浙江高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)練習(xí)：專題限時(shí)集訓(xùn)12 圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì) Word版含答案

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1、專題限時(shí)集訓(xùn)(十二)　 圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì) (對應(yīng)學(xué)生用書第141頁) [建議A、B組各用時(shí)：45分鐘] [A組　高考達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，曲線y＝(k＞0)與C交于點(diǎn)P，PF⊥x軸，則k＝(　　) A.　　　　 B．1　　　　 C.　　　　 D．2 D　[∵y2＝4x，∴F(1,0)． 又∵曲線y＝(k＞0)與C交于點(diǎn)P，PF⊥x軸， ∴P(1,2)． 將點(diǎn)P(1,2)的坐標(biāo)代入y＝(k＞0)得k＝2.故選D.] 2．過點(diǎn)A(0,1)作直線，與雙曲線x2－＝1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則符合條件的直線的條數(shù)為(

2、　　) A．0　　　　 B．2 C．4　　　　 D．無數(shù) C　[過點(diǎn)A(0,1)和雙曲線的漸近線平行的直線和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有兩條，過點(diǎn)A(0,1)和雙曲線相切的直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線也有兩條，故共四條直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．] 3．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2x＋y＝0垂直，則雙曲線的方程為(　　) A.－y2＝1 B．x2－＝1 C.－＝1 D.－＝1 A　[由焦距為2得c＝.因?yàn)殡p曲線的一條漸近線與直線2x＋y＝0垂直，所以＝. 又c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝

3、1， 所以雙曲線的方程為－y2＝1.] 4．設(shè)點(diǎn)P是橢圓＋＝1(a＞b＞0)上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，I為△PF1F2的內(nèi)心，若S△IPF1＋S△IPF2＝2S△IF1F2，則該橢圓的離心率為 (　　) A. B. C. D. A　[因?yàn)镾△IPF1＋S△IPF2＋S△IF1F2＝S△PF1F2，所以3S△IF1F2＝S△PF1F2，設(shè)△PF1F2內(nèi)切圓的半徑為r，則有×2c×r＝×(|PF1|＋|PF2|＋2c)×r，整理得|PF1|＋|PF2|＝4c，即2a＝4c，所以e＝.] 5．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0

4、)的離心率為.雙曲線x2－y2＝1的漸近線與橢圓C有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：68334127】 A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 D　[橢圓的離心率e＝＝＝， 所以a＝2b. 所以橢圓方程為x2＋4y2＝4b2. 因?yàn)殡p曲線x2－y2＝1的漸近線方程為x±y＝0， 所以漸近線x±y＝0與橢圓x2＋4y2＝4b2在第一象限的交點(diǎn)為， 所以由圓錐曲線的對稱性得四邊形在第一象限部分的面積為b×b＝4， 所以b2＝5，所以a2＝4b2＝20. 所以橢圓C的方

5、程為＋＝1.故選D.] 二、填空題 6．雙曲線M：x2－＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，記|F1F2|＝2c，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，c為半徑的圓與雙曲線M在第一象限的交點(diǎn)為P，若|PF1|＝c＋2，則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為________． 　[根據(jù)雙曲線的定義知|PF1|－|PF2|＝2，又|PF1|＝c＋2，所以|PF2|＝c，由勾股定理得(c＋2)2＋c2＝4c2，即c2－2c－2＝0，解得c＝＋1，根據(jù)△OPF2是等邊三角形得P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.] 7．已知F1，F(xiàn)2為＋＝1的左、右焦點(diǎn)，M為橢圓上一點(diǎn)，則△MF1F2內(nèi)切圓的周長等于3π，若滿足條件的點(diǎn)M恰好有2個(gè)，則a2＝______

6、__. 【導(dǎo)學(xué)號：68334128】 25　[由題意得內(nèi)切圓的半徑等于，因此△MF1F2的面積為××(2a＋2c)＝，即＝×|yM|×2c，因?yàn)闈M足條件的點(diǎn)M恰好有2個(gè)，所以M為橢圓短軸端點(diǎn)，即|yM|＝4，所以3a＝5c而a2－c2＝16，所以a2＝25.] 8．(2017·紹興一中高考考前適應(yīng)性考試)設(shè)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過拋物線上一點(diǎn)A作l的垂線，垂足為B.設(shè)C，AF與BC相交于點(diǎn)E.若|CF|＝2|AF|，且△ACE的面積為3，則p的值為________． 　[由拋物線y2＝2px可得F，則|

7、CF|＝－＝3p，又|CF|＝2|AF|，則|AF|＝，由拋物線的定義得|AB|＝|AF|＝，所以xA＝p，則|yA|＝p.由CF∥AB得△ABE∽△FCE，從而得＝＝＝2，所以S△CEF＝2S△CEA＝6，S△ACF＝S△AEC＋S△CFE＝9，所以×3p×p＝9，解得p＝. ] 三、解答題 9．(2017·溫州市普通高中高考模擬考試)已知A，B，C是拋物線y2＝2px(p＞0)上三個(gè)不同的點(diǎn)，且AB⊥AC. (1)若A(1,2)，B(4，－4)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)； (2)若拋物線上存在點(diǎn)D，使得線段AD總被直線BC平分，求點(diǎn)A的坐標(biāo)． 圖12&

8、#173;5 [解]　(1)∵A(1,2)在拋物線上， ∴p＝2. 2分 設(shè)C，則由kABkAC＝－1，得t＝6， 即C(9,6). 4分 (2)設(shè)A(x0，y0)，B，C， 則直線BC的方程為(y1＋y2)y＝2px＋y1y2， 6分 由kABkAC＝·＝－1， 得y0(y1＋y2)＋y1y2＋y＝－4p2， 8分 代入直線BC的方程，得(y1＋y2)(y＋y0)＝2p(x－2p－x0)， 故直線BC恒過點(diǎn)E(x0＋2p，－y0)， 因此直線AE的方程為y＝－(x－x0)＋y0， 10分 代入拋物線的方程y2＝2px(p＞0)， 得點(diǎn)D的坐標(biāo)為

9、. 因?yàn)榫€段AD總被直線BC平分， 所以 13分 解得x0＝，y0＝±p 即點(diǎn)A的坐標(biāo)為. 15分 10．已知橢圓E：＋＝1的焦點(diǎn)在x軸上，A是E的左頂點(diǎn)，斜率為k(k>0)的直線交E于A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MA⊥NA. (1)當(dāng)t＝4，|AM|＝|AN|時(shí)，求△AMN的面積； (2)當(dāng)2|AM|＝|AN|時(shí)，求k的取值范圍． [解]　設(shè)M(x1，y1)，則由題意知y1>0. (1)當(dāng)t＝4時(shí)，E的方程為＋＝1，A(－2,0). 2分 由已知及橢圓的對稱性知，直線AM的傾斜角為. 因此直線AM的方程為y＝x＋2. 將x＝y(tǒng)－2代入＋＝1得7y2

10、－12y＝0. 解得y＝0或y＝，所以y1＝. 4分 因此△AMN的面積S△AMN＝2×××＝. 5分 (2)由題意t＞3，k＞0，A(－，0)． 將直線AM的方程y＝k(x＋)代入＋＝1得 (3＋tk2)x2＋2·tk2x＋t2k2－3t＝0. 由x1·(－)＝得x1＝， 故|AM|＝|x1＋|＝. 7分 由題設(shè)，直線AN的方程為y＝－(x＋)， 故同理可得|AN|＝. 由2|AM|＝|AN|得＝， 即(k3－2)t＝3k(2k－1)． 當(dāng)k＝時(shí)上式不成立，因此t＝. 9分 t＞3等價(jià)于＝＜0， 即＜0. 1

11、1分 由此得或 解得＜k＜2. 因此k的取值范圍是(，2). 15分 [B組　名校沖刺] 一、選擇題 1．(2017·湖州調(diào)測)已知點(diǎn)A是拋物線C：x2＝2py(p＞0)上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若以點(diǎn)M(0,8)為圓心，|OA|的長為半徑的圓交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，且△ABO為等邊三角形，則p的值是(　　) A.　　　　 B．2 C．6　　　　 D. D　[由題意知|MA|＝|OA|，所以點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，又△ABO為等邊三角形，所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，又點(diǎn)A是拋物線C上一點(diǎn)，所以＝2p×4，解得p＝.] 2．已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程為＋＝1，隨

12、著a的增大該橢圓的形狀 (　　) A．越接近于圓 B．越扁 C．先接近于圓后越扁 D．先越扁后接近于圓 D　[由題意知4a＞a2＋1且a＞0，解得2－＜a＜2＋，又e2＝1－＝1－＝1－.因此當(dāng)a∈(2－，1)時(shí)，e越來越大，當(dāng)a∈(1,2＋)時(shí)，e越來越小，故選D.] 3．已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，對于左支上任意一點(diǎn)P都有|PF2|2＝8a|PF1|(a為實(shí)半軸)，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：68334129】 A．(1，＋∞) B．(2,3] C．(1,3] D．(1,2] C　[由P是雙曲線左支上任

13、意一點(diǎn)及雙曲線的定義，得|PF2|＝2a＋|PF1|，所以＝|PF1|＋＋4a＝8a，所以|PF1|＝2a，|PF2|＝4a，在△PF1F2中，|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，即2a＋4a≥2a，所以e＝≤3.又e＞1，所以1＜e≤3.故選C.] 4．(2017·嘉興調(diào)測)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，已知點(diǎn)A，B為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠AFB＝120°.過弦AB的中點(diǎn)M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MN，垂足為N，則的最大值為(　　) A.　　　　 B．1 C.　　　　 D．2 A　[設(shè)AF＝a，BF＝b，由余弦定理得|AB|2＝a2＋b2－2

14、abcos 120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab≥(a＋b)2－2＝(a＋b)2.∵a＋b＝AF＋BF＝2MN， ∴|AB|2≥|2MN|2，∴≤.] 二、填空題 5．設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若|AF1|＝3|F1B|，且AF2⊥x軸，則b2＝________. 　[由題意F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，AF2⊥x軸，∴|AF2|＝b2，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(c，b2)，設(shè)B(x，y)， 則|AF1|＝3|F1B|，∴(－c－c，－b2)＝3(x＋c，y)，∴B，代入橢圓方程可得2＋＝1.∵1＝b2

15、＋c2，∴b2＝.] 6．(2017·杭州學(xué)軍中學(xué)高三模擬)已知拋物線y＝x2和直線l：y＝kx＋m(m＞0)交于兩點(diǎn)A，B，當(dāng)·＝2時(shí)，直線l過定點(diǎn)________；當(dāng)m＝________時(shí)，以AB為直徑的圓與直線y＝－相切． (0,2)　　[設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，聯(lián)立方程y＝x2與y＝kx＋m，消去y得x2－kx－m＝0，則x1＋x2＝k，x1x2＝－m?、? 所以y1y2＝m2，y1＋y2＝k2＋2m?、? 又·＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝2，所以m2－m－2＝0，又m＞0，所以m＝

16、2，則直線的方程為y＝kx＋2，故過定點(diǎn)(0,2)．以AB為直徑的圓與直線y＝－相切，故滿足方程2＝＝，將①②代入，得4m2－2m＋＝0，解得m＝.] 三、解答題 7．如圖12­6，橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B，且|AB|＝|BF|. 圖12­6 (1)求橢圓C的離心率； (2)若點(diǎn)M在橢圓C內(nèi)部，過點(diǎn)M的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，M為線段PQ的中點(diǎn)，且OP⊥OQ.求直線l的方程及橢圓C的方程． 【導(dǎo)學(xué)號：68334130】 [解]　(1)由已知|AB|＝|BF|，即＝a， 2分 4a2＋4b

17、2＝5a2,4a2＋4(a2－c2)＝5a2， ∴e＝＝. 4分 (2)由(1)知a2＝4b2，∴橢圓C：＋＝1.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由＋＝1，＋＝1， 可得＋＝0， 即＋＝0， 即＋(y1－y2)＝0，從而kPQ＝＝2， 6分 ∴直線l的方程為y－＝2，即2x－y＋2＝0. 8分 由?x2＋4(2x＋2)2－4b2＝0，即17x2＋32x＋16－4b2＝0， 9分 Δ＝322＋16×17(b2－4)＞0?b＞，x1＋x2＝－，x1x2＝. 11分 ∵OP⊥OQ，∴·＝0，即x1x2＋y1y2＝0， x1x2＋(

18、2x1＋2)(2x2＋2)＝0,5x1x2＋4(x1＋x2)＋4＝0， 13分 從而－＋4＝0，解得b＝1，橢圓C的方程為＋y2＝1. 15分 8．已知拋物線C：y2＝2x的焦點(diǎn)為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P，Q兩點(diǎn)． (1)若F在線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明：AR∥FQ； (2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求AB中點(diǎn)的軌跡方程． [解]　由題意知F.設(shè)l1：y＝a，l2：y＝b，則ab≠0，且A，B，P，Q，R. 記過A，B兩點(diǎn)的直線為l， 則l的方程為2x－(a＋b)y＋ab＝0. 2分 (1)由于F在

19、線段AB上，故1＋ab＝0. 記AR的斜率為k1，F(xiàn)Q的斜率為k2，則 k1＝＝＝＝＝－b＝k2. 所以AR∥FQ. 4分 (2)設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為D(x1,0)， 則S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a|， S△PQF＝. 6分 由題設(shè)可得2×|b－a|＝， 8分 所以x1＝0(舍去)或x1＝1. 設(shè)滿足條件的AB的中點(diǎn)為E(x，y)． 當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)， 9分 由kAB＝kDE可得＝(x≠1)． 而＝y(tǒng)，所以y2＝x－1(x≠1). 11分 當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，E與D(1,0)重合． 所以，所求軌跡方程為y2＝x－1. 15分