吉林省東北師范大學(xué)附屬中學(xué)2014-2015學(xué)年高中數(shù)學(xué) 2.2.2橢圓第二定義教案 新人教A版選修

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1、 吉林省東北師范大學(xué)附屬中學(xué)2014-2015學(xué)年高中數(shù)學(xué) 2.2.2橢圓第二定義教案 新人教A版選修2-1 學(xué)法指導(dǎo)：以問題為誘導(dǎo)，結(jié)合圖形，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行必要的聯(lián)想、類比、化歸、轉(zhuǎn)化. 復(fù)習(xí)回顧 問題推廣 引出課題 典型例題 課堂練習(xí) 歸納小結(jié) 教學(xué)目標(biāo) 知識目標(biāo)：橢圓第二定義、準(zhǔn)線方程； 能力目標(biāo)：1使學(xué)生了解橢圓第二定義給出的背景； 2了解離心率的幾何意義； 3使學(xué)生理解橢圓第二定義、橢圓的準(zhǔn)線定義； 4使學(xué)生掌握橢圓的準(zhǔn)線方程以及準(zhǔn)線方程的應(yīng)用； 5

2、使學(xué)生掌握橢圓第二定義的簡單應(yīng)用； 情感與態(tài)度目標(biāo)：通過問題的引入和變式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，應(yīng)用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)看待問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的美學(xué)價值. 教學(xué)重點(diǎn)：橢圓第二定義、焦半徑公式、準(zhǔn)線方程； 教學(xué)難點(diǎn)：橢圓的第二定義的運(yùn)用； 教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。 教學(xué)設(shè)想：激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，培養(yǎng)積極進(jìn)取的精神． 教學(xué)過程： 學(xué)生探究過程：復(fù)習(xí)回顧 1．橢圓的長軸長為 18 ，短軸長為 6 ，半焦距為，離心率為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，（準(zhǔn)線方程為）. 2．短軸長為8，離心率為的橢圓兩焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則的周長為

3、20 . 引入課題 【習(xí)題4（教材P50例6）】橢圓的方程為，M1，M2為橢圓上的點(diǎn) ① 求點(diǎn)M1（4，2.4）到焦點(diǎn)F（3，0）的距離 2.6 . ② 若點(diǎn)M2為（4，y0）不求出點(diǎn)M2的縱坐標(biāo)，你能求出這點(diǎn)到焦點(diǎn)F（3，0）的距離嗎？ 解：且代入消去得 1 / 8 【推廣】你能否將橢圓上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離表示成點(diǎn)M橫坐標(biāo)的函數(shù)嗎？ 解：代入消去 得 問題1：你能將所得函數(shù)關(guān)系敘述成命題嗎？（用文字語言表述） 橢圓上的點(diǎn)M到右焦點(diǎn)的距離與它到定直線的距離的比等于離心率 問題2：你能寫出所得命題的逆命題嗎？并判斷真假？（逆命題中不能出現(xiàn)焦點(diǎn)與離心率）

4、動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離的比等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓． 【引出課題】橢圓的第二定義 當(dāng)點(diǎn)與一個定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)時，這個點(diǎn)的軌跡是橢圓．定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)是橢圓的離心率． 對于橢圓，相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程是．根據(jù)對稱性，相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程是．對于橢圓的準(zhǔn)線方程是． 可見橢圓的離心率就是橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線距離的比，這就是離心率的幾何意義． 由橢圓的第二定義可得：右焦半徑公式為；左焦半徑公式為 典型例題 例1、求橢圓的右焦點(diǎn)和右準(zhǔn)線；左焦點(diǎn)和左準(zhǔn)線； 解：由題意可知右焦點(diǎn)右準(zhǔn)線；左焦點(diǎn)和左準(zhǔn)線 變

5、式：求橢圓方程的準(zhǔn)線方程； 解：橢圓可化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故其準(zhǔn)線方程為 小結(jié)：求橢圓的準(zhǔn)線方程一定要化成標(biāo)準(zhǔn)形式，然后利用準(zhǔn)線公式即可求出 例2、橢圓上的點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離是，求到左焦點(diǎn)的距離為 . 變式：求到右焦點(diǎn)的距離為 . 解：記橢圓的左右焦點(diǎn)分別為到左右準(zhǔn)線的距離分別為由橢圓的第二定義可知： 又由橢的第一定義可知： 另解：點(diǎn)M到左準(zhǔn)線的距離是2.5，所以點(diǎn)M到右準(zhǔn)線的距離為 小結(jié)：橢圓第二定義的應(yīng)用和第一定義的應(yīng)用 例1、 點(diǎn)P與定點(diǎn)A（2，0）的距離和它到定直線的距離的比是1：2，求點(diǎn)P的軌跡； 解法一：設(shè)為所求軌跡上的任

6、一點(diǎn)，則由化簡得，故所的軌跡是橢圓。 解法二：因?yàn)槎c(diǎn)A（2，0）所以，定直線所以解得，又因?yàn)? 故所求的軌跡方程為 變式：點(diǎn)P與定點(diǎn)A（2，0）的距離和它到定直線的距離的比是1：2，求點(diǎn)P的軌跡； 解法二：因?yàn)槎c(diǎn)A（2，0）所以，定直線所以解得，故所求的軌跡方程為 問題1：求出橢圓方程和的長半軸長、短半軸長、半焦距、離心率； 問題2：求出橢圓方程和長軸頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線方程； 解：因?yàn)榘褭E圓向右平移一個單位即可以得到橢圓所以問題1中的所有問題均不變，均為 長軸頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線方程分別為：，； 長軸頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線方程分別為：，； 反思：由于是標(biāo)準(zhǔn)方程，故只要有兩上獨(dú)

7、立的條件就可以確定一個橢圓，而題目中有三個條件，所以我們必須進(jìn)行檢驗(yàn)，又因?yàn)榱硪环矫骐x心率就等于這是兩上矛盾的結(jié)果，所以所求方程是錯誤的。又由解法一可知，所求得的橢圓不是標(biāo)準(zhǔn)方程。 小結(jié)：以后有涉及到“動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù)時”最好的方法是采用求軌跡方程的思路,但是這種方法計(jì)算量比較大； 解法二運(yùn)算量比較小，但應(yīng)注意到會不會是標(biāo)準(zhǔn)方程，即如果三個數(shù)據(jù)可以符合課本例4的關(guān)系的話，那么其方程就是標(biāo)準(zhǔn)方程，否則非標(biāo)準(zhǔn)方程，則只能用解法一的思維來解。 例4、設(shè)AB是過橢圓右焦點(diǎn)的弦，那么以AB為直徑的圓必與橢圓的右準(zhǔn)線（ ） A.相切 B.相離

8、 C.相交 D.相交或相切 分析：如何判斷直線與圓的位置關(guān)系呢？ 解：設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則M即為圓心，直徑是|AB|；記橢圓的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線為； 過點(diǎn)A、B、M分別作出準(zhǔn)線的垂線，分別記為由梯形的中位線可知 又由橢圓的第二定義可知即 又且故直線與圓相離 例5、已知點(diǎn)為橢圓的上任意一點(diǎn)，、分別為左右焦點(diǎn)；且求的最小值 分析：應(yīng)如何把表示出來 解：左準(zhǔn)線：，作于點(diǎn)D，記 由第二定義可知： ? ? 故有 所以有當(dāng)A、M、D三點(diǎn)共線時，|MA|+|MD|有最小值： 即的最小值是 變式1：的最小值； 解

9、： 變式2：的最小值； 解： 鞏固練習(xí) 1．已知 是橢圓 上一點(diǎn)，若 到橢圓右準(zhǔn)線的距離是 ，則 到左焦點(diǎn)的距離為_____________． 2．若橢圓 的離心率為 ，則它的長半軸長是______________． 答案：1． 2．1或2 教學(xué)反思 1．橢圓第二定義、焦半徑公式、準(zhǔn)線方程； 2．橢圓定義的簡單運(yùn)用； 3．離心率的求法以及焦半徑公式的應(yīng)用； 課后作業(yè) 1.例題5的兩個變式； 2. 已知 ， 為橢圓 上的兩點(diǎn)， 是橢圓的右焦點(diǎn)．若 ， 的中點(diǎn)到橢圓左準(zhǔn)線的距離是 ，試確定橢圓的方程． 解：由橢圓方程可知 、兩準(zhǔn)

10、線間距離為 ．設(shè) ， 到右準(zhǔn)線距離分別為 ， ，由橢圓定義有 ，所以 ，則 ， 中點(diǎn) 到右準(zhǔn)線距離為 ，于是 到左準(zhǔn)線距離為 ， ，所求橢圓方程為 ． 思考： 1．方程表示什么曲線？ 解：；即方程表示到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比常數(shù)（且該常數(shù)小于1）方程表示橢圓 例Ⅱ、（06四川高考15）如圖把橢圓的長軸AB分成8等分，過每個等分點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個焦點(diǎn)，則= 解法一：，設(shè)的橫坐標(biāo)為，則不妨設(shè)其焦點(diǎn)為左焦點(diǎn) 由得 解法二：由題意可知和關(guān)于軸對稱，又由橢圓的對稱性及其第一定義可知，同理可知，， 故 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！