高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第八章 ：第八節(jié)曲線與方程突破熱點(diǎn)題型

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1、 第八節(jié)　圓錐曲線的綜合問題 考點(diǎn)一 圓錐曲線中的最值(或取值范圍)問題 　 [例1]　(2013新課標(biāo)全國卷Ⅱ)平面直角坐標(biāo)系xOy中，過橢圓M：＋＝1 (a>b>0)右焦點(diǎn)的直線x＋y－＝0交M于A，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為. (1)求M的方程； (2)C，D為M上的兩點(diǎn)，若四邊形ACBD的對(duì)角線CD⊥AB，求四邊形ACBD面積的最大值． [自主解答]　(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)， 則＋＝1，＋＝1，＝－1， 由此可得＝－＝1. 因?yàn)閤1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝， 所以a2＝2b2.

2、 又由題意知，M的右焦點(diǎn)為(，0)，故a2－b2＝3. 因此a2＝6，b2＝3. 所以M的方程為＋＝1. (2)由解得或 因此|AB|＝. 由題意可設(shè)直線CD的方程為 y＝x＋n， 設(shè)C(x3，y3)，D(x4，y4)． 由 得3x2＋4nx＋2n2－6＝0. 于是x3,4＝.[來源:] 因?yàn)橹本€CD的斜率為1， 所以|CD|＝|x4－x3|＝. 由已知，四邊形ACBD的面積 S＝|CD||AB|＝. 當(dāng)n＝0時(shí)，S取得最大值，最大值為. 所以四邊形ACBD面積的最大值為. 【互動(dòng)探究】 若本例的條件不變，則四邊形ACBD的面積有最小值嗎？若有，求出其值；

3、若沒有，說明理由． 解：由(2)可知3x2＋4nx＋2n2－6＝0， 又∵y＝x＋n與橢圓＋＝1相交， ∴Δ＝(4n)2－43(2n2－6)＝8(9－n2)>0， 即－3

4、(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍； (5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍． 2．圓錐曲線中常見最值問題及解題方法 (1)兩類最值問題：①涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題；②求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時(shí)確定與之有關(guān)的一些問題． (2)兩種常見解法：①幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；②代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，最值常用基本不等式法、配方法等求解. 已知?jiǎng)訄AC

5、過點(diǎn)A(1,0)，且與直線l0：x＝－1相切． (1)求動(dòng)圓圓心C的軌跡D的方程； (2)設(shè)圓心C的軌跡在x≤4的部分為曲線E，過點(diǎn)P(0,2)的直線l與曲線E交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，且＝λ (λ>1)，試求λ的取值范圍． 解：(1)設(shè)動(dòng)圓圓心C的坐標(biāo)為(x，y)，圓心C到直線l0的距離為d， 由題意可知|CA|＝d，故由拋物線的定義可知?jiǎng)訄A圓心C的軌跡D的方程為y2＝4x. (2)易知曲線E的方程為y2＝4x(x≤4)，顯然當(dāng)直線l的斜率為零或不存在時(shí)不符合題意， 故可設(shè)直線l的方程為y＝kx＋2(k≠0)． 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝λ (λ>1)知x1＝λx

6、2， 且01，所以λ的取值范圍是(1,9]． 考點(diǎn)二 定 點(diǎn) 問 題 　 [例2]　(2013陜西高考)已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A(4,0)，且在y軸上截得弦MN的長為8. (1)求動(dòng)圓圓心的

7、軌跡C的方程； (2)已知點(diǎn)B(－1,0)，設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明直線l過定點(diǎn)． [自主解答]　 (1)如圖，設(shè)動(dòng)圓圓心O1(x，y)，由題意，|O1A|＝|O1M|， 當(dāng)O1不在y軸上時(shí)，過O1作O1H⊥MN交MN于H，則H是MN的中點(diǎn)， ∴|O1M|＝， 又|O1A|＝， ∴＝， 化簡(jiǎn)得y2＝8x(x≠0)． 又當(dāng)O1在y軸上時(shí)，O1與O重合，點(diǎn)O1的坐標(biāo)(0,0)也滿足方程y2＝8x， ∴動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程為y2＝8x. (2)證明：由題意，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b(k≠0)， P(x1，y

8、1)，Q(x2，y2)， 將y＝kx＋b代入y2＝8x中，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0， 其中Δ＝－32kb＋64>0. 由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1＋x2＝，① x1x2＝，② 因?yàn)閤軸是∠PBQ的角平分線， 所以＝－，即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0， (kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0， 2kx1x2＋(k＋b)(x1＋x2)＋2b＝0，③ 將①②代入③，得 2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，∴k＝－b，此時(shí)Δ>0， ∴直線l的方程為y＝k(x－1)，∴直線l過定點(diǎn)(1,0)． 【方法規(guī)律】 圓錐曲線中定點(diǎn)問

9、題的兩種解法 (1)引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，找到定點(diǎn)． (2)特殊到一般法：根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān)． 　橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，該橢圓經(jīng)過點(diǎn)P且離心率為. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若直線l：y＝kx＋m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)(A，B不是左，右頂點(diǎn))，且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)，求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)． 解：(1)設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)， 由e＝＝，得a＝2c，∵a2＝b2＋c2，∴b2＝3c2， 則橢圓方程變?yōu)椋?/p>

10、1. 又橢圓過點(diǎn)P，將其代入求得c2＝1， 故a2＝4，b2＝3，即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 聯(lián)立 得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0， 則 又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝. ∵橢圓的右頂點(diǎn)為A2(2,0)，AA2⊥BA2， ∴(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0， ∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0. ∴＋＋＋4＝0. ∴7m2＋16mk＋4k2＝0. 解得m1＝－2k，m2＝－， 由①得3＋4k2－m2>0. 當(dāng)m1＝－2k時(shí)，

11、l的方程為y＝k(x－2)，直線過定點(diǎn)(2,0)，與已知矛盾． 當(dāng)m2＝－時(shí)，l的方程為y＝k，直線過定點(diǎn). ∴直線l過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為. 高頻考點(diǎn) 考點(diǎn)三 圓錐曲線中的定值問題　　[來源:] 1．圓錐曲線中的定值問題，是近幾年來高考命題的熱點(diǎn)，多以解答題的形式出現(xiàn)，試題難度較大，多為高檔題． 2．高考中關(guān)于圓錐曲線中的定值問題有以下幾個(gè)命題角度： (1)求代數(shù)式為定值； (2)求點(diǎn)到直線的距離為定值； (3)求某線段長為定值． [例3]　(2013江西高考)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，a＋b＝3. (1)求橢圓C的方程； (2)

12、如圖所示，A，B，D是橢圓C的頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線DP交x軸于點(diǎn)N，直線AD交BP于點(diǎn)M，設(shè)BP的斜率為k，MN的斜率為m.證明：2m－k為定值． [自主解答]　(1)因?yàn)閑＝＝，所以a＝c，b＝c. 代入a＋b＝3，得c＝，a＝2，b＝1. 故橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)證明：法一：因?yàn)锽(2,0)，P不為橢圓頂點(diǎn)，則直線BP的方程為y＝k(x－2)，① 把①代入＋y2＝1，解得P. 直線AD的方程為：y＝x＋1.② ①與②聯(lián)立解得M. 由D(0,1)，P，N(x,0)三點(diǎn)共線知 ＝，解得N. 所以MN的斜率為 m＝＝＝， 則2m－k＝－k

13、＝(定值)． 法二：設(shè)P(x0，y0)(x0≠0，x0≠2)，則k＝， 直線AD的方程為：y＝(x＋2)， 直線BP的方程為：y＝(x－2)， 直線DP的方程為：y－1＝x，令y＝0，由于y0≠1，可得N 聯(lián)立 解得M， 因此MN的斜率為 m＝[來源:] ＝ ＝ ＝， 所以2m－k＝－ ＝ ＝ ＝ ＝(定值)． 圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略 (1)求代數(shù)式為定值．依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡(jiǎn)即可得出定值； (2)求點(diǎn)到直線的距離為定值．利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡(jiǎn)、變形求得； (

14、3)求某線段長度為定值．利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)、變形即可求得． 如圖所示，已知點(diǎn)A(1，)是離心率為的橢圓C：＋＝1(a>b>0)上的一點(diǎn)，斜率為的直線BD交橢圓C于B、D兩點(diǎn)，且A、B、D三點(diǎn)不重合． (1)求橢圓C的方程； (2)△ABD的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由； (3)求證：直線AB、AD斜率之和為定值．[來源:] 解：(1)由題意，可得e＝＝，＋＝1，a2＝b2＋c2， 解得a＝2，b＝，c＝，所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)設(shè)直線BD的方程為y＝x＋m，D(x1，y1)，B(x2，y2)

15、， 由得4x2＋2mx＋m2－4＝0， 所以Δ＝－8m2＋64>0，則－2

16、AD斜率之和為定值． ——————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————————— 2種方法——求定值問題常見的兩種方法 　(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)； (2)直接推理、計(jì)算，并在此過程中消去變量，從而得到定值． 4個(gè)重視——求定值、最值等圓錐曲線綜合問題要四重視 　(1)重視定義在解題中的作用； (2)重視平面幾何知識(shí)在解題中的作用； (3)重視根與系數(shù)的關(guān)系在解題中的作用； (4)重視曲線的幾何特征與方程的代數(shù)特征在解題中的作用． 5方面考慮——求最值(或范圍)問題需從以下五方面考慮 　見本節(jié)考點(diǎn)一[方法規(guī)律]． (1)利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍； (2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系； (3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍； (4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍； (5)利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．s