《圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積》教案、導(dǎo)學(xué)案、課后作業(yè)

《《圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積》教案、導(dǎo)學(xué)案、課后作業(yè)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積》教案、導(dǎo)學(xué)案、課后作業(yè)（32頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、《8.3.2圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積》教案 【教材分析】 本節(jié)是在學(xué)生己從圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征和直觀圖兩個(gè)方面認(rèn)識(shí) 了旋轉(zhuǎn)體的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步從度量的角度認(rèn)識(shí)圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球，主要包括 表面積和體積. 【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】 課程目標(biāo) 1. 通過對(duì)圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的研究，掌握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表 面積和體積計(jì)算公式. 2. 能運(yùn)用圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān) 實(shí)際問題. 數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng) 1. 數(shù)學(xué)抽象：圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積與體積公式； 2. 數(shù)學(xué)運(yùn)算：求旋轉(zhuǎn)體及組合體的表面積或體積； 3. 數(shù)學(xué)建模：數(shù)

2、形結(jié)合，運(yùn)用圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積公式進(jìn) 行計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問題. 【教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)】 重點(diǎn)：掌握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積計(jì)算公式和應(yīng)用； 難點(diǎn)：圓臺(tái)的體積公式的理解. 【教學(xué)過程】 一、 情景導(dǎo)入 前面己經(jīng)學(xué)習(xí)了三種多面體的表面積與體積公式，那么如何求圓柱、圓 錐、圓臺(tái)、球的表面積與體積公式？ 要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探. 二、 預(yù)習(xí)課本，引入新課 閱讀課本116-119頁(yè)，思考并完成以下問題 1. 圓柱、圓錐、圓臺(tái)、的側(cè)面積、底面積、表面積公式各是什么？ 2. 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積公式各是什么？

3、側(cè)面展 開圖 歡 / We i 1 1 1 1 1 2”廠 底面積 S底=2兀r s底= s底= 側(cè)面積 s側(cè)= s側(cè)= s側(cè)— 表面積 s 表= $表= &= （二） 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積 1. 棱柱：柱體的底面面積為S,高為h,則V= . 2. 棱錐：錐體的底面面積為S,高為h,則V= . 3. 棱臺(tái)：臺(tái)體的上、下底面面積分別為S'、S,高為h,則V = （三）球的體積公式與表面積公式 1. 球的體積公式V= （其中R為球的半徑）. 2. 球的表面積公式，= . 小試牛刀 1. 判斷下

4、列命題是否正確.（正確的打“"”，錯(cuò)誤的打“ X”） （1） 兩個(gè)球的半徑之比為1： 3,則其表面積之比為1： 9.（） （2） 經(jīng)過球心的平面截得的圓的半徑等于球的半徑.（） （3） 圓臺(tái)的高就是相應(yīng)母線的長(zhǎng).（） 2. 直徑為1的球的體積是（） JI JI A. 1 B. — C. — D.兀 6 3 3. 己知一個(gè)銅質(zhì)的五棱柱的底面積為16 ck,高為4 cm,現(xiàn)將它熔化后鑄成 一個(gè)正方體的銅塊（不計(jì)損耗），那么鑄成的銅塊的棱長(zhǎng)是（） A. 2 cm B. 3 cm C. 4cm D. 8 cm 4. 圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為6,兩底面半徑分別為2, 7,則圓臺(tái)的側(cè)面面積是

5、 【自主探究】 題型一圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積 例1若一個(gè)圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為4 cm的等邊三角形，則這個(gè)圓錐的側(cè) 面積為 cm2,表面積為 cm2. 跟蹤訓(xùn)練一 1.圓臺(tái)的上、下底面半徑和高的比為1：4：4,若母線長(zhǎng)為10,則圓臺(tái)的 表面積為（） A. 81 n B. 100兀 C. 168 n D. 169 jt 題型二圓柱、 圓錐、圓臺(tái)的體積 例2如圖，某種浮標(biāo)由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱黏合而成，半球的直徑是0. 3m 圓柱高0.6/z?如果在浮標(biāo)表面涂一層防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么給 1000個(gè)這樣的浮標(biāo)涂防水漆需要多少涂料？（〃取3. 14）

6、 跟蹤訓(xùn)練二 1.如圖，一個(gè)底面半徑為2的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最 長(zhǎng)母線長(zhǎng)分別為2和3,求該幾何體的體積. 2.梯形刃砌中，AD〃BC, ZABC=90° , AD=a, BC=2a,匕70=60。, 在平面，"內(nèi)過點(diǎn)。作口此；以/為軸將梯形刃砌旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)體的表 面積和體積. 題型三球的表面積與體積 例3如圖，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，求球與圓柱的體積之比. 例4平面。截球。的球面所得圓的半徑為1 .球心。到平面a的距離為彖, 則此球的體積為（） A. /兀 C. 4^6 n 瑪蹤訓(xùn)練三 1、將棱長(zhǎng)為2的正方體木塊削成一個(gè)體積最大的

7、球，則該球的體積為（） D. ji 6 2.設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長(zhǎng)都為母頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上, 則該球的表面積為（） A.兀a B. * 11 2 c ?耳牌 【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】 1. 圓柱的一個(gè)底面積是S側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，那么這個(gè)圓柱的側(cè) 面積是（） A. C. 2.已知某圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的3倍，母線長(zhǎng)為3,圓 臺(tái)的側(cè)面積為84兀，則該圓臺(tái)較小底面的半徑為() 3. 若圓錐的側(cè)面展開圖為一個(gè)半徑為2的半圓，則圓錐的體積是 . 4. 圓柱形容器內(nèi)盛有高度為8 cm的水，若放入三個(gè)相同的球(球的半徑與 圓柱的底面半徑

8、相同)后，水恰好淹沒最上面的球(如圖所示)，則球的半徑是 5. 軸截面是正三角形的圓錐內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，若圓錐的底面半徑為1 cm, 求球的體積. 答案 小試牛刀 1. (1) V (2) V (2) X 2. B. 3. C 4. 54 Ji. 自主探究 例1【答案】8ir 12ir. 【解析】如圖所示，.??軸截面是邊長(zhǎng)為4 cm的等邊三角形，:?0B=2 cm, PB—4 cm, .??圓錐的側(cè)面積$側(cè)=Ji X2X4=8 n (cm2), 表面積 ￡表=8 n + Ji X22=12 n (cm2). 跟蹤訓(xùn)練一 1. 【答案】c 【解析】選C

9、先畫軸截面，再利用上、下底面半徑和高的比求解.圓臺(tái)的 軸截面如圖所示，設(shè)上底面半徑為下底面半徑為R,則它的母線長(zhǎng)為1= 』護(hù)+(R-rV = J(4尸尸+(3,尸=5廣=10,所以尸=2, A=8. 故 S側(cè)=兀(7?+r) 1=兀(8 + 2) X 10=100 n , S表=S側(cè) + 兀 /4- jt 7?=100 n +4 兀 +64 兀=168 n ... 例2【答案】423.9催? 【解析】一個(gè)浮標(biāo)的表面積是2^x0.15x0.6 + 4^x0.152=0.8478(m2), 所以給1000個(gè)這樣的浮標(biāo)涂防水漆約需涂料0.8478X0.5x1000 = 423.9(

10、kg). 跟蹤訓(xùn)練二 1. 【答案】10 n. 【解析】用一個(gè)完全相同的幾何體把題中幾何體補(bǔ)成一個(gè)圓柱，如圖，則圓 柱的體積為Ji X22X5 = 20 n ,故所求幾何體的體積為10兀. 2. 【答案】見解析 【解析】由題意知以/為軸將梯形刃砌旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體為圓柱中 挖去一個(gè)倒置的且與圓柱等高的圓錐，如圖所示. 在梯形刃砌中，ZABC=90° ， AD//BC, AD=a, BC=2a, ￡20=60。， cdU, cos60 "=Qfein60。 :.DDf =AAf —2AD=2BC—2AD=2a, 由上述計(jì)算知，圓柱的母線長(zhǎng)為柬缶底

11、面半徑為2%圓錐的母線長(zhǎng)為2a, 底面半徑為a 「?圓柱的側(cè)面積S{ = 2 n ? 2a ?柬a=4yRn寸,圓錐的側(cè)面積房=兀? a ? 2a =2 兀 a, 圓柱的底面積S尸n (2a)2 = 4 n段,圓錐的底面積S=兀段, 「?組合體上底面面積冬=& —S = 3 n代, .??旋轉(zhuǎn)體的表面積 S=S + &+￡+&= (4^3 + 9) n # 又由題意知形成的幾何體的體積為圓柱的體積減去圓錐的體積，且/柱 n ? (2a)2 ? \[3a—4y[3 Ji a9 /錐=§ ?丸? a ? a. 旋轉(zhuǎn)體的體積r=嚇一％ = 4湛jt疽一乎丸疽=旦尹n ￡ 2

12、例3【答案】| 【解析】設(shè)球的半徑為A,則圓柱的底面半徑為高為2R. 4 ?.?球的體積V}=-7tR\圓柱的體積V2=7rR2-2R = 2iR3 , J, 4 ? .\V：V.=-7rR3:27rR3=-. i 一 3 3 例4【答案】B 【解析】如圖，設(shè)截面圓的圓心為。'，〃為截面圓上任一點(diǎn), 貝ij 00f =吏,O' "=1..??伽 =寸（例+1=相 即球的半徑為也.... /=§兀（寸5） 3 = 4也n . 跟蹤訓(xùn)練三 1. 【答案】A. 【解析】由題意知，此球是正方體的內(nèi)切球，根據(jù)其幾何特征知，此球的直 徑與正方體的棱長(zhǎng)是相等的，故可得球的直徑

13、為2,故半徑為1,其體積是丫球 2. 【答案】B. 【解析】選B由題意知，該三棱柱為正三棱柱，且側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等， 均為a.如圖，尸為三棱柱上底面的中心，。為球心，易知妒=|x乎定半a, OP 所以球的半徑滿足尸= 7 7 =正磯故S球=4兀井=§兀# 當(dāng)堂檢測(cè) 1-2. AA 4^3 5. 【答案】27 H cm3. 【解析】如圖所示，作出軸截面，。是球心，與邊如花相切于點(diǎn)〃，E. 連接刃〃，OE, V AABC是正三角形，CD^zAC. A VRtA^^^RtA^m OE CD . ^TcrTc

14、 ,: CD=\ cm, .\AC=2 cm, AD=yf3 cm, 設(shè) OE=r,則 A0= (^/3 —r), r 1 .也 ? .r=^- cm, 40 / 3\ _ 27 口 cm)9 即球的體積等于普丸cm3. 《8.3.2圓柱、 tai 錐、 臺(tái)、球的表面積和體積》課后作業(yè) 基礎(chǔ)鞏固 1. 若一個(gè)球的半徑擴(kuò)大到原來的2倍，則它的體積擴(kuò)大到原來的（）倍 A. B. 4 C. 6 D. 8 2. C. 1 : V5 D. V3 ： 2 若圓錐的高等于底面直徑，則它的底面積與側(cè)面積之比

15、為 A. B. 1 ： V3 3. 已知半徑為2的球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接圓柱，若圓柱的高為2,則球的體積與 圓柱的體積的比為（ ） c- 1 4. 圓臺(tái)的上、下底面半徑和高的比為1:4:4,母線長(zhǎng)為10,則圓臺(tái)的側(cè)面 積為（）. A. 81 n B. 100 兀 C. 14 n D. 169 n 5. 《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今 有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻 角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆為一個(gè)圓錐的四分之一）， 米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體

16、積和堆放的米各為多少？” 已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3,估算出堆放的米約有 A. 14 斛 B. 22 斛 C. 36 斛 D. 66 斛 6. 圓柱的側(cè)面展開圖是邊長(zhǎng)分別為2q,q的矩形，則圓柱的體積為 7. 一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的軸截面分別是邊長(zhǎng)為a的正方形和正三角形，則 它們的表面積之比為 . 8. 如圖，有一個(gè)水平放置的無蓋正方體容器，容器高8cm,將一個(gè)球放在 容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm,若不計(jì)容器 的厚度，如何求出球的體積？ （1）求出球的半徑; (2)求球的體積. 能力提升 9. 體積為8

17、的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球面的表面積為 32 A. 12石 B. 一7i C. 8〃 D.饑 3 10. 如圖，一個(gè)底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水，若放入一個(gè)半 R 徑為,的實(shí)心鐵球，水面高度恰好升高尸，則一= ? 11. 一個(gè)圓錐的底面半徑為2cm,高為6cm,在其內(nèi)部有一個(gè)高為x cm的內(nèi) 接圓柱. (1) 求圓錐的側(cè)面積； (2) 當(dāng)x為何值時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大？并求出側(cè)面積的最大值. 素養(yǎng)達(dá)成 12. 如圖所示，在邊長(zhǎng)為4的正三角形A3C中，E, F分別是AB, AC的 中點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，H, G分別是BQ, CD的中點(diǎn)，若將正三角形

18、A3C繞 &D所在直線旋轉(zhuǎn)180。，求陰影部分形成的幾何體的表面積. A 《8. 3. 2 柱、 錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積》課后作業(yè)答案解析  3. 球的表面積與體積公式各式什么？ 要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。 三、新知探究 （一） 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積 圓柱（底面半徑為下，母線 長(zhǎng)為D 圓錐（底面半徑為3母 線長(zhǎng)為/） 圓臺(tái)（上、下底面半徑 分別為E , r,母線 長(zhǎng)為1） 側(cè)面展 開圖 i i i i i i lr\ / 2”尸 底面積 S底=2 n r $底

19、=兀r $底=| ■ ■) 側(cè)面積 S側(cè)=2兀rl S 側(cè)=rl S側(cè)=n(” +r) 1 表面積 S 表=2 n r"+D $表=兀 S表=JT (r' 2+/) + n (rr +r) 1 （二）棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積 1.棱柱：柱體的底面面積為S,高為h,則N = Sh. 2. 棱錐：錐體的底面面積為S,高為h,則V=jsA 3. 棱臺(tái)：臺(tái)體的上、下底面面積分別為S，、S,高為h,則V=?（S，+/E + 5) A （三）球的體積公式與表面積公式 1.球的體積公式V=%R3 （其中R為球的半徑）. 2?球的表面積公式S = 4ttR2. 四、典

20、例分析、舉一反三 題型一圓柱、 錐、圓臺(tái)的表面積 例1若一個(gè)圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為4 cm的等邊三角形，則這個(gè)圓錐的側(cè) 面積為 cm2,表面積為 cm2. 基礎(chǔ)鞏固 1.若一個(gè)球的半徑擴(kuò)大到原來的2倍，則它的體積擴(kuò)大到原來的（）倍 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】由球體體積公式/ = 若R = 2r，貝【J 3 4 4 4 =一以3 =_4（2”3 =8x-"3,可知體積擴(kuò)大到原來的8倍. 2. 若圓錐的高等于底面直徑，則它的底面積與側(cè)面積之比為 A. 1 ： 2 B. 1 ： >/3 C. 1 ： V5 D.

21、 V3 ： 2 【答案】C 【解析】設(shè)圓錐底面半徑為廣，則高h(yuǎn)=2r, ...其母線長(zhǎng)l=y^r. .\SK= n rl =也”,S底=nr故選C. 3. 己知半徑為2的球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接圓柱，若圓柱的高為2,則球的體積與 圓柱的體積的比為（ ） 【答案】D 【解析】設(shè)圓柱的底面圓半徑為,，則了 =序* =也,所以圓柱的體積 %=兀?（右）x2 = 6兀.又球的體積嶺=：tix23=號(hào)兀，所以球的體積與圓柱的體 32〃 積的比嶺一 3 一16,故選D. 4. 圓臺(tái)的上、 下底面半徑和高的比為1:4:4，母線長(zhǎng)為10,則圓臺(tái)的側(cè)面 積為（ ). A. B. 100兀

22、 C. 14 it D. 169n 【答案】B 【解析】設(shè)圓臺(tái)上底半徑為r,則其下底半徑為4r,高為4r,結(jié)合母線長(zhǎng)10, 可求出町2.然后由圓臺(tái)側(cè)面積公式得，2硬發(fā)午恕黃=頒^普顧泌順=?傾愀? 5.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今 有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問:積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻 角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆為一個(gè)圓錐的四分之一）， 米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？” 已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3,估算出堆放的米約有

23、 A. 14 斛 B. 22 斛 C. 36 斛 D. 66 斛 【答案】B 【解析】設(shè)圓錐底面半徑為r,貝嚀X2X3廠=8,所以尸=岑 所以米堆的體 4 3 積為：x”3x（?）2x5二答 故堆放的米約為專-1.62Q22,故選B. 6. 圓柱的側(cè)面展開圖是邊長(zhǎng)分別為2。,。的矩形，則圓柱的體積為 3 3 【答案】d或幺 71 171 2 3 a xa =—— 71 【解析】圓柱的側(cè)面展開圖是邊長(zhǎng)為2a與a的矩形, 當(dāng)母線為a時(shí)，圓柱的底面半徑是色，此時(shí)圓柱體積是 71 當(dāng)母線為2a時(shí)，圓柱的底面半徑是此時(shí)圓柱的體積是 71X 2 3 x2a =—

24、—， 2〃 3 3 綜上所求圓柱的體積是：d或』 71 171 3 3 故答案為仁或J； n Iti 7. 一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的軸截面分別是邊長(zhǎng)為a的正方形和正三角形，則 它們的表面積之比為 . 【答案】2： 1 【解析】L.圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為a的正方形， 故圓柱的底面半徑r=y a,母線長(zhǎng)l=a, 3 故圓柱的表面積S=2 nr (r+1)=技"， 圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為a的正三角形， 故圓錐的底面半徑r=：a,母線長(zhǎng)1二a, 3 故圓錐的表面積S= n r (r+1)二二& , 4 故它們的表面積之比為：2： 1, 故答案為：2： 1. 8.

25、如圖，有一個(gè)水平放置的無蓋正方體容器，容器高8cm,將一個(gè)球放在 容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm,若不計(jì)容器 的厚度，如何求出球的體積？ (1) 求出球的半徑； (2) 求球的體積. 【答案】(l)5cm；⑵弩京(cn?). 【解析】(1)設(shè)正方體上底面所在平面截球得小圓 則圓心肱為正方體上底面正方形的中心， 設(shè)球的半徑為Rem,根據(jù)題意，球心到上底面的距離等于（R-2）cm, 而圓M的半徑為4 ,由球的截面圓性質(zhì)，得R2=OM2 + MB2 = （R-2尸+ 42 , 解得R = 5cm ； ⑵將球的半徑代入球的體積公式得L=i

26、"53=￥；r（cm3）. 能力提升 A. 12 勿 D.饑 9. 體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球面的表面積為 n 32 B. —71 3 【答案】A 【解析】因?yàn)檎襟w的體積為8,所以棱長(zhǎng)為2,所以正方體的體對(duì)角線長(zhǎng) 為20，所以正方體的外接球的半徑為右，所以該球的表面積為斯?（的）2=12兀， 故選A. 10. 如圖，一個(gè)底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水，若放入一個(gè)半 徑為,的實(shí)心鐵球，水面高度恰好升高,，則巴= . r 【答案】家痛 【解析】由題可知，小球的體積等于水面上升的的體積，因此有 化簡(jiǎn)可得，_ = F； 礦75 1

27、1. 一個(gè)圓錐的底面半徑為2cm,高為6cm,在其內(nèi)部有一個(gè)高為x cm的內(nèi) 接圓柱. (1) 求圓錐的側(cè)面積； (2) 當(dāng)x為何值時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大？并求出側(cè)面積的最大值. 【答案】(1) 4面萬(cn?) (2)工=3時(shí)，圓柱的側(cè)面積取得最大值，且最 大值為67rcm2 【解析】(1)圓錐的母線長(zhǎng)為辰盡=2面(cm)， 「?圓錐的側(cè)面積5, =^x2x2a/Fo =4V107r(cm2). (2)該幾何體的軸截面如圖所示. 設(shè)圓柱的底面半徑為廣cm, 由題意，矢[J — — --_ 2 6 圓柱的側(cè)面積S2 = 2/crx = —— x2 +6x) =

28、 — [(x-3)2 —9 , .??當(dāng)x = 3時(shí)，圓柱的側(cè)面積取得最大值，且最大值為67rcm2. 素養(yǎng)達(dá)成 12. 如圖所示，在邊長(zhǎng)為4的正三角形A8C中，E, g分別是AB, AC的 中點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，H, G分別是BD, 的中點(diǎn)，若將正三角形ABC繞 AQ所在直線旋轉(zhuǎn)18()。，求陰影部分形成的幾何體的表面積. A 【答案】2(6 +右)〃 【解析】旋轉(zhuǎn)體是一個(gè)圓錐挖去一個(gè)圓柱后形成的幾何體. 令BD = R, HD = r, AB = [, EH = h,貝i」R = 2,尸=1, /= 4, h = g 「?S圓錐表=?？?7i;Rl = 7ix

29、2} *兀x2x4 = \2兀, S圓柱側(cè)=2/n7z = 2"xlx J5 = 2J5). 「?所求幾何體的表面積S = S圓錐表+ S圓柱側(cè)=12〃 + 2 = 2 (6 + 0i 【答案】8n 12 Ji. 【解析】如圖所示，.??軸截面是邊長(zhǎng)為4 cm的等邊三角形, 0B= 2 cm, PB=4 cm, 「?圓錐的側(cè)面積S側(cè)=nX2X4 = 8 Ji (cm2), 表面積 S表=8 Ji + Ji X22=12 Ji (cm2). 解題技巧(求旋轉(zhuǎn)體表面積注意事項(xiàng)) 旋轉(zhuǎn)體中，求面積應(yīng)注意側(cè)面展開圖，上下面圓的周長(zhǎng)是展開圖的弧長(zhǎng).圓 臺(tái)通常還要還原為圓錐. 跟蹤訓(xùn)

30、練一 1. 圓臺(tái)的上、下底面半徑和高的比為1：4：4,若母線長(zhǎng)為10,則圓臺(tái)的 表面積為() A. 81 n B. 100 Ji C. 168 n D. 169 兀 【答案】c 【解析】選C先畫軸截面，再利用上、下底面半徑和高的比求解.圓臺(tái)的 軸截面如圖所示，設(shè)上底面半徑為廣，下底面半徑為&則它的母線長(zhǎng)為/= Jh2 +成一尸)2 = J(4 ,)2 +(3,)2 =5 廣=10, 所以 r=2, A=8. 故 S側(cè)=兀(7?+r) 1= Ji (8 + 2) X 10 = 100 兀， 題型二 圓柱、圓錐、 S表=$側(cè)+ H r + 兀井=100 jt +4 n +

31、64 n =168 兀. 臺(tái)的體積 例2如圖，某種浮標(biāo)由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱黏合而成,半球的直徑是0. 3m, 圓柱高0. 6成如果在浮標(biāo)表面涂一層防水漆，每平方米需要0. 5施?涂料，那么給 1000個(gè)這樣的浮標(biāo)涂防水漆需要多少涂料？(〃取3. 14) 【答案】423. 9kg 【解析】一個(gè)浮標(biāo)的表面積是2^xO.15xO.6 + 4TrxO.152=O.8478(m2), 所以給1000個(gè)這樣的浮標(biāo)涂防水漆約需涂料0.8478x0.5x 1000 = 423.9(kg). 解題技巧(求幾何體積的常用方法) (1) 公式法：直接代入公式求解. (2) 等積法：例如

32、四面體的任何一個(gè)面都可以作為底面，只需選用底面積和 高都易求的幾何體即可. (3) 補(bǔ)體法：將幾何體補(bǔ)成易求解的幾何體，如棱錐補(bǔ)成棱柱，棱臺(tái)補(bǔ)成棱 錐等. (4) 分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積. 跟蹤訓(xùn)練二 1. 如圖，一個(gè)底面半徑為2的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最 長(zhǎng)母線長(zhǎng)分別為2和3,求該幾何體的體積. 【答案】10兀. 【解析】用一個(gè)完全相同的幾何體把題中幾何體補(bǔ)成一個(gè)圓柱，如圖，則圓 柱的體積為兀X22X5 = 20兀，故所求幾何體的體積為10孔. 2. 梯形刃物中，AD//BC, ZABC=90° , AD=a, BC=2a,

33、ZDCB=6Q° , 在平面刃砌內(nèi)過點(diǎn)。作 ABC,以/為軸將梯形/砌旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)體的表 面積和體積. 【答案】見解析 【解析】由題意知以/為軸將梯形刃砌旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體為圓柱中 挖去一個(gè)倒置的且與圓柱等高的圓錐，如圖所示. 在梯形/及刀中，ZABC=90° ，AD//BC. AD=a, BC=2&, ￡20=60。, :.CD= =2a9 AB=CDsin6Q° =柬干, cos60 ? :.DD' =M —2AD=2BC—2AD=2a, ：.D0=^DD' =a. 由上述計(jì)算知，圓柱的母線長(zhǎng)為寸5a,底面半徑為2a；圓錐的母線長(zhǎng)為2a, 底面

34、半徑為a. 「?圓柱的側(cè)面積5 = 2 n ? 2a ? ^3a=4^/3 n a,圓錐的側(cè)面積攜=n ? a?2a 圓柱的底面積&=兀（2a）2 = 4 n 4 圓錐的底面積S= n 4 組合體上底面面積缶=成一S = 3 Ji 4 .??旋轉(zhuǎn)體的表面積S=S +說+昌+冬=（4^/3+ 9） Ji段. 又由題意知形成的幾何體的體積為圓柱的體積減去圓錐的體積，且/柱= 兀?（2a）2 ?/打=4寸§兀疽, /錐=| - n -擊?$「=斗兀。3. 「?旋轉(zhuǎn)體的體積v= /柱一『錐=4寸5丸疽一手丸a —1 題型三球的表面積與體積 例3如圖，圓柱的底面直徑和高都等于球的直

35、徑，求球與圓柱的體積之比. 2 【答案】| 【解析】設(shè)球的半徑為療，則圓柱的底面半徑為7?,高為2R. 4 ?.?球的體積V{=-7rR\ 圓柱的體積V2=ttR2-2R = 2ttR3 , J J 4 ? .?.匕：嶺=—〃R3：2〃R3= — 1 2 3 3 例4平面。截球。的球面所得圓的半徑為1.球心。到平面a的距離為點(diǎn), 則此球的體積為（） A.、/&兀 B. 兀 C. D. 6^/3 Ji 【答案】B 【解析】如圖，設(shè)截面圓的圓心為。'，"為截面圓上任一點(diǎn)， 則初 =吏,0' 片1. .?.伽 =寸（四+1=3. 即球的半徑為也n （

36、何=4柬Ji. 解題技巧（與球有關(guān)問題的注意事項(xiàng)） 1. 正方體的內(nèi)切球 球與正方體的六個(gè)面都相切，稱球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，此時(shí)球的半徑為廣 1 =?,過在一個(gè)平面上的四個(gè)切點(diǎn)作截面如圖（1）. 2. 球與正方體的各條棱相切 球與正方體的各條棱相切于各棱的中點(diǎn)，過球心作正方體的對(duì)角面有r = 2 寫，如圖⑵. 3. 長(zhǎng)方體的外接球 長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，稱球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球,根據(jù)球的定義可知, 長(zhǎng)方體的體對(duì)角線是球的直徑，若長(zhǎng)方體過同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)為，力，S則 過球心作長(zhǎng)方體的對(duì)角面有球的半徑為 r=如+W+c2 ,如圖（3）. 3 2 ■"7 ⑵

37、I / K a 312 4. 正方體的外接球 正方體棱長(zhǎng)a與外接球半徑R的關(guān)系為 5. 正四面體的外接球 正四面體的棱長(zhǎng)a與外接球半徑"的關(guān)系為：2/?=乎a. 6、有關(guān)球的截面問題 常畫出過球心的截面圓，將問題轉(zhuǎn)化為平面中圓的有關(guān)問題解決. 跟蹤訓(xùn)練三 1、將棱長(zhǎng)為2的正方體木塊削成一個(gè)體積最大的球，則該球的體積為（） JI D，_6 【答案】A. 【解析】由題意知，此球是正方體的內(nèi)切球，根據(jù)其幾何特征知，此球的直 徑與正方體的棱長(zhǎng)是相等的，故可得球的直徑為2,故半徑為1,其體積是/球 4 . 4 n =-x.xr=— 2. 設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于

38、底面，所有棱長(zhǎng)都為，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上， 則該球的表面積為（） 9 7 , A. n a B. ~ Ji a 11 9 7 C. — n D? 5 Ji a 【答案】B. 【解析】選B由題意知，該三棱柱為正三棱柱，且側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等， 均為a.如圖，尹為三棱柱上底面的中心，。為球心，易知劣片三'斗a=*a, OP =§a,所以球的半徑7?= 4滿足平才+ §3 2=鬲2,故$球=4&=f丸寸 五、 課堂小結(jié) 讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識(shí)及解題技巧 六、 板書設(shè)計(jì) 8.3.2圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積 1、 圓柱、圓錐、圓臺(tái)表面積公式 例1 例2 2、 圓

39、柱、圓錐、圓臺(tái)體積公式 例3 例4 3、 球的表面積與體積公式 七、作業(yè) 課本119頁(yè)練習(xí)，119頁(yè)習(xí)題8. 3的剩余題. 【教學(xué)反思】 本節(jié)課的重點(diǎn)是掌握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積計(jì)算公式和應(yīng)用, 通過本節(jié)課的例題及練習(xí)，學(xué)生基本掌握.須注意的是:①求面積時(shí)看清求的是 側(cè)面積，還是底面積，還是表面積；②對(duì)本節(jié)課的難點(diǎn)的理解類比棱臺(tái)與棱錐、 棱錐的聯(lián)系；③解決實(shí)際問題時(shí)先抽象出幾何圖形，再利用相關(guān)公式解決. 《8.3.2圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積》導(dǎo)學(xué)案 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 知識(shí)目標(biāo) 1.通過對(duì)圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的研究，掌握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表 面積

40、和體積計(jì)算公式. 2.能運(yùn)用圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān) 實(shí)際問題. 核心素養(yǎng) 1 .數(shù)學(xué)抽象：圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積與體積公式; 2.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求旋轉(zhuǎn)體及組合體的表面積或體積; 3. 數(shù)學(xué)建模：數(shù)形結(jié)合，運(yùn)用圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積公式進(jìn) 行計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問題. 【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】：掌握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積計(jì)算公式和應(yīng)用; 【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】：圓臺(tái)的體積公式的理解. 【學(xué)習(xí)過程】 、預(yù)習(xí)導(dǎo)入 閱讀課本116-119頁(yè)，填寫。 （一） 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積 圓柱（底面半徑為r,母線 長(zhǎng)為D 圓錐（底面半徑為廣，母 線長(zhǎng)為7） 圓臺(tái)（上、下底面半徑 分別為W , r,母線 長(zhǎng)為7）