2022秋九年級數(shù)學上冊 第1章 一元二次方程1.2 一元二次方程的解法 5用因式分解法解一元二次方程教學設計（新版）蘇科版

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1、精品文檔 21．2.5 分解因式法 課時安排 1課時 沉著說課 分解因式法是解某些一元二次方程較為簡便且靈活的一種特殊方法．它是把一個一元二次方程化為兩個一元一次方程來解．表達了一種“降次〞的思想，這種思想在以后處理高次方程時非常重要． 這局部內容的根本要求是讓學生學會方法．本節(jié)的重、難點是利用分解因式法來解某些一元二次方程． 由于?標準?中降低了分解因式的要求，根據學生已有的分解因式知識，學生僅能解決形如“x(x-a)＝0”“x2-a2＝0”的特殊一元二次方程．所以在教學中，可以先出示一個較為簡單的方程，讓學生先各自求解，然后進行比擬與評析，發(fā)

2、現(xiàn)因式分解是解某些一元二次方程較為簡便的方法，從而引出分解因式法．其根本思想和方法是：一個一元二次方程一邊是零，而另一邊易于分解成兩個一次因式時，可以使每一個因式等于零，分別解兩個一元一次方程，得到的兩個解就是原一元二次方程的解．這種思想和方法是用分解因式法解一元二次方程的重點． 通過方法的比擬，力求讓學生根據方程的具體特征，靈活選取適當?shù)慕夥ǎ瑥亩寣W生體會解決問題的多樣性． 課 題 §21．2.5 分解因式法 教學目標 (一)教學知識點 1．應用分解因式法解一些一元二次方程． 2．能根據具體一元二次方程的特征，靈活選擇方程的解法

3、． (二)能力訓練要求 1．能根據具體一元二次方程的特征，靈活選擇方程的解法，體會解決問題方法的多樣性． 2．會用分解因式法(提公因式法、公式 法)解某些簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程． (三)情感與價值觀要求 通過學生探討一元二次方程的解法，使他們知道分解因式法是一元二次方程解法中應用較為廣泛的簡便方法，它防止了復雜的計算，提高了解題速度和準確程度．再之，體會“降次〞化歸的思想． 教學重點 應用分解因式法解一元二次方程． 教學難點 形如“x2＝ax〞的解法． 教學方法 啟發(fā)引導式歸納教學法． 教具準備

4、 投影片五張． 第一張：復習練習(記作投影片§2．4 A) 第二張：引例(記作投影片§2．4 B) 第三張；議一議(記作投影片§2．4C) 第四張：例題(記作投影片§2．4 D) 第五張：想一想(記作投影片§2．4 E) 教學過程 Ⅰ．巧設現(xiàn)實情景，引入新課 [師]到現(xiàn)在為止，我們學習了解一元二次方程的三種方法：直接開平方法、配方法、公式法，下面同學們來做一練習．(出示投影片§2．4 A) 解以下方程： (1)x2-4＝0； (2)x2-3x+1＝0； (3)(x+1)2-25＝0； (4)20x2+23x

5、-7＝0． [生]老師，解以上方程可不可以用不同的方法? [師]可以呀． [生甲]解方程(1)時，既可以用開平方法解，也可以用公式法來求解，就方程的特點， 我采用了開平方法，即 解：x2-4＝0， 移項，得x2＝4． 兩邊同時開平方，得 x＝±2． ∴x1＝2，x2=-2． [生乙]解方程(2)時，既可以用配方法來解，也可以用公式法來解，我采用了公式法，即 解：這里a＝1，b＝-3，c＝1． b2-4ac＝(-3)2-4×1×1 ＝5>0， ∴x= ∴x

6、1=，x2= [師]乙同學，你在解方程(2)時，為什么選用公式法，而不選配方法呢? [生乙]我覺得配方法不如公式法簡便． [師]同學們的意見呢? [生齊聲]同意乙同學的意見． [師]很好，繼續(xù)． [生丙]解方程(3)時，可以把(x+1)當作整體，這時用開平方法簡便，即 解：移項，得(x+1)2＝25． 兩邊同時開平方，得 x+1＝±5， 即x+1＝5，x+1＝-5． ∴x1=4，x2=-6 [生丁]解方程(4)時，我用的公式法求解，即 解：這里a＝20，b＝23，c

7、＝-7， b2-4ac＝232-4×20×(-7)＝1089＞0， ∴x＝. ∴x1= x2=-. [師]很好，由此我們知道：在已經學習的解一元二次方程的三種方法——直接開平方法、配方法、公式法中，直接開平方法只能解某些特殊形式的方程，配方法不如公式法簡便．因此，大家選用的方法主要是直接開平方法和公式法． 公式法是解一元二次方程的通法，有普遍的適用性，即可以解任何一個一元二次方程． 用公式法解一元二次方程，首先要把方程化為一般形式，從而正確地確定a、b、c的值；其次，通常應先計算b2-4ac的值，然后求解． 一元二次方

8、程是不是只有這三種解法呢?有沒有其他的方法?今天我們就來進一步探討一元二次方程的解法． Ⅱ．講授新課 [師]下面我們來看一個題．(出示投影片§2．4 B) 一個數(shù)的平方與這個數(shù)的3倍有可能相等嗎?如果相等，這個數(shù)是幾?你是怎樣求出來的? [師]大家先單獨求解，然后分組進行討論、交流． [生甲]解這個題時，我先設這個數(shù)為x，根據題意，可得方程 x2=3x． 然后我用公式法來求解的． 解：由方程x2＝3x，得 x2-3x=0． 這里a=1，b=-3，c＝0. b2-4ac＝(-3)2-4×1×0

9、 ＝9>0． 所以x= 即x1=3，x2＝0． 因此這個數(shù)是0或3． [生乙]我也設這個數(shù)為x，同樣列出方程x2＝3x． 解：把方程兩邊同時約去x，得x＝3． 所以這個數(shù)應該是3． [生丙]乙同學做錯了，因為0的平方是0，0的3倍也是0．根據題意可知，這個數(shù)也可以是0． [師]對，這說明乙同學在進行同解變形時，進行的是非同解變形，因此丟掉了一個根．大家在解方程的時候，需要注意：利用同解原理變形方程時，在方程兩邊同時乘以或除以的數(shù)，必須保證它不等于0，否那么，變形就會錯誤． 這個方程還有沒

10、有其他的解法呢? [生丁]我把方程化為一般形式后，發(fā)現(xiàn)這個等式的左邊有公因式x，這時可把x提 出來，左邊即為兩項的乘積．前面我們知道：兩個因式的乘積等于0，那么這兩個因式為零， 這樣，就把一元二次方程降為一元一次方程，此時，方程即可解． 解：x2-3x＝0， x(x-3)＝0， 于是x＝0，x-3＝0． ∴x1=0，x2=3 因此這個數(shù)是0或3． [師]噢，這樣也可以解一元二次方程，同學們想一想，行嗎? [生齊聲]行． [師]丁同學應用的是：如果a×b＝0，那么a=0，b＝0，大家想一想，議一議．(出

11、示投影片§2．4 C) a×b＝0時，a=0和b=0可同時成立，那么x(x-3)=0時，x＝0和x-3＝0也能同時成立嗎? [生齊聲]不行． …… [師]那該如何表示呢? [師]好，這時我們可這樣表示： 如果a×b=0， 那么a＝0或b＝0 這就是說：當一個一元二次方程降為兩個一元一次方程時，這兩個一元一次方程中間用的是“或〞，而不用“且〞． 所以由x(x-3)＝0得到x＝0和x-3＝0時，中間應寫上“或〞字. 我們再來看丁同學解方程x2＝3x的方法，他是把方程的一邊變?yōu)?，而另一邊可以分解成兩個因式的乘積，然

12、后利用a×b＝0，那么a=0或b＝0，把一元二次方程變?yōu)橐辉淮畏匠?，從而求出方程的解．我們把這種解一元二次方程的方法稱為分解因式法，即當一元二次方程的一邊為0，而另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時，我們就采用分解因式法來解一元二次方程． 因式分解法的理論根據是：如果兩個因式的積等于零，那么這兩個因式至少有一個等于零．如：假設(x+2)(x-3)＝0，那么x+2＝0或．x-3＝0；反之，假設x+2＝0或x-3＝0，那么一定有(x+2)(x-3)＝0．這就是說，解方程(x+2)(x-3)=0就相當于解方程x+2＝0或x-3=0． 接下來我們看一例題．(出示投影片§2．4 D

13、) [例題]解以下方程： (1)5x2=4x；(2)x-2＝x(x-2)． [師]同學們能單獨做出來嗎? [生]能． [師]好，開始． [生甲]解方程(1)時，先把它化為一般形式，然后再分解因式求解． 解：原方程可變形為 5x2-4x＝0， x(5x-4)=0， x＝0或5x-4＝0． ∴x1=0，x2=． [生乙]解方程(2)時，因為方程的左、右兩邊都有(x-2)，所以可把(x-2)看作整體，然后移項，再分解因式求解． 解：原方程可變形為 x-2-x(x-2)＝0，

14、 (x-2)(1-x)＝0， x-2＝0或1-x=0． ∴x1＝2，x2=1． [生丙]老師，解方程(2)時，能否將原方程展開后，再求解呢? [師]能呀，只不過這樣的話會復雜一些，不如把(x-2)當作整體簡便． 下面同學們來想一想，做一做．(出示投影片§ 2．4 E) 你能用分解因式法解方程x2-4＝0，(x+1)2-25=0嗎? [生丁]方程x2-4=0的右邊是0，左邊x2-4可分解因式，即x2-4=(x-2)(x+2)．這樣，方程x2-4＝0就可以用分解因式法來解，即 解：x2-4=0， (x+2)(x

15、-2)＝0， ∴x+2＝0或x-2=0． ∴x1=-2，x2=2． [生戊]方程(x+1)2-25＝0的右邊是0，左邊(x+1)2-25，可以把(x+1)看作整體，這樣左邊就是一個平方差，利用平方差公式即可分解因式，從而求出方程的解，即 解：(x+1)2-25＝0， [(x+1)+5][(x+1)-5]＝0． ∴(x+1)+5＝0， 或(x+1)-5＝0． ∴x1=-6，x2=4． [師]好，這兩個題實際上我們在剛上課時解過，當時我們用的是開平方法，現(xiàn)在用的是因式分解法．由此可知：一個一元二次方程的解法可

16、能有多種，我們在選用時，以簡便為主． 好，下面我們通過練習來穩(wěn)固一元二次方程的解法． Ⅲ．課堂練習 (一)課本P61隨堂練習 1、2 1．解以下方程： (1)(x+2)(x-4)＝0； (2)4x(2x+1)=3(2x+1)． 解：(1)由(x+2)(x-4)=0得 x+2＝0或x-4＝0。 ∴x1=-2，x2=4． (2)原方程可變形為 4x(2x+1)-3(2x+1)＝0， (2x+1)(4x-3)＝0， ∴2x+1＝0或4x-3＝0． ∴x1=-,x2=.

17、 2．一個數(shù)的平方的2倍等于這個數(shù)的7倍，求這個數(shù)． 解：設這個數(shù)為x，根據題意，得 2x2＝7x， 2x-7x＝0， x(2x-7)=0． ∴x＝0或2x-7＝0． ∴x1=0，x2＝． 因此這個數(shù)等于0或． (二)閱讀課本P59～P61，然后小結． Ⅳ．課時小結 我們這節(jié)課又學習了一元二次方程的解法——因式分解法．它是一元二次方程解法中應用較為廣泛的簡便方法． Ⅴ．課后作業(yè) (一)課本P61習題2．7 1 (二)1.預習內容：P62～P64 2．

18、預習提綱 如何列方程解應用題． Ⅵ．活動與探究 1．用分解因式法解：(x-1)(x+3)＝12． [過程]通過學生對這個題的探討、研究來提高學生的解題能力，養(yǎng)成良好的思考問題的習慣． [結果] 1．解：(x-1)(x+3)=12． x2+2x-3＝12， x2+2x-15＝0， (x+5)(x-3)＝0． ∴x+5＝0或x-3=0． ∴x1=-5，x2=3． 板書設計 21.2．5 分解因式法 一、解方程x2＝3x． 解：由方程x2＝3x得 x2-3x=0， 即x(x-3

19、)＝0． 于是x＝0或x-3＝0． 因此，x1＝0，x2＝3． 所以這個數(shù)是0或3． 二、例題 例：解以下方程； (1)5x2＝4x； (2)x-2＝x(x-2)． 三、想一想 四、課堂練習 五、課時小結 六、課后作業(yè) 備課資料 參考例題 例1：用分解因式法解以下方程： (1)(2x-5)2-2x+5=0； (2)4(2x-1)2＝9(x+4)2． 分析：方程(1)的左邊化為以(2x-5)為整體的形式，然后利用提取公因式來分解因式；方程(2)先移項，然后將(2x-1)和(x+4)看作整體，利用平方差公式分解因式． 解：(1)方程化為(2x-5)2-(2x-5)＝0， (2x-5)[(2x-5)-1]＝0． ∴2x-5＝0或(2x-5)-1＝0． ∴x1＝，x2＝3． (2)方程化為 4(2x-1)2-9(x+4)2＝0， [2(2x-1)+3(x+4)][2(2x-1)-3(x+4)]=0． ∴2(2x-1)+3(x+4)＝0， 2(2x-1)-3(x+4)＝0． ∴x1＝- ，x2=14． 歡迎下載