=0 = JK 0(忑 ” Z)「g+''Z)dxdydz = 0(? ,52,53)
解之得
iZ = 0Gi，$2，S3“WW"
OO
F_1 [e_fl，+5,J +S,Jj J|￡-/(彳+彳+彳)/.
再由卷積定理得
( \ \3 oo _(xY)‘ +(〉」")'Xz-C
u(x.y.z.t) =
(7^] ”[(
32、仙,》 d勿噸
4證明(320)所表示的函數(shù)滿(mǎn)足非齊次方程(3 15)以及初始條件(3 16).
證：要證
—8
—8
oo
J(p(^)e 4 乩 dg +■
—8
—8
滿(mǎn)足定解問(wèn)題
du o d2U r(八
u(xfi) =(p(x)
原15 85頁(yè)上已證解的表達(dá)式中第一項(xiàng)滿(mǎn)足
du r d-W
u{xfl) =(p(x)
因此只需證第二項(xiàng)滿(mǎn)足
du d^u r/ \
kh心)
u(xfl) = Q
如第一項(xiàng)，第二項(xiàng)關(guān)丁?丁的被積兩數(shù)滿(mǎn)足
dco ° d^co W= (X ■ ?孑
33、 av2 /y(x,r) = /(x,r)
若記第二項(xiàng)為“被枳函數(shù)為a,即
故仃
普=血/) +
It
-> d2V dx2
It
o d^V rz 、 d(O
曠話(huà)十g)*苛
z(x,o ar
顯然v(xfi) = 0得證。
5.求解熱傳導(dǎo)方程(3.22)的柯西問(wèn)題，已知
(1) u |/=0 = sill x
O* w|/=0 = x3 +1
(3)用延拓法求解半有界直線(xiàn)上熱傳導(dǎo)方程(3 22)，假設(shè)
u(xfi) = 0(x) (0 < X < oo)
° w(0J) = 0
解： (1) sinx令界，故
oo
"(x,/) j sill
34、 4^ 曲 dg
1
OC -
4?7
sill x
(2) 1+x?無(wú)界，但表達(dá)式
—8
—8
oo _(?*_￡)'
M(V,/) = J(1 十嚴(yán)“曲站
仍收斂，」1滿(mǎn)足方程。因此
—8
1
8
w(x,0 =
易驗(yàn)它也滿(mǎn)初始條件。
（3）由解的公式
JV?” s dg
—oo
2 -a?.
Jq+F*皿妬辰
L + Cr-A)1 2^^6/A
+ x2)J e'^dA-lx^ 加
—oo
35、
0 8
知，只需開(kāi)拓0（x）,使Z對(duì)任何X值有意義即町。為此，將枳分分為兩個(gè)J與J，再在
—oo 0
第一個(gè)中用（_◎來(lái)替換歹就得
oo _aY)2 _(X+§)2
由邊界條件得
|心,/)=
6.證明函數(shù)
v(x,y,4
36、2
1 . (x_g)一 十(y _")一龍一-4
37、a\t-ty
dv
仿此
所以
7.證明如果他CM）上2（如）分別是卜列兩個(gè)問(wèn)題的解。
d Wo o
hr+話(huà)
吋匸 o =^2(y)
i
dMi o d-Mi
a廠(chǎng)
?l|/=o = 01 (x)；
則 w(x, y,r) = Ui (x,r) - m2 (y,r)是定解問(wèn)題
dll
C=D=0(X)02(y)
所以a
又
d2u
+
dwi du^ du
du
T
的解。
證：驗(yàn)證即可。因
3m du i
38、 Bid
at dt 「 dt
?吋 r=o=0(x)0(y)
8.導(dǎo)出卜列熱傳導(dǎo)方程柯西問(wèn)題解的農(nóng)達(dá)式
n
4=o =鴨a,〉’)= (刃
解：由上題，只石分別求出
及
dnj
/0|/=o 二舛⑴
的解.然后再相乘迭加即得。但
° d2u.
dt dy- ?F 刈“二恥)
3w->
(5
^2(>\0= 1
8 _(wr
、2(祈 J0i (處 4巧 d〃
[ n +?o +8
所以
w(.r,y,r)=^—￡ f f 匕?A ge ~_dgdq
9.驗(yàn)證二維熱傳導(dǎo)方程柯西問(wèn)題
解的表達(dá)式為
39、
+oo +8
_(—疔+(〉?一")‘
/ >0滿(mǎn)足方程，故只需證明可在積
證：由第6題知曲數(shù) 、c ——
47ncrt
分巧卜求導(dǎo)二次即町。為此只需證明在積分號(hào)卜求導(dǎo)后所得的枳分是一致收斂的。 對(duì)x求導(dǎo)一次得
+oo +oo 盧、 (―勿+；>〃)'
卜-列積分
對(duì)有限的X,y 即r0 f 0
是絕對(duì)n—致收斂的。因?yàn)閷?duì)充分人的a>o,每個(gè)枳分
8 (f
je 4內(nèi) d〃
A
-A _()」〃)'
J e 4“" d〃
都是絕對(duì)且一致收斂的。絕對(duì)性町從A F 0
40、充分人后被積函數(shù)不變號(hào)看出，-?致性可從充分 性判別法找出優(yōu)函數(shù)來(lái)。如第三個(gè)積分的優(yōu)兩數(shù)為
oo 3"）'
且
收斂。
W
\e dr]
A
8 8 j _（大7）'乂$-〃）'
十
4（1 加 o
右端為-?致收斂積分的乘枳，仍為一致收斂積分。因而人為絕對(duì)-致收斂的積分。從而仃
從而證明表達(dá)式滿(mǎn)足方程。
―oo —oo
戸"叫如M
—oo N
E7T
再證滿(mǎn)足始值。任取一點(diǎn)（x0,y0）,將^（x0,y0）
8 8
寫(xiě)成
*0*0）=—f（0（打,為”"+%0&
—oo —oo
因而
F（U）-處"0）|
]]8
41、 8
=tf J"（x + 2（4^,y + 2（?）-廠(chǎng)
I ?oo —oo
對(duì)任給￡>0,取N> 0如此Z人，使
f卜（宀叫妙<二
J J 12M
—oo —oo
再由妙的連續(xù)性，可找到5>0使當(dāng)卜一q], |y-jop都小丁?/時(shí)，有 ”（x十 2@乙y 十2（^3） 一 ,v0）|<^
所以X J卜r + 2（祝,y + 2（枷）-0（叼,兒*-（W）d00《
因此 卜（x,y,/） 一 0（“，旳）|< 亍2M 十號(hào)二專(zhuān)= 8
即右 =0(x,y)
§4極值原理，定解問(wèn)題的解的唯一性和穩(wěn)定性
1.若方程茅「= t/2——+cw(c>0)的解"在矩形
42、R的側(cè)邊x-a及x = p上不超
過(guò)B. 乂在底邊f(xié)=0上不超過(guò)M.證明此時(shí)M在矩形R內(nèi)滿(mǎn)足不等式:
I/(a\Z)| < max(A/err, Bect)
由此推出上述混介問(wèn)題的唯一性與穩(wěn)定性。
dv ■ v
證：令w(x,r) = ertv(x,r),則v(x,r)滿(mǎn)足才二伉”才亍,在R的邊界上
43、右 =0(x,y)
即右 =0(x,y)
由上佔(zhàn)計(jì)得
L(x,/1< max(0ecZ,0ecZ) = 0
推出
w(x,/) =0
即 1({ = ?2
解是唯一的。
穩(wěn)定性：若混介問(wèn)題的兩個(gè)解“】宀在尺滿(mǎn)足pi-心卜&即max(M,B)vc 則
U = Mi - II2滿(mǎn)足估計(jì)
￡maxe
44、成立，則M >加.。因而，在人內(nèi)冇一點(diǎn)(x*,y*)使“(x*,y*)二M >加。
作函數(shù)
v(x,y) = u(x,y) +
其中/為/?的直徑。在「上
z 、 M _m M -m m M ― v(x, y) < m m
4 4 2 2
而 v(.v*,y*) = z/(x*,y*) = M
故v(x, y)也在R內(nèi)一點(diǎn)上取到Jlil人值，因ifij在該點(diǎn)處仃:
d2v
Av = △“ 十
即Av < 0 ?另一方而,
所以 矛盾。故假設(shè)不成立。證畢
1 00 孑
要此式成立，只石
0(-歹)=一 (P?
即P?作奇開(kāi)拓，山此得解公式為
數(shù)學(xué)物理方程(谷超豪)第二章熱傳導(dǎo)方程習(xí)題解
