2022秋九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊 第1章 一元二次方程1.2 一元二次方程的解法 5用因式分解法解一元二次方程教學(xué)設(shè)計(jì)（新版）蘇科版

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1、精品文檔 21．2.5 分解因式法 課時(shí)安排 1課時(shí) 沉著說課 分解因式法是解某些一元二次方程較為簡便且靈活的一種特殊方法．它是把一個(gè)一元二次方程化為兩個(gè)一元一次方程來解．表達(dá)了一種“降次〞的思想，這種思想在以后處理高次方程時(shí)非常重要． 這局部內(nèi)容的根本要求是讓學(xué)生學(xué)會(huì)方法．本節(jié)的重、難點(diǎn)是利用分解因式法來解某些一元二次方程． 由于?標(biāo)準(zhǔn)?中降低了分解因式的要求，根據(jù)學(xué)生已有的分解因式知識(shí)，學(xué)生僅能解決形如“x(x-a)＝0”“x2-a2＝0”的特殊一元二次方程．所以在教學(xué)中，可以先出示一個(gè)較為簡單的方程，讓學(xué)生先各自求解，然后進(jìn)行比擬與評(píng)析，發(fā)

2、現(xiàn)因式分解是解某些一元二次方程較為簡便的方法，從而引出分解因式法．其根本思想和方法是：一個(gè)一元二次方程一邊是零，而另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式時(shí)，可以使每一個(gè)因式等于零，分別解兩個(gè)一元一次方程，得到的兩個(gè)解就是原一元二次方程的解．這種思想和方法是用分解因式法解一元二次方程的重點(diǎn)． 通過方法的比擬，力求讓學(xué)生根據(jù)方程的具體特征，靈活選取適當(dāng)?shù)慕夥?，從而讓學(xué)生體會(huì)解決問題的多樣性． 課 題 §21．2.5 分解因式法 教學(xué)目標(biāo) (一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 1．應(yīng)用分解因式法解一些一元二次方程． 2．能根據(jù)具體一元二次方程的特征，靈活選擇方程的解法

3、． (二)能力訓(xùn)練要求 1．能根據(jù)具體一元二次方程的特征，靈活選擇方程的解法，體會(huì)解決問題方法的多樣性． 2．會(huì)用分解因式法(提公因式法、公式 法)解某些簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程． (三)情感與價(jià)值觀要求 通過學(xué)生探討一元二次方程的解法，使他們知道分解因式法是一元二次方程解法中應(yīng)用較為廣泛的簡便方法，它防止了復(fù)雜的計(jì)算，提高了解題速度和準(zhǔn)確程度．再之，體會(huì)“降次〞化歸的思想． 教學(xué)重點(diǎn) 應(yīng)用分解因式法解一元二次方程． 教學(xué)難點(diǎn) 形如“x2＝ax〞的解法． 教學(xué)方法 啟發(fā)引導(dǎo)式歸納教學(xué)法． 教具準(zhǔn)備

4、 投影片五張． 第一張：復(fù)習(xí)練習(xí)(記作投影片§2．4 A) 第二張：引例(記作投影片§2．4 B) 第三張；議一議(記作投影片§2．4C) 第四張：例題(記作投影片§2．4 D) 第五張：想一想(記作投影片§2．4 E) 教學(xué)過程 Ⅰ．巧設(shè)現(xiàn)實(shí)情景，引入新課 [師]到現(xiàn)在為止，我們學(xué)習(xí)了解一元二次方程的三種方法：直接開平方法、配方法、公式法，下面同學(xué)們來做一練習(xí)．(出示投影片§2．4 A) 解以下方程： (1)x2-4＝0； (2)x2-3x+1＝0； (3)(x+1)2-25＝0； (4)20x2+23x

5、-7＝0． [生]老師，解以上方程可不可以用不同的方法? [師]可以呀． [生甲]解方程(1)時(shí)，既可以用開平方法解，也可以用公式法來求解，就方程的特點(diǎn)， 我采用了開平方法，即 解：x2-4＝0， 移項(xiàng)，得x2＝4． 兩邊同時(shí)開平方，得 x＝±2． ∴x1＝2，x2=-2． [生乙]解方程(2)時(shí)，既可以用配方法來解，也可以用公式法來解，我采用了公式法，即 解：這里a＝1，b＝-3，c＝1． b2-4ac＝(-3)2-4×1×1 ＝5>0， ∴x= ∴x

6、1=，x2= [師]乙同學(xué)，你在解方程(2)時(shí)，為什么選用公式法，而不選配方法呢? [生乙]我覺得配方法不如公式法簡便． [師]同學(xué)們的意見呢? [生齊聲]同意乙同學(xué)的意見． [師]很好，繼續(xù)． [生丙]解方程(3)時(shí)，可以把(x+1)當(dāng)作整體，這時(shí)用開平方法簡便，即 解：移項(xiàng)，得(x+1)2＝25． 兩邊同時(shí)開平方，得 x+1＝±5， 即x+1＝5，x+1＝-5． ∴x1=4，x2=-6 [生丁]解方程(4)時(shí)，我用的公式法求解，即 解：這里a＝20，b＝23，c

7、＝-7， b2-4ac＝232-4×20×(-7)＝1089＞0， ∴x＝. ∴x1= x2=-. [師]很好，由此我們知道：在已經(jīng)學(xué)習(xí)的解一元二次方程的三種方法——直接開平方法、配方法、公式法中，直接開平方法只能解某些特殊形式的方程，配方法不如公式法簡便．因此，大家選用的方法主要是直接開平方法和公式法． 公式法是解一元二次方程的通法，有普遍的適用性，即可以解任何一個(gè)一元二次方程． 用公式法解一元二次方程，首先要把方程化為一般形式，從而正確地確定a、b、c的值；其次，通常應(yīng)先計(jì)算b2-4ac的值，然后求解． 一元二次方

8、程是不是只有這三種解法呢?有沒有其他的方法?今天我們就來進(jìn)一步探討一元二次方程的解法． Ⅱ．講授新課 [師]下面我們來看一個(gè)題．(出示投影片§2．4 B) 一個(gè)數(shù)的平方與這個(gè)數(shù)的3倍有可能相等嗎?如果相等，這個(gè)數(shù)是幾?你是怎樣求出來的? [師]大家先單獨(dú)求解，然后分組進(jìn)行討論、交流． [生甲]解這個(gè)題時(shí)，我先設(shè)這個(gè)數(shù)為x，根據(jù)題意，可得方程 x2=3x． 然后我用公式法來求解的． 解：由方程x2＝3x，得 x2-3x=0． 這里a=1，b=-3，c＝0. b2-4ac＝(-3)2-4×1×0

9、 ＝9>0． 所以x= 即x1=3，x2＝0． 因此這個(gè)數(shù)是0或3． [生乙]我也設(shè)這個(gè)數(shù)為x，同樣列出方程x2＝3x． 解：把方程兩邊同時(shí)約去x，得x＝3． 所以這個(gè)數(shù)應(yīng)該是3． [生丙]乙同學(xué)做錯(cuò)了，因?yàn)?的平方是0，0的3倍也是0．根據(jù)題意可知，這個(gè)數(shù)也可以是0． [師]對，這說明乙同學(xué)在進(jìn)行同解變形時(shí)，進(jìn)行的是非同解變形，因此丟掉了一個(gè)根．大家在解方程的時(shí)候，需要注意：利用同解原理變形方程時(shí)，在方程兩邊同時(shí)乘以或除以的數(shù)，必須保證它不等于0，否那么，變形就會(huì)錯(cuò)誤． 這個(gè)方程還有沒

10、有其他的解法呢? [生丁]我把方程化為一般形式后，發(fā)現(xiàn)這個(gè)等式的左邊有公因式x，這時(shí)可把x提 出來，左邊即為兩項(xiàng)的乘積．前面我們知道：兩個(gè)因式的乘積等于0，那么這兩個(gè)因式為零， 這樣，就把一元二次方程降為一元一次方程，此時(shí)，方程即可解． 解：x2-3x＝0， x(x-3)＝0， 于是x＝0，x-3＝0． ∴x1=0，x2=3 因此這個(gè)數(shù)是0或3． [師]噢，這樣也可以解一元二次方程，同學(xué)們想一想，行嗎? [生齊聲]行． [師]丁同學(xué)應(yīng)用的是：如果a×b＝0，那么a=0，b＝0，大家想一想，議一議．(出

11、示投影片§2．4 C) a×b＝0時(shí)，a=0和b=0可同時(shí)成立，那么x(x-3)=0時(shí)，x＝0和x-3＝0也能同時(shí)成立嗎? [生齊聲]不行． …… [師]那該如何表示呢? [師]好，這時(shí)我們可這樣表示： 如果a×b=0， 那么a＝0或b＝0 這就是說：當(dāng)一個(gè)一元二次方程降為兩個(gè)一元一次方程時(shí)，這兩個(gè)一元一次方程中間用的是“或〞，而不用“且〞． 所以由x(x-3)＝0得到x＝0和x-3＝0時(shí)，中間應(yīng)寫上“或〞字. 我們再來看丁同學(xué)解方程x2＝3x的方法，他是把方程的一邊變?yōu)?，而另一邊可以分解成兩個(gè)因式的乘積，然

12、后利用a×b＝0，那么a=0或b＝0，把一元二次方程變?yōu)橐辉淮畏匠蹋瑥亩蟪龇匠痰慕猓覀儼堰@種解一元二次方程的方法稱為分解因式法，即當(dāng)一元二次方程的一邊為0，而另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式的乘積時(shí)，我們就采用分解因式法來解一元二次方程． 因式分解法的理論根據(jù)是：如果兩個(gè)因式的積等于零，那么這兩個(gè)因式至少有一個(gè)等于零．如：假設(shè)(x+2)(x-3)＝0，那么x+2＝0或．x-3＝0；反之，假設(shè)x+2＝0或x-3＝0，那么一定有(x+2)(x-3)＝0．這就是說，解方程(x+2)(x-3)=0就相當(dāng)于解方程x+2＝0或x-3=0． 接下來我們看一例題．(出示投影片§2．4 D

13、) [例題]解以下方程： (1)5x2=4x；(2)x-2＝x(x-2)． [師]同學(xué)們能單獨(dú)做出來嗎? [生]能． [師]好，開始． [生甲]解方程(1)時(shí)，先把它化為一般形式，然后再分解因式求解． 解：原方程可變形為 5x2-4x＝0， x(5x-4)=0， x＝0或5x-4＝0． ∴x1=0，x2=． [生乙]解方程(2)時(shí)，因?yàn)榉匠痰淖蟆⒂覂蛇叾加?x-2)，所以可把(x-2)看作整體，然后移項(xiàng)，再分解因式求解． 解：原方程可變形為 x-2-x(x-2)＝0，

14、 (x-2)(1-x)＝0， x-2＝0或1-x=0． ∴x1＝2，x2=1． [生丙]老師，解方程(2)時(shí)，能否將原方程展開后，再求解呢? [師]能呀，只不過這樣的話會(huì)復(fù)雜一些，不如把(x-2)當(dāng)作整體簡便． 下面同學(xué)們來想一想，做一做．(出示投影片§ 2．4 E) 你能用分解因式法解方程x2-4＝0，(x+1)2-25=0嗎? [生丁]方程x2-4=0的右邊是0，左邊x2-4可分解因式，即x2-4=(x-2)(x+2)．這樣，方程x2-4＝0就可以用分解因式法來解，即 解：x2-4=0， (x+2)(x

15、-2)＝0， ∴x+2＝0或x-2=0． ∴x1=-2，x2=2． [生戊]方程(x+1)2-25＝0的右邊是0，左邊(x+1)2-25，可以把(x+1)看作整體，這樣左邊就是一個(gè)平方差，利用平方差公式即可分解因式，從而求出方程的解，即 解：(x+1)2-25＝0， [(x+1)+5][(x+1)-5]＝0． ∴(x+1)+5＝0， 或(x+1)-5＝0． ∴x1=-6，x2=4． [師]好，這兩個(gè)題實(shí)際上我們在剛上課時(shí)解過，當(dāng)時(shí)我們用的是開平方法，現(xiàn)在用的是因式分解法．由此可知：一個(gè)一元二次方程的解法可

16、能有多種，我們在選用時(shí)，以簡便為主． 好，下面我們通過練習(xí)來穩(wěn)固一元二次方程的解法． Ⅲ．課堂練習(xí) (一)課本P61隨堂練習(xí) 1、2 1．解以下方程： (1)(x+2)(x-4)＝0； (2)4x(2x+1)=3(2x+1)． 解：(1)由(x+2)(x-4)=0得 x+2＝0或x-4＝0。 ∴x1=-2，x2=4． (2)原方程可變形為 4x(2x+1)-3(2x+1)＝0， (2x+1)(4x-3)＝0， ∴2x+1＝0或4x-3＝0． ∴x1=-,x2=.

17、 2．一個(gè)數(shù)的平方的2倍等于這個(gè)數(shù)的7倍，求這個(gè)數(shù)． 解：設(shè)這個(gè)數(shù)為x，根據(jù)題意，得 2x2＝7x， 2x-7x＝0， x(2x-7)=0． ∴x＝0或2x-7＝0． ∴x1=0，x2＝． 因此這個(gè)數(shù)等于0或． (二)閱讀課本P59～P61，然后小結(jié)． Ⅳ．課時(shí)小結(jié) 我們這節(jié)課又學(xué)習(xí)了一元二次方程的解法——因式分解法．它是一元二次方程解法中應(yīng)用較為廣泛的簡便方法． Ⅴ．課后作業(yè) (一)課本P61習(xí)題2．7 1 (二)1.預(yù)習(xí)內(nèi)容：P62～P64 2．

18、預(yù)習(xí)提綱 如何列方程解應(yīng)用題． Ⅵ．活動(dòng)與探究 1．用分解因式法解：(x-1)(x+3)＝12． [過程]通過學(xué)生對這個(gè)題的探討、研究來提高學(xué)生的解題能力，養(yǎng)成良好的思考問題的習(xí)慣． [結(jié)果] 1．解：(x-1)(x+3)=12． x2+2x-3＝12， x2+2x-15＝0， (x+5)(x-3)＝0． ∴x+5＝0或x-3=0． ∴x1=-5，x2=3． 板書設(shè)計(jì) 21.2．5 分解因式法 一、解方程x2＝3x． 解：由方程x2＝3x得 x2-3x=0， 即x(x-3

19、)＝0． 于是x＝0或x-3＝0． 因此，x1＝0，x2＝3． 所以這個(gè)數(shù)是0或3． 二、例題 例：解以下方程； (1)5x2＝4x； (2)x-2＝x(x-2)． 三、想一想 四、課堂練習(xí) 五、課時(shí)小結(jié) 六、課后作業(yè) 備課資料 參考例題 例1：用分解因式法解以下方程： (1)(2x-5)2-2x+5=0； (2)4(2x-1)2＝9(x+4)2． 分析：方程(1)的左邊化為以(2x-5)為整體的形式，然后利用提取公因式來分解因式；方程(2)先移項(xiàng)，然后將(2x-1)和(x+4)看作整體，利用平方差公式分解因式． 解：(1)方程化為(2x-5)2-(2x-5)＝0， (2x-5)[(2x-5)-1]＝0． ∴2x-5＝0或(2x-5)-1＝0． ∴x1＝，x2＝3． (2)方程化為 4(2x-1)2-9(x+4)2＝0， [2(2x-1)+3(x+4)][2(2x-1)-3(x+4)]=0． ∴2(2x-1)+3(x+4)＝0， 2(2x-1)-3(x+4)＝0． ∴x1＝- ，x2=14． 歡迎下載