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1、
理科第18周 空間向量的數(shù)量積、空間向量坐標(biāo)運(yùn)算
核心知識(shí)
1、空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律
(1)數(shù)量積及相關(guān)概念
①兩向量的夾角
已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b.
②兩向量的數(shù)量積
已知空間兩個(gè)非零向量a，b則|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的數(shù)量積，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律
①結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交換律：a·
2、b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
2、基本定理
(1)共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量a、b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.
(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線，p與向量a，b共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)x，y使p＝xa＋yb.
(3)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc.
3、空間向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算
(1)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算
設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
則①a±
3、b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)；
②λa＝(λa1，λa2，λa3)；
③a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.
(2)共線與垂直的坐標(biāo)表示
設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
則a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，
a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均為非零向量)．
(3)模、夾角和距離公式
設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
則|a|＝＝，
cos〈a，b〉＝＝.
設(shè)A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c
4、2)，
則dAB＝||＝.
自我測(cè)評(píng)
1．在空間四邊形ABCD中，·＋·＋·＝________.
解析 如圖，設(shè)＝a，＝b，＝c，
·＋·＋·
＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝0
2．兩不重合直線l1和l2的方向向量分別為v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，則l1與l2的位置關(guān)系是________.
解析 ∵v2＝－2v1，∴v1∥v2.
3．已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，則下列結(jié)論正確的是( )．
A．a(chǎn)∥c，b∥c B．a(chǎn)∥b，a⊥c
C．a(chǎn)∥c，a⊥b D．以上都不對(duì)
解析 ∵c＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)＝2a，∴a∥c，
又a·b＝－2×2＋(－3)×0＋1×4＝0，∴a⊥b.
答案 C
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高一數(shù)學(xué)上學(xué)期周清 第18周 空間向量的數(shù)量積、空間向量坐標(biāo)運(yùn)算 理
