《高考數(shù)學(xué)廣東專(zhuān)用文科復(fù)習(xí)配套課時(shí)訓(xùn)練：第八篇 平面解析幾何 第6節(jié) 圓錐曲線的綜合問(wèn)題含答案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)廣東專(zhuān)用文科復(fù)習(xí)配套課時(shí)訓(xùn)練：第八篇 平面解析幾何 第6節(jié) 圓錐曲線的綜合問(wèn)題含答案（13頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料
2019.5
第6節(jié) 圓錐曲線的綜合問(wèn)題
課時(shí)訓(xùn)練 練題感 提知能
【選題明細(xì)表】
知識(shí)點(diǎn)、方法
題號(hào)
圓錐曲線間的綜合問(wèn)題
2、5、10、14
直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
3、4、7、8、12、13、16
圓與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
9、11、15
圓錐曲線與其他內(nèi)容的綜合
1、6
A組
一、選擇題
1.橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,D是它短軸上的一個(gè)端點(diǎn),若
2、3DF1→=DA→+2DF2→,則該橢圓的離心率為( D )
(A)12 (B)13 (C)14 (D)15
解析:設(shè)D(0,b),則DF1→=(-c,-b),
DA→=(-a,-b),DF2→=(c,-b),
由3DF1→=DA→+2DF2→得-3c=-a+2c,
即a=5c,
∴e=ca=15.
故選D.
2.(20xx年高考福建卷)已知雙曲線x24-y2b2=1的右焦點(diǎn)與拋物線y2=12x的焦點(diǎn)重合,則該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于( A )
(A)5 (B)42 (C)3 (D)5
解析:拋物線y2=12x的焦點(diǎn)是(3,0),
∴c=3,b2=c2-a2=5
3、.
∴雙曲線的漸近線方程為y=±52x,
焦點(diǎn)(3,0)到y(tǒng)=±52x的距離d=353=5.
故選A.
3.(20xx湛江市高考測(cè)試)設(shè)F1,F2是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),若直線x=ma(m>1)上存在一點(diǎn)P,使△F2PF1是底角為30°的等腰三角形,則m的取值范圍是( A )
(A)1<m<2 (B)m>2
(C)1<m<32 (D)m>32
解析:依題意得,∠F1F2P=120°,焦點(diǎn)F2到直線x=ma的距離為ma-c,|PF2|=2c,2c·
4、cos 60°=ma-c=c,
即m=2ca=2e<2.
又m>1,因此1<m<2,故選A.
4.橢圓ax2+by2=1與直線y=1-x交于A、B兩點(diǎn),過(guò)原點(diǎn)與線段AB中點(diǎn)直線的斜率為32,則ab的值為( A )
(A)32 (B)233 (C)932 (D)2327
解析:設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2),中點(diǎn)為
M(x0,y0),
將y=1-x代入ax2+by2=1
得(a+b)x2-2bx+b-1=0,
故x1+x2=2ba+b,x0=ba+b,
∴y1+y2=2-2ba+b=2aa+b,y0=aa+b,
∴k=y0x
5、0=ab=32.故選A.
5.(20xx佛山質(zhì)檢)已知雙曲線的頂點(diǎn)與焦點(diǎn)分別是橢圓y2a2+x2b2=1(a>b>0)的焦點(diǎn)與頂點(diǎn),若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的交點(diǎn)構(gòu)成的四邊形恰為正方形,則橢圓的離心率為( D )
(A)13 (B)12 (C)33 (D)22
解析:因?yàn)殡p曲線的漸近線與橢圓的交點(diǎn)構(gòu)成正方形,所以雙曲線的漸近線方程是y=±x,該雙曲線是等軸雙曲線,設(shè)雙曲線的實(shí)半軸、半焦距分別為a1,c1,橢圓的長(zhǎng)半軸、半焦距分別為a2,c2,則c1=2a1,a1=c2,c1=a2,所以橢圓的離心率e2=c2a2=a1c1=22,故選D.
6.(20xx河北省衡水
6、中學(xué)高三模擬)點(diǎn)P在雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上,F1、F2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),∠F1PF2=90°,且△F1PF2的三條邊長(zhǎng)成等差數(shù)列,則此雙曲線的離心率是( D )
(A)2 (B)3 (C)2 (D)5
解析:不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上,F1為左焦點(diǎn),
設(shè)|PF1|=r1,|PF2|=r2,
則r1-r2=2a,2r1=r2+2c,
解得r1=2c-2a,r2=2c-4a,
代入r12+r22=4c2可得c2+5a2-6ac=0,
兩邊同除以a2得e2-6e+5=0,
解得e=1或e=5.
又e>1,所以e=5.故選D.
7、
二、填空題
7.(20xx惠州三調(diào))已知雙曲線x2a2-y2b2=1的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2=410x的焦點(diǎn)重合,且雙曲線的離心率等于103,則該雙曲線的方程為 .
解析:拋物線y2=410x的焦點(diǎn)為(10,0),
∴c2=a2+b2=10,
∴e=10a=103,
∴a=3,b=1,x29-y2=1.
答案:x29-y2=1
8.(20xx東莞模擬)已知拋物線C的方程為x2=12y,過(guò)點(diǎn)A(0,-1)和點(diǎn)B(t,3)的直線與拋物線C沒(méi)有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)t的取值范圍是 .
解析:當(dāng)t=0時(shí),直線AB與拋物線C有公共點(diǎn),
當(dāng)t≠0,則過(guò)點(diǎn)A(0
8、,-1)和點(diǎn)B(t,3)的直線方程為
y+1-1-3=x-00-t,
即4x-ty-t=0,
由4x-ty-t=0,x2=12y,
得2tx2-4x+t=0,Δ=16-4×2t2<0,
解得t<-2或t>2.
答案:(-∞,-2)∪(2,+∞)
9.過(guò)雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)作圓x2+y2=a2的兩條切線,切點(diǎn)分別為A、B.若∠AOB=120°(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線C的離心率為 .
解析:如圖,由題知
OA⊥AF,OB⊥BF
且∠AOB=120°,
∴∠A
9、OF=60°.
又OA=a,OF=c,
∴ac=OAOF=cos 60°=12,
∴ca=2.
答案:2
10.(20xx安徽蚌埠二模)點(diǎn)A是拋物線C1:y2=2px(p>0)與雙曲線C2:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線的交點(diǎn),若點(diǎn)A到拋物線C1的準(zhǔn)線的距離為p,則雙曲線C2的離心率等于 .
解析:設(shè)A(x0,y0),
∵A在拋物線上,
∴x0+p2=p,
∴x0=p2,
由y02=2px0得y0=p或y0=-p.
∴雙曲線漸近線的斜率ba=pp2=2.
∴e=ca=1+b2a2=5.
答案
10、:5
三、解答題
11.已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為22,且橢圓經(jīng)過(guò)圓C:x2+y2-4x+22y=0的圓心C.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線l過(guò)橢圓的焦點(diǎn)且與圓C相切,求直線l的方程.
解:(1)圓C方程可化為(x-2)2+(y+2)2=6,
圓心C(2,-2),半徑r=6
設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),
則4a2+2b2=1,1-(ba) 2=(22) 2,
∴a2=8,b2=4.
∴所求橢圓的方程是x28+y24=1.
(2)由(1)得橢圓的左右焦點(diǎn)分別是F1(-2,0),F2(2,0),
11、
|F2C|=(2-2)2+(0+2)2=2<r=6,
F2在圓C內(nèi),則過(guò)F2沒(méi)有圓C的切線,
故直線l過(guò)F1(-2,0),
設(shè)l的方程為y=k(x+2),
即kx-y+2k=0,
圓心C(2,-2)到直線l的距離為d=|2k+2+2k|1+k2,
由d=6,得|2k+2+2k|1+k2=6,
化簡(jiǎn)得5k2+42k-2=0,
解得k=25或k=-2,
故直線l的方程為2x-5y+22=0或2x+y+22=0.
12.(20xx湛江市測(cè)試)已知拋物線C:y2=4x,F是拋物線的焦點(diǎn),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是C上異于原點(diǎn)O的兩個(gè)不重合點(diǎn),OA⊥OB,且AB
12、與x軸交于點(diǎn)T.
(1)求x1x2的值;
(2)求T的坐標(biāo);
(3)當(dāng)點(diǎn)A到C上運(yùn)動(dòng)時(shí),動(dòng)點(diǎn)R滿(mǎn)足:FA→+FB→=FR→,求點(diǎn)R的軌跡方程.
解:(1)由OA⊥OB得y1x1·y2x2=-1?x1x2+y1y2=0,
且y12=4x1,y22=4x2,得16x1x2=(y1y2)2,
代入上式得(y1y2)2+16y1y2=0.
∵y1y2≠0,
∴y1y2=-16,
∴x1x2=16.
(2)設(shè)點(diǎn)T(t,0),當(dāng)x1≠x2時(shí),A,B,T三點(diǎn)共線,
有y1x1-t=y2x2-t.
即(y2-y1)t=y2x1-y1x2
=y2·y124-y1&#
13、183;y224
=-4(y1-y2).
∵y1≠y2,∴t=4.
當(dāng)x1=x2時(shí),
∵OA⊥OB,此時(shí)△AOB為等腰三角形,x1=x2=t,直線OA的方程式為y=x,聯(lián)立y=x,y2=4x,解得t=x1=4,
所以T的坐標(biāo)是(4,0).
(3)設(shè)R(x,y),由F(1,0),FA→+FB→=FR→,
得(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(x-1,y),
即x1+x2=x+1,y1+y2=y.
又y12=4x1,y22=4x2?(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),
當(dāng)x1≠x2時(shí),y·y1-y2x1-x2=4.
AB的中點(diǎn)M（x+12,y2）,
14、點(diǎn)T(4,0)都在直線AB上,
∴kAB=kTM,即y1-y2x1-x2=y2x+12-4,代入上式得
y·y2x+12-4=4,化簡(jiǎn)得y2=4x-28.
當(dāng)x1=x2,點(diǎn)R(7,0)符合上式,
綜上可知點(diǎn)R的軌跡方程是y2=4x-28.
13.(20xx黃岡一模)已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓Ω的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),它的離心率為12,一個(gè)焦點(diǎn)是(-1,0),過(guò)直線x=4上一點(diǎn)引橢圓Ω的兩條切線,切點(diǎn)分別是A、B.
(1)求橢圓Ω的方程;
(2)若橢圓Ω:x2a2+y2b2=1(a>b>0)在點(diǎn)(x0,y0)處的切線
15、方程是:x0xa2+y0yb2=1.求證:直線AB恒過(guò)定點(diǎn)C,并求出定點(diǎn)C的坐標(biāo);
(3)求證:1|AC|+1|BC|為定值 (點(diǎn)C為直線AB恒過(guò)的定點(diǎn)).
解:(1)橢圓Ω的焦點(diǎn)是(-1,0),
故c=1,又ca=12,
所以a=2,b=a2-c2=3,
所以所求的橢圓Ω方程為
x24+y23=1.
(2)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2),直線l上一點(diǎn)M的坐標(biāo)(4,t),
則切線AM、BM的方程分別為
x1x4+y1y3=1,x2x4+y2y3=1.
又兩切線均過(guò)點(diǎn)M,
所以x1+t3y1=1,x2+t3y2=1,
即點(diǎn)A,B的坐標(biāo)都適合方程x+t3y=
16、1,
故直線AB的方程是x+t3y=1,
顯然直線x+t3y=1恒過(guò)點(diǎn)(1,0),
故直線AB恒過(guò)定點(diǎn)C(1,0).
(3)將直線AB的方程x=-t3y+1,代入橢圓方程,得
3(-t3y+1)2+4y2-12=0,
即(t23+4)y2-2ty-9=0,
∴y1+y2=6tt2+12,
y1y2=-27t2+12,
不妨設(shè)y1>0,y2<0,
|AC|=(x1-1)2+y12
=(t29+1)y12
=t2+93y1,
同理|BC|=-t2+93y2,
∴1|AC|+1|BC|=3t2+9·(1y1-1y2)
=3t2+9·y2-
17、y1y1y2
=-3t2+9·(y2-y1)2y1y2
=-3t2+9·(6tt2+12) 2+108t2+12-27t2+12
=1t2+9·144t2+9×1449
=43,
即1|AC|+1|BC|為定值43.
B組
14.(20xx福建泉州質(zhì)檢)如圖所示,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,且,AB=2AD.設(shè)∠DAB=θ,θ∈(0,π2),以A、B為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)D的雙曲線的離心率為e1,以C、D為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)A的橢圓的離心率為e2,則( B )
(A)隨著角度θ的增大,e1增大,e1e2為定值
(B)隨著角度θ的增大,e1
18、減小,e1e2為定值
(C)隨著角度θ的增大,e1增大,e1e2也增大
(D)隨著角度θ的增大,e1減小,e1e2也減小
解析:設(shè)AD=1,則AB=2,DC=2-2cos θ,
在△ABD中,由余弦定理得BD=5-4cosθ,
e1=ABBD-AD=25-4cosθ-1,θ∈(0,π2),
所以隨著角度θ的增大,e1減小;
又e2=DCAD+AC=DCAD+BD=2-2cosθ1+5-4cosθ,
∴e1e2=4-4cosθ4-4cosθ=1,故選B.
15.過(guò)雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)F引圓x2+y2=a2的切線,切點(diǎn)為T(mén),延長(zhǎng)FT交
19、雙曲線右支于點(diǎn)P,若T為線段FP的中點(diǎn),則該雙曲線的漸近線方程為( B )
(A)x±y=0 (B)2x±y=0
(C)4x±y=0 (D)x±2y=0
解析:如圖所示,設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為F',連結(jié)OT、PF'.
∵FT為圓的切線,
∴FT⊥OT,且|OT|=a,
又∵T、O分別為FP、FF'的中點(diǎn),
∴OT∥PF'且|OT|=12|PF'|,
∴|PF'|=2a,
且PF'⊥PF.
又|PF|-|PF'|=2a,
∴|PF|=4a.
在Rt△PFF'中,
20、|PF|2+|PF'|2=|FF'|2,
即16a2+4a2=4c2,∴c2a2=5.
∴b2a2=c2a2-1=4,∴ba=2,
即漸近線方程為y=±2x,即2x±y=0.故選B.
16.(20xx珠海市學(xué)業(yè)質(zhì)檢)如圖,F1,F2是雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),過(guò)F1的直線l與C的左、右兩支分別交于A,B兩點(diǎn),若|AB|∶|BF2|∶|AF2|=3∶4∶5,則雙曲線的離心率為 .
解析:設(shè)|AB|=3k,則|BF2|=4k,|AF2|=5k,
所以∠F1BF2=90°.
由雙曲線定義得|BF1|-|BF2|=2a=|AF2|-|AF1|,
即3k+|AF1|-4k=5k-|AF1|=2a,
解得|AF1|=3k,k=a,
所以|BF1|=6a,|BF2|=4a,
由勾股定理可得(6a)2+(4a)2=(2c)2,
化簡(jiǎn)得13a=c,故離心率e=ca=13.
答案:13
高考數(shù)學(xué)廣東專(zhuān)用文科復(fù)習(xí)配套課時(shí)訓(xùn)練：第八篇 平面解析幾何 第6節(jié) 圓錐曲線的綜合問(wèn)題含答案
