中考數(shù)學(xué)真題類編 知識點(diǎn)026直角三角形、勾股定理及逆定理

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1、△+△數(shù)學(xué)中考教學(xué)資料2019年編△+△ 一、選擇題 1. （ 2016安徽，10，4分）如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC,AB=6，BC=4.P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)懂點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠PBC.則線段CP長的最小值為（ ） A. B.2 C. D. 【答案】B. 【逐步提示】先根據(jù)三角形內(nèi)角和和已知條件求出∠APB=900,并根據(jù)圓周角定理判斷出動點(diǎn)P的活動軌跡，把問題轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)與圓上動點(diǎn)的最值問題，最后根據(jù)勾股定理即可求解. 【詳細(xì)解答】解：如圖，∵AB⊥BC,∴∠ABP+∠CBP=900,∵∠CBP=∠BAP,∴∠AB

2、P+∠BAP=900,∴∠APB=900,∴點(diǎn)P在以AB為直徑的⊙E落在△ABC內(nèi)部的部分，當(dāng)點(diǎn)C,P,E在一條直線上時(shí)，CP取最小值，此時(shí)由勾股定理得CE==5，CP=CE-PE=5-3=2.，故選擇B . 【解后反思】在動態(tài)問題中求兩點(diǎn)之間距離的最值問題，一般應(yīng)先確定動點(diǎn)的活動規(guī)律，再運(yùn)用相關(guān)知識求解，此類問題與圓結(jié)合的較多. 【關(guān)鍵詞】最值問題，圓的性質(zhì)，勾股定理，動態(tài)問題 2. （ 2016江蘇省連云港市，7，3分）如圖1，分別以直角三角形三邊為邊向外作等邊三角形，面積分別為、、；如圖2，分別以直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，三邊長為半徑向外作圓心角相等的扇形，面積分別為、、．其中

3、，，，，則 A． B． C． D． 【答案】C 【逐步提示】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，找出這些面積之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)等邊三角形的面積公式和扇形的面積公式，得出，，之間的關(guān)系以及，，之間的關(guān)系，最后可得出結(jié)論． 【詳細(xì)解答】解：設(shè)直角三角形的三邊長為a，b，c；則，，，∵，∴； 設(shè)圖2中的扇形的圓心角為，則，，，同樣得到，∴，故選擇C ． 【解后反思】由于等邊三角形的面積是與邊長的平方成正比例的，扇形在圓心角相同的情形下也是與半徑即邊長的平方成正比例的，而勾股定理又是與邊長的平方有關(guān)的，于是可得出以及之間的關(guān)系，從而使問題得以

4、解決． 【關(guān)鍵詞】勾股定理；等邊三角形的面積；扇形的面積；； 3. （2016江蘇省無錫市，10，3分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90，∠ABC＝30，AC＝2，△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△A1B1C，當(dāng)A1落在AB邊上時(shí)，連接B1B，取BB1的中點(diǎn)D，連接A1D，則A1D的長度是（ ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【逐步提示】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理以及中位線等，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造出求A1D邊長所需的直角三角形，本題的思路是要求A1D的長度，過點(diǎn)D作DE⊥A1B，求出A1E和DE，利用勾股定理可求出A1D的長度

5、，可先證明△ACA1、△BCB1為等邊三角形，再利用中位線和等邊三角形的性質(zhì)求出A1E和DE的長． 【詳細(xì)解答】解：∵∠C＝90，∠ABC＝30，AC＝2，∴∠A＝60，AB＝4， ∵CA＝CA1，∴△ACA1為等邊三角形，∴∠A1CA＝∠CA1B1＝60，AA1＝2， ∴A1B1∥AC，∴A1F是△ABC的中位線，即A1F＝AC＝1， ∵∠A1CB1＝∠ACB＝90，∴∠BCB1＝∠ACA1＝60， ∵CB＝CB1，∴△BCB1為等邊三角形，∵F為BC中點(diǎn)， ∴B1F為等邊△BCB1的高，∴B1F＝＝3， 過點(diǎn)D作DE⊥A1B，∵D為BB1的中點(diǎn)，DE∥BF，∴E為B1F的中點(diǎn)

6、， ∴EF＝1.5，DE＝BF＝， 在Rt△A1DE中，A1D＝＝，故選擇A . E F 【解后反思】本題解題思路，求“斜”線長，常考慮構(gòu)造直角三角形，本題有兩個(gè)中點(diǎn)，點(diǎn)A1和點(diǎn)D，與中點(diǎn)想中位線也是常用思路，總之本題綜合了好幾個(gè)知識點(diǎn)，平時(shí)多積累解題經(jīng)驗(yàn)特別重要． 【關(guān)鍵詞】勾股定理；等邊三角形的性質(zhì)；中位線；旋轉(zhuǎn)；轉(zhuǎn)化思想；好題； 4. （2016江蘇省宿遷市，7，3分）如圖，把正方形紙片ABCD沿對邊中點(diǎn)所在的直線對折后展開，折痕為MN，再過點(diǎn)B折疊紙片，使點(diǎn)A落在MN上的點(diǎn)F處，折痕為BE．若AB的長為2，則FM的長為（ ） A．2

7、 B． C． D．1 （第7題圖） 【答案】B 【逐步提示】根據(jù)翻折前后對應(yīng)的線段相等，可以知道AB=BF，又M為BC中點(diǎn)，故BM=1，在直角△BMF中，利用勾股定理即可求出FM的長． 【詳細(xì)解答】 解：∵四邊形ABCD是正方形 ∴AB=BC=2 ∵M(jìn)、N是一組對邊的中點(diǎn) ∴ MN⊥BC，且BM=1 ∵△BEF是由△BEA翻折得到的， ∴AB=BF 在Rt△BFM中，F(xiàn)M=，故選擇B ． 【解后反思】折疊問題是屬于軸對稱變換，折疊后圖形的形

8、狀和大小不變，三角形折疊后得到的三角形與原三角形全等，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等。勾股定理是求線段長度的常用方法，當(dāng)在一個(gè)直角三角形中知道關(guān)于邊的兩個(gè)條件，即可使用勾股定理求出直角三角形的各邊長，要熟練掌握． 【關(guān)鍵詞】 正方形的性質(zhì)；翻折；勾股定理；； 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 二、填

9、空題 1. （ 2016安徽，14，5分）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=10.點(diǎn)E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C恰落在邊AD上的點(diǎn)F處；點(diǎn)G在AF上，將△ABG沿BG折疊，點(diǎn)A恰落在線段BF上的點(diǎn)H處.有下列結(jié)論：①∠EBG=450；②△DEF∽△ABG；③S△ABG=S△FGH；④AG+DF=FG.其中正確的是 （把所有正確結(jié)論的序號都選上） 【答案】①③④. 【逐步提示】由折疊得到相等的角和相等的線段，結(jié)合矩形的性質(zhì)可求∠EBG的度數(shù)；在Rt△DEF和Rt△FGH中根據(jù)勾股定理建立方程分別求出DE,GH,FG的長，根據(jù)相似三角形的判定方法對②進(jìn)行

10、判斷，根據(jù)三角形面積公式對③進(jìn)行判斷.④可以根據(jù)各線段的長度直接進(jìn)行判斷. 【詳細(xì)解答】解：由折疊知∠ABG=∠FBG,∠FBE=∠CBE,∴∠EBG=∠ABC=450,①正確；又BC=BF=10，由勾股定理求得AF==8，DF=2，設(shè)CE=EF=x,由勾股定理得x2=22+(6-x)2,x=,DE=;又AB=BH=6，HF=4，設(shè)AG=GH=y,由勾股定理y2+42=(8-y)2,y=3,GF=5，∵,∴△DEF與△ABG不相似，②錯(cuò)誤；S△ABG=，S△FGH==6，故③正確；AG+DF=3+2=5=FG,④正確，故答案為①③④. 【解后反思】1.凡涉及到折疊的問題，我們都找到其中的相

11、等的角和相等的邊；2.在直角三角形中，根據(jù)勾股定理若能建立關(guān)于一個(gè)未知數(shù)的方程，那么這個(gè)直角三角形的三邊的長就可以分別求出來，這是我們解決直角三角形問題時(shí)常用的方法之一. 【關(guān)鍵詞】 折疊問題，勾股定理，相似三角形的判定，矩形的性質(zhì)，三角形的面積 2. （ 2016甘肅省天水市，16，4分）如圖，把一個(gè)矩形紙片OABC放入平面直角坐標(biāo)系中，使OA，OC分別落在x軸，y軸上，連結(jié)OB，將紙片OABC沿OB翻折，點(diǎn)A落在A′位置，若OB＝，tan∠BOC＝，則A′的坐標(biāo)為______． x O C B A A′ y 【答案】(－，)． 【逐步提示】本題是坐標(biāo)系中的圖形折疊

12、問題，考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，主要涉及軸對稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識以及勾股定理的靈活運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是過點(diǎn)A′作A′E⊥OC于點(diǎn)E，將問題轉(zhuǎn)化為求線段A′E和OE的長，然后根據(jù)第二象限的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到點(diǎn)A′的坐標(biāo)．其中最關(guān)鍵的是求線段A′E和OE的長．先根據(jù)OB＝，tan∠BOC＝，求出BC＝1，OC＝2．再設(shè)OC與A′B交于點(diǎn)F，由折疊及矩形的性質(zhì)可證FO＝FB．然后設(shè)OF＝x，得FB＝x，CF＝2－x，進(jìn)而在Rt△BCF中運(yùn)用勾股定理構(gòu)建方程求出x值，得到線段OF的長．最后，在Rt△OA′F中，結(jié)合A′E是斜邊OF上的高及折疊產(chǎn)生的OA′＝OA＝1，綜合運(yùn)用勾定理及面

13、積的不同表示方法就可求得A′E和OE的長． 【詳細(xì)解答】解：如圖，過點(diǎn)A′作A′E⊥OC于點(diǎn)E，設(shè)OC與A′B交于點(diǎn)F． x O C B A A′ y E F ∵OB＝，tan∠BOC＝＝， ∴BC＝1，OC＝2． ∵四邊形OABC是矩形， ∴∠OAB＝90，AB∥OC，OA＝BC＝1． ∴∠OBA＝∠FOB． 由折疊，知∠OBA＝∠FBO， ∴∠FOB＝∠FBO． ∴FO＝FB． 設(shè)OF＝x，則FB＝x，CF＝OC－OF＝2－x． 在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC2＋CF2＝FB2， ∴12＋(2－x)2＝x2，解得x＝，∴OF＝． 又由折

14、疊，知OA′＝OA＝1，∠OA′F＝∠OAB＝90， ∴A′F＝＝＝． ∴S△OA′F＝OA′A′F＝OFA′E， ∴1＝A′E，解得A′E＝． 又在Rt△OA′E中，OE＝＝＝． ∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)是(－，)． 故答案為(－，)． 【解后反思】本題還可以從相似三角形的角度思考解決．如在求出OF＝BF＝后，可得CF＝OC－OF＝2－＝，然后通過證明△OA′E∽△BFC，產(chǎn)生相似比＝＝，得到＝＝，從而求出線段A′E和OE的長．這類沿著矩形對角線翻折的矩形折疊問題中，“等腰三角形△FOB”是一個(gè)基本圖形結(jié)構(gòu)，必須熟識并掌握其證明方法． 【關(guān)鍵詞】矩形的性質(zhì)；軸對稱變換；銳角三角函數(shù)的定

15、義；勾股定理；在坐標(biāo)系中求解幾何圖形中點(diǎn)的坐標(biāo)；方程思想；數(shù)形結(jié)合思想；面積法． 3. （ 2016湖北省十堰市，14，3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2cm,AD=4cm,AC⊥BC,則△DBC比△ABC的周長長__________cm. 【答案】4 【逐步提示】本題屬于平面幾何的計(jì)算題，主要涉及到平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的周長等；解題的關(guān)鍵是△DBC比△ABC的周長長等于BD-AC;解題的思路是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理，分別表示出△DBC的周長與△ABC的周長，找出BD-AC的值即可. 【詳細(xì)解答】解： 如圖，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)F,因?yàn)锳B=2cm

16、,AD=4cm,AC⊥BC，所以 AC=;因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD中，所以，AF=FC,BF=DF; BF=, BD=10;因?yàn)椤鱀BC的周長=BD+BC+CD=10+AB,△ABC的周長=AB+BC+6,所以△DBC比△ABC的周長長4. F 【解后反思】平行四邊形的對邊相等和對角線互相平分、勾股定理是初中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)，但是，求出△DBC比△ABC的周長長等于BD-AC，卻是一個(gè)難點(diǎn)，需要應(yīng)用整體的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行處理.解法拓展：本題也可以過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，用勾股定理計(jì)算后完成. 【關(guān)鍵詞】勾股定理; 平行四邊形的性質(zhì); 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

17、 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 三、解答題 1. （ 2016甘肅省天水市，25，10分）（1）（3分）如圖1，已知△ABC，以AB、AC為邊分別向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，連結(jié)BE、CD，請你完成圖形（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡），并證明：BE＝CD； （2）（3分）如圖2，已知△ABC，以AB、AC為邊分別向

18、外作正方形ABFD和正方形ACGE，連結(jié)BE、CD，猜想BE與CD有什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由； （3）（4分）運(yùn)用（1），（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識，完成下題： 如圖3，要測量池塘兩岸相對的兩點(diǎn)B、E的距離，已經(jīng)測得∠ABC＝45，∠CAE＝90，AB＝BC＝100米，AC＝AE，求BE的長（結(jié)果保留根號）． 圖1 圖2 圖3 【逐步提示】本題是一道幾何綜合問題，考查了尺規(guī)作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形、等腰直角三角形以及正方形的性質(zhì)，勾股定理．解題的關(guān)鍵是（1）分別以A、B為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)D，連接AD，BD，同理連接AE，CE，即得圖形．再利

19、用“SAS”證得△CAD≌△EAB，即可利用全等三角形的對應(yīng)邊相等證得BE＝CD．（2）猜想BE＝CD，證明方法和（1）相同．（3）“按圖索驥”，根據(jù)（1）、（2）的經(jīng)驗(yàn)，以AB為直角邊向△ABC外作等腰直角△ABD，∠BAD＝90，則AD＝AB＝100米，∠ABD＝45，然后利用勾股定理先在Rt△ABD中求出BD的長，再在Rt△DBC中求出CD的長，即得BE的長． 【詳細(xì)解答】解：（1）完成作圖，如下圖所示． 證明：∵△ABD和△ACE都是等邊三角形， ∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60． ∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB． ∴△C

20、AD≌△EAB． ∴CD＝EB，即BE＝CD． （2）BE＝CD．說理如下： ∵四邊形ABFD和ACGE都是正方形， ∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90． ∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB． ∴△CAD≌△EAB． ∴CD＝EB，即BE＝CD． （3）如圖，由（1）（2）的解題經(jīng)驗(yàn)可知，以AB為直角邊向△ABC外作等腰直角△ABD，∠BAD ＝90，則AD＝AB＝100米，∠ABD＝45， ∴BD＝100． 連接CD，則由（2）可得BE＝CD． A B D ∵∠ABC＝45， ∴∠DBC＝∠ABD＋∠ABC＝90．

21、 在Rt△DBC中，BC＝100，BD＝100， ∴CD＝＝＝100． ∴BE的長為100米． 【解后反思】運(yùn)用構(gòu)造法解幾何題時(shí)，可以根據(jù)題設(shè)條件或結(jié)論所具有的性質(zhì)、特征，構(gòu)造出滿足條件或結(jié)論的一個(gè)基本圖形生成新的結(jié)論，從而在條件與結(jié)論之間架起一座“橋”，把一個(gè)復(fù)雜問題的條件明朗化，使問題獲得簡捷明了的解答方法．（1）（2）這兩問的共性是圍繞等邊三角形和正方形能產(chǎn)生含有公共頂點(diǎn)的兩組相等的邊，并在這一頂點(diǎn)處通過角的和差計(jì)算得到新的相等的兩個(gè)角，具備“SAS”的全等三角形結(jié)構(gòu)．求解第（3）問的難點(diǎn)是運(yùn)用構(gòu)造法在圖3中構(gòu)造出該圖形結(jié)構(gòu)．這對同學(xué)們的知識學(xué)習(xí)遷移的能力有較高要求．另外，尺規(guī)作

22、圖問題是近幾年中考熱點(diǎn)題型，需要同學(xué)們熟練掌握五種基本尺規(guī)作圖：1. 作一條線段等于已知線段．2. 作一個(gè)角等于已知角．3. 平分已知角．4. 作一條線段的垂直平分線．5. 經(jīng)過直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線． 【關(guān)鍵詞】等邊三角形；三角形全等的識別；全等三角形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；勾股定理；畫線段；綜合法證明；學(xué)習(xí)型閱讀理解問題；構(gòu)造法． 2. （ 2016湖南省益陽市，20，10分）在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面積． 某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過合作交流，給出了下面的解題思路，請你按照他們的解題思路完成解答過程． 根據(jù)勾股定理，利用AD作為“橋梁”，建立方程模型求出

23、x 作AD⊥BC于D，設(shè)BD = x，用含x的代數(shù)式表示CD 利用勾股定理求出AD的長，再計(jì)算三角形面積 【逐步提示】按學(xué)習(xí)小組給出了下面的解題思路進(jìn)行解答． 【詳細(xì)解答】解：如圖，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13， 設(shè)，∴． 由勾股定理得：， ， ∴，解之得：．∴． ∴． 【解后反思】根據(jù)勾股定理，利用AD作為“橋梁”，建立方程模型是解答此題的關(guān)鍵． 【關(guān)鍵詞】勾股定理；方程模型 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39.