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第三節(jié) 圓 的 方 程
考點(diǎn)一
求圓的方程
[例1] (1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5,2)，B(3，－2)，且圓心在直線(xiàn)2x－y－3＝0上的圓的方程為_(kāi)_______________．
(2)(2013·江西高考)若圓C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)(4,0)，且與直線(xiàn)y＝1相切，則圓C的方程是________________．
[自主解答] (1)法一：由題知kAB＝2，A，B的中點(diǎn)為(4,0)，設(shè)圓心為C(a，b)．
∵圓過(guò)A(5,2)，B(3，－2)兩點(diǎn)，
∴圓心一定在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上．
則解得∴C(2,1)，
r
2、＝|CA|＝＝.
∴所求圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝10.
法二：設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
則 解得
故圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝10.
法三：設(shè)圓的方程為
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
則
解得D＝－4，E＝－2，F(xiàn)＝－5.
∴所求圓的方程為x2＋y2－4x－2y－5＝0.
(2)由已知可設(shè)圓心為(2，b)，由22＋b2＝(1－b)2＝r2，得b＝－，r2＝.
故圓C的方程為(x－2)2＋2＝.
[答案] (1)x2＋y2－4x－2y－5＝0(或(x－2)2＋(y－1)2＝10) (2)
3、(x－2)2＋2＝
【互動(dòng)探究】
本例(2)中“與直線(xiàn)y＝1相切”改為“圓心在y＝1上”，結(jié)果如何？
解：∵圓過(guò)點(diǎn)O(0,0)和點(diǎn)(4,0)．
∴圓心在直線(xiàn)x＝2上，
又∵圓心在y＝1上，
∴圓心的坐標(biāo)為(2,1)，半徑r＝＝.
因此，圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5.
【方法規(guī)律】
求圓的方程的兩種方法
(1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫(xiě)出方程．
(2)待定系數(shù)法：若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值．
求下列圓的方程：
(1)圓心
4、在直線(xiàn)y＝－4x上，且與直線(xiàn)l：x＋y－1＝0相切于點(diǎn)P(3，－2)；
(2)過(guò)三點(diǎn)A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．
解：(1)法一：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
則有解得a＝1，b＝－4，r＝2.
故所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
法二：過(guò)切點(diǎn)且與x＋y－1＝0垂直的直線(xiàn)為y＋2＝x－3.
與y＝－4x聯(lián)立可得圓心為(1，－4)，
所以半徑r＝＝2.
故所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
(2)法一：設(shè)圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
則
解得D＝－2，E＝－4
5、，F(xiàn)＝－95，
所以所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－95＝0.
法二：由A(1,12)，B(7,10)，得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(4,11)，
kAB＝－，則AB的中垂線(xiàn)方程為3x－y－1＝0.
同理得AC的中垂線(xiàn)方程為x＋y－3＝0.[來(lái)源:]
聯(lián)立得
即圓心坐標(biāo)為(1,2)，半徑r＝＝10，
所以所求圓的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝100.
考點(diǎn)二
與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題
[例2] (2013·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)已知圓M：(x＋1)2＋y2＝1，圓N：(x－1)2＋y2＝9，動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線(xiàn)C.
(1)求C的方程
6、；
(2)l是與圓P，圓M都相切的一條直線(xiàn)，l與曲線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)，求|AB|.
[自主解答] 由已知得圓M的圓心為M(－1,0)，半徑r1＝1；圓N的圓心為N(1,0)，半徑r2＝3.
設(shè)圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R.
(1)因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.
由橢圓的定義可知，曲線(xiàn)C是以M，N為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，短半軸長(zhǎng)為的橢圓(左頂點(diǎn)除外)，其方程為＋＝1(x≠－2)．
(2)對(duì)于曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)P(x，y)，[來(lái)源:]
由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，
7、
當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為(2,0)時(shí)，R＝2.
所以當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)，其方程為(x－2)2＋y2＝4.
若l的傾斜角為90°，則l與y軸重合，可得|AB|＝2.
若l的傾斜角不為90°，由r1≠R知l不平行于x軸，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q，則＝，可求得Q(－4,0)，
所以可設(shè)l：y＝k(x＋4)．
由l與圓M相切得＝1，解得k＝±.
當(dāng)k＝時(shí)，將y＝x＋代入＋＝1，并整理得7x2＋8x－8＝0，
解得x1＝，x2＝.
所以|AB|＝|x2－x1|＝.
當(dāng)k＝－時(shí)，由圖形的對(duì)稱(chēng)性可知|AB|＝.
綜上，|AB|＝2或|AB|＝.
【方法規(guī)
8、律】
求與圓有關(guān)的軌跡方程的方法
已知直角三角形ABC的斜邊為AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求：
(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；
(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程．
解：(1)法一：設(shè)頂點(diǎn)C(x，y)，因?yàn)锳C⊥BC，所以x≠3且x≠－1.
又kAC＝，kBC＝，且kAC·kBC＝－1，
所以·＝－1，即x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)．
法二：設(shè)AB的中點(diǎn)為D，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得D(1,0)，由直角三角形的性質(zhì)知，|CD|＝|AB|＝2，由圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以D(1
9、,0)為圓心，2為半徑的圓(由于A，B，C三點(diǎn)不共線(xiàn)，所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn))．
所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)．
(2)設(shè)點(diǎn)M(x，y)，點(diǎn)C(x0，y0)，因?yàn)锽(3,0)，M是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x＝(x≠3且x≠1)，y＝，于是有x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，點(diǎn)C在圓(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)上運(yùn)動(dòng)，將x0＝2x－3，y0＝2y代入該方程得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1(x≠3且x≠1)．
因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(x≠3且x≠1)．
高頻考點(diǎn)
考
10、點(diǎn)三 與圓有關(guān)的最值問(wèn)題
1．與圓有關(guān)的最值問(wèn)題，是高考命題的熱點(diǎn)，多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題、中檔題．
2．高考中主要有以下幾個(gè)命題角度：
(1)與圓有關(guān)的長(zhǎng)度或距離的最值問(wèn)題；
(2)與圓上的點(diǎn)(x，y)有關(guān)的代數(shù)式的最值問(wèn)題．
例如，形如u＝型；形如t＝ax＋by型；形如(x－a)2＋(y－b)2型．
[例3] (1)(2013·重慶高考)設(shè)P是圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的動(dòng)點(diǎn)，Q是直線(xiàn)x＝－3上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最小值為( )
A．6 B．4 C．3 D
11、．2
(2)(2013·山東高考)過(guò)點(diǎn)(3,1)作圓(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的長(zhǎng)為_(kāi)_______．[來(lái)源:]
[自主解答] (1)當(dāng)PQ所在直線(xiàn)過(guò)圓心且垂直于直線(xiàn)x＝－3時(shí)，|PQ|有最小值，且最小值為圓心(3，－1)到直線(xiàn)x＝－3的距離減去半徑2，即最小值為4.
(2)設(shè)P(3,1)，圓心C(2,2)，則|PC|＝，由題意知最短的弦過(guò)P(3,1)且與PC垂直，所以最短弦長(zhǎng)為2＝2.[來(lái)源:][來(lái)源:]
[答案] (1)B (2)2
與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略
(1)與圓有關(guān)的長(zhǎng)度或距離的最值問(wèn)題的解法．一般根據(jù)長(zhǎng)度或距離的幾何意義
12、，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解．
(2)與圓上點(diǎn)(x，y)有關(guān)代數(shù)式的最值的常見(jiàn)類(lèi)型及解法．①形如u＝型的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)(a，b)和點(diǎn)(x，y)的直線(xiàn)的斜率的最值問(wèn)題；②形如t＝ax＋by型的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線(xiàn)的截距的最值問(wèn)題；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離平方的最值問(wèn)題．
已知M為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)Q(－2,3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值．
解：(1)由圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
13、所以圓心C的坐標(biāo)為(2,7)，半徑r＝2.
又|QC|＝＝4.
所以|MQ|max＝4＋2＝6，
|MQ|min＝4－2＝2.
(2)可知表示直線(xiàn)MQ的斜率，
設(shè)直線(xiàn)MQ的方程為y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，則＝k.
由直線(xiàn)MQ與圓C有交點(diǎn)，所以≤2.
可得2－≤k≤2＋，
所以的最大值為2＋，最小值為2－.
——————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————
1種方法——待定系數(shù)法求圓的方程
(1)若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；
(2)若已知條件沒(méi)有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值．
3個(gè)性質(zhì)——常用到的圓的三個(gè)性質(zhì)
在解決與圓有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，借助于圓的幾何性質(zhì)，往往會(huì)使得思路簡(jiǎn)潔明了，簡(jiǎn)化思路，簡(jiǎn)便運(yùn)算．
(1)圓心在過(guò)切點(diǎn)且與切線(xiàn)垂直的直線(xiàn)上；
(2)圓心在任意一弦的垂直平分線(xiàn)上；
(3)兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心共線(xiàn)．
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