利用樣本分位數(shù)求指數(shù)分布參數(shù)的漸近估計(jì)

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1、利用樣本分位數(shù)求指數(shù)分布參數(shù)的漸近估計(jì) 魏 艷 華 ，王 丙 參 ，何 萬(wàn) 生 （天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 甘肅 天水 ７４１００１） 摘 要： 利用指數(shù)分布的若干個(gè)樣本分位數(shù)建立線性回歸模型 ；由獲得的指數(shù)分布參數(shù)的廣義最小二 乘估計(jì)的漸近正態(tài) 性 ，得 到 數(shù) 據(jù) 缺 失 、分 組 數(shù) 據(jù) 、截尾樣本場(chǎng)合指數(shù)分布參數(shù)的漸近估計(jì) ．在樣本足夠大的情況下 ，該方法簡(jiǎn)單有效 ． 關(guān)鍵詞： 指 數(shù) 分 布 ； 樣 本 分 位 數(shù) ； 廣義最小二乘法 ； 漸 近 正 態(tài) 性 ； 區(qū) 間 估 計(jì) 中圖分類號(hào)：Ｏ２１２．１ 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：Ａ 文章編號(hào)：１００１－９８８Ⅹ（２０１

2、２）０２－００１５－０４ Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｄｐａｒａｍｅｔｅｒｓｉｎｔｅｒｖａｌｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｕｓｉｎｇｔｈｅｓａｍｐｌｅｑｕａｎｔｉｌｅｓ ＷＥＩＹａｎ－ｈｕａ， ＷＡＮＧ Ｂｉｎｇ－ｃａｎ，ＨＥ Ｗａｎ－ｓｈｅｎｇ （ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ，ＴｉａｎｓｈｕｉＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｔｉａｎｓｈｕｉ７４１００１，Ｇａｎｓｕ，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ ｌｉｎｅａｒｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ ｍｏｄｅｌｉｓ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｓｅｖｅｒａｌｓ

3、ａｍｐｌｅ ｑｕａｎｔｉｌｅｓ ｏｆｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ．Ｂｙａｉｄｏｆａｓｙｍｐｔｏｔｉｃｎｏｒｍａｌｉｔｙｏｆｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｓｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ，ｗｈｉｃｈｏｂｔａｉｎｅｄｂｙ ｔｈｅｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｏｆ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ，ｔｈｅ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｄ ｉｎｔｅｒｖａｌ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄｉｎｔｈｅｃａｓｅｓ ｏｆｔｈｅ ｍｉｓｓｉｎｇ ｄａｔａ，ｇｒ

4、ｏｕｐｅｄ ｄａｔａ ａｎｄ ｃｅｎｓｏｒｅｄｓａｍｐｌｅ．Ｔｈｅｍｅｔｈｏｄｉｓｓｉｍｐｌｅａｎｄｅｆｆｅｃｔｉｖｅｆｏｒｌａｒｇｅｅｎｏｕｇｈｓａｍｐｌｅ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ；ｓａｍｐｌｅｑｕａｎｔｉｌｅｓ；ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｓｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ；ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｎｏｒｍａｌｉｔｙ；ｉｎｔｅｒｖａｌｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ 人們?cè)谧鰤勖囼?yàn)時(shí)，有時(shí)候會(huì)遇到這樣的情 況：由于某種原因試驗(yàn)中某些樣本壽命數(shù)據(jù)丟失， 只知道其前后的壽命數(shù)據(jù)，稱其為數(shù)據(jù)丟失或數(shù)據(jù) 缺失；有時(shí)候?yàn)榱烁鼫?zhǔn)確地作統(tǒng)計(jì)推斷，人們往往 使用大

5、樣本，但對(duì)大量產(chǎn)品進(jìn)行跟蹤觀測(cè)需耗費(fèi)大 量人力、物力和財(cái)力，且常常因條件所限而無(wú)法做 到，解決辦法之一是只對(duì)其中若干個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行跟蹤 觀測(cè)，其它的只需知道它失效時(shí)間的區(qū)間，不必知 道失效的 確 切 時(shí) 間， 這 樣 就 得 到 一 組 混 合 分 組 數(shù) 據(jù)；還有的時(shí)候需要剔除較大或較小的觀測(cè)數(shù)據(jù)， 這樣又得到一組截尾樣本數(shù)據(jù)．對(duì)大多數(shù)分布族而 言，關(guān)于不完全樣本場(chǎng)合參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外一 些學(xué)者已經(jīng)給出了相應(yīng)的解決辦法［１－８］． 文獻(xiàn)［１ ］ 用極大似然估計(jì)構(gòu)造樞軸量的方法給出了定時(shí)截尾 壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)缺失場(chǎng)合下指數(shù)分布參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)及 區(qū)間估計(jì)；文獻(xiàn)［２］給出了定數(shù)截尾數(shù)據(jù)缺失場(chǎng)合 下指數(shù)

6、分布參數(shù)的 Ｂａｙｅｓ估計(jì)；文獻(xiàn)［３］給出了分 組數(shù)據(jù)在 指 數(shù) 分 布 下 的 近 似 極 大 似 然 估 計(jì)； 文 獻(xiàn) ［４］用逆矩估 計(jì) 思 想 方法給出了定 數(shù) 截尾 Ｗｅｉｂｕｌ 分布的參數(shù)估計(jì)等等． 這類問(wèn)題的研究困難在于數(shù)據(jù)不完全，但可以 利用已觀測(cè)到的部分?jǐn)?shù)據(jù)構(gòu)造樣本分位數(shù)［９－１０］， 建 立線性回歸模型．本文利用指數(shù)分布的若干樣本分 位數(shù)和廣義最小二乘法，給出了數(shù)據(jù)缺失、分組數(shù) 據(jù)、截尾樣本場(chǎng)合指數(shù)分布參數(shù)的漸近估計(jì)．在樣 本足夠大的情況下，該方法簡(jiǎn)單有效． 收稿日期：２０１１－１０－１８； 修改稿收到日期：２０１１－１１－１８ 基金項(xiàng)目： 甘肅省自然科學(xué)基金資助

7、項(xiàng)目（０９６ＲＪＺＥ１０６）； 甘肅省教育廳科研基金資助項(xiàng)目（０９０８－０７）； 天水師范學(xué)院科研 基金資助項(xiàng)目（ＴＳＡ０９３１） 作者簡(jiǎn)介： 魏艷華 （１９８０—）， 女， 吉林四平人， 講師， 碩士． 主要研究方向?yàn)閿?shù)理統(tǒng)計(jì)． ０＜ｐ１＜ｐ２ ＜ …ｐｋ ＜１， 且 使ｒｎ ＝ ［ｎｐｉ］＋１，ｉ＝１， ｉ 預(yù)備知識(shí) １ ２，…，ｋ，｛ｒｎ ，ｒｎ ，…，ｒｎ ｝ ｛ｒ１，ｒ２，…，ｒｍ ｝， 其 中 １ ２ ｋ 引理１［１１］ 設(shè) Ｘ Ｘ 是抽自總體分布 １， ２，…， ｎ ｒｎ Ｘ （ ［ｎｐｉ］為不超過(guò)ｎｐｉ 的最大整數(shù)

8、 可?。穑椋? ｉ 或 ｎ＋１ 函數(shù)為Ｆ（ｘ）的一個(gè)簡(jiǎn)單樣本，Ｆ（ｘ）絕對(duì)連續(xù)， 取 定一組正數(shù)ｐ１，ｐ２，…，ｐｋ， 使其滿足 ０＜ｐ１ ＜ｐ２ ＜ …＜ｐｋ＜１．對(duì)ｉ＝１，２，…，ｋ，記Ｙｉ 為樣本的ｐｉ 分 位數(shù)，ξｉ 為總體的ｐｉ 分位數(shù)． 設(shè) ｆ（ｘ）＝Ｆ′（ｘ）在 點(diǎn)ξ１，ξ２，…，ξｋ 處 連 續(xù) 且 不 為 零， 則 當(dāng) ｎ→ ∞ 時(shí)， ｒｎ －０．５ ｉ ） ．記Ｙｉ 為樣本的ｐｉ 分位數(shù)， 即Ｙｉ ｐｉ＝ ｎ ＝ｔ（ｒ ），ｉ＝１，２，…，ｋｊ； ｉ 為總體的ｐｉ 分 位 數(shù)， 即 ξ ｎｉ Ｆ（ξｉ）＝ｐｉ，ｉ＝１，２，…，ｋ． 解

9、得ξｉ＝μ＋η［－ｌｎ（１－ Ｌ ＝ １－ｐ 有槡ｎ（Ｙ１ －ξ１，Ｙ２ －ξ２，…，Ｙｋ －ξｋ ）Ｔ →Ｎ （０，Λ）， ｉ）］， （ξｉ） ｉ ， ，，…， ｐ ｆ ｉ＝１２ ｋ． 缺失數(shù)據(jù)一覽表 η 表 此處０Ｔ ＝ （０，０，…，０）１ｋ，Λ＝ （λｉ ｋｋ ｊ ） ， 其 中 λｉ ＝ ｊ １ ｐｉ（１－ｐｊ），１≤ｉ≤ｊ≤ｋ，λ ＝λ ． Ｔａｂ１ Ｌｉｓｔｏｆｍｉｓｓｉｎｇｄａｔａ ｊｉ ｉｊ ｆ（ξｉ）ｆ（ξｊ） 次 序 樣 本 數(shù) 據(jù) ｔ（１），ｔ（２），… ，ｔ（ｎ） 引理２［１２］ 設(shè)線

10、性 模 型Ｙ ＝Ｘβ＋ｅ，Ｅ（ｅ）＝０， 所 剩 數(shù) 據(jù) 缺 失 數(shù) 據(jù) Ｃｏｖ（ｅ）＝σ２Σ，其中Σ 為正定陣，Ｘ 為已知的ｎｐ 階設(shè)計(jì)矩陣，β 為ｐ１ 維 未 知 參 數(shù)， 則β 的 廣 義 ｔ（ｒ ｔ（ｒ … ｔ（ｒ ｔ（ｒ ） ０） １） ｍ－１） ｍ ｔ（ｒ ＋１）， ｔ（ｒ ＋１）， ０ ｍ－１ 最小二乘 估 計(jì) 為＾＝ （ＸＴΣ－１Ｘ）－１ＸＴΣ－１Ｙ， 且 當(dāng) ， ， ｔ ｔ（ｒ ＋２） β … （ｒ ＋２） ０ ｍ－１ ｅ～Ｎ（０，σ２Σ）時(shí)，有＾～Ｎ（，σ２（ＸＴΣ－１Ｘ）－１）． … ，ｔ（ｒ －１）

11、 … ，ｔ（ｒ －１） β β １ ｍ 引理３［１３］ 設(shè) ｛Ｚ Ｕ 是 兩 個(gè) 隨 機(jī) 變 量 序 ｎ ｝，｛ ｎ ｝ ２） 基于指數(shù)分布的若干樣本分位數(shù)， 建立線 性回歸模型，求得廣義最小二乘解，進(jìn)而證明此解 是參數(shù)的漸近正態(tài)且漸近無(wú)偏估計(jì)量 由引理１及得到的分位數(shù)知：當(dāng)ｎ→ ∞時(shí)， Ｌ Ｐ 列，Ｚ 為隨機(jī)變量，ｃ為常數(shù)，Ｚｎ →Ｚ，Ｕｎ →ｃ， 則有 Ｌ １）Ｚｎ ＋Ｕｎ →Ｚ＋ｃ； Ｌ 槡ｎ（Ｙ１ －ξ１，Ｙ２ －ξ２，…，Ｙｋ －ξｋ）Ｔ → Ｎ （０′，Λ）， （１） Ｌ ２）ＵｎＺｎ →ｃＺ； Ｌ ３）Ｚｎ／Ｕｎ 

12、→Ｚ／ｃ，ｃ≠０． 線性回歸模型及模型參數(shù)的漸近估計(jì) 此處０Ｔ ＝ （０，０，…，０）１ｋ，Λ＝ （λｉ ） ， 其 中 ＝ λｉｊ ｊ ｋｋ ｐｉ（１－ｐｊ）＝ η ２ｐｉ 令 ２ ，１≤ｉ≤ｊ≤ｋ，λ λ ｊｉ ＝ ｉｊ ． σｉｊ ｆ（ξｉ）ｆ（ξｊ） １－ｐｉ 數(shù)據(jù)缺失場(chǎng)合指數(shù)分布參數(shù)的漸近估計(jì) 設(shè)產(chǎn)品的壽命ｔ服從兩參數(shù)指數(shù)分布， 其分布 函數(shù)和分布密度分別為： ＝ ｐｉ ，Σ＝ （σ ２．１ ｉｊ ）ｋｋ， ，ｉ ｉ， １≤ｉ≤ｊ≤ｋ ｅ ＝Ｙ －ξ ｉ ｎ（１－ｐｉ） 則Ｙｉ＝ξｉ＋ｅｉ，即Ｙｉ＝μ＋η［－ｌｎ（１－ｐ

13、ｉ）］＋ｅｉ，ｉ＝ １，２，…，ｋ，Ｙ ＝ （Ｙ１，Ｙ２，…，Ｙｋ ）Ｔ ，１ｋ ＝ （１，１，…， Ｆ（ｔ）＝１－ｅｘｐ（－ ｔ－μ ）， １ｋ，Ｘｋ ＝ （ｘ１，ｘ２，…，ｘｋ ） ， 其 中 ｘｉ ＝ －ｌｎ（１－ １）Ｔ Ｔ η ）， ，，…，， （ ， ）， （ ，）Ｔ ， （ ， ｐ ｉ＝１２ ｋ Ｘ＝ １ｋ Ｘｋ ＝ ｅ＝ ｅ１ ｆ（ｔ）＝ １ ｘｐ（－ ｔ－μ ），ｔ≥μη ＞ β μ η ｉ ０， ｅ η Λ η ｅ２，…，ｅｋ）Ｔ ．由（１）式可知，ｅ～ＡＮ （０， ）， 亦即 ｎ 其中μ 為位置參數(shù)，η 為刻度參

14、數(shù)． 現(xiàn)假定有ｎ 個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行壽命試驗(yàn)，其次序失效 數(shù)據(jù)為ｔ（１）≤ｔ（２）≤ …≤ｔ（ｎ）．考慮如下情形： 上述ｎ 個(gè)數(shù)據(jù)由于某種原因使得若干個(gè)數(shù)據(jù)缺失，只剩下 ｅ～ＡＮ（０η ２Σ）． 利用上述結(jié)果，建立線性回歸模型Ｙ＝Ｘβ＋ｅ， Ｅ（ｅ）＝０，Ｃｏｖ（ｅ）＝η ２Σ． 由引理２ 得到 的漸近廣 β 義最小二乘估計(jì)為＾ ，且 β＝（Ｘ Σ Ｔ －１ －１ＸＴΣ－１Ｙ Ｘ） ｍ 個(gè) 數(shù) 據(jù)， 設(shè) 剩 下 的 數(shù) 據(jù) 為 ０—Δｔ ≤ … （ｒ ）≤ｔ （ｒ ） ≤ ０ １ ＾ （， （ ２ Ｔ －１ －１ ） ）， ～ ＡＮ

15、 Ｘ Σ Ｘ ｍ ）， 下面用表１具體說(shuō)明． β βη ｔ（ｒ ｒ０＝０． Ｔ －１１ １Ｔ －１ １ｋΣ ｋ ｋΣ Ｘｋ 為了具體說(shuō)明參數(shù)漸近估計(jì)的方法，我們分以 下三步進(jìn)行． １）獲得樣本分位數(shù)及相應(yīng)的總體分位數(shù) 適當(dāng)取 定 一 組 正 數(shù) ｐ１，ｐ２，…，ｐｋ， 使 其 滿 足 ［ Ｔ －１１ ＸＴ －１ ］ ＸＴΣ－１Ｘ ＝ ， ＸｋΣ ｋ ｋΣ Ｘｋ Ｔ －１ Ｔ －１１ ＸｋΣ Ｘｋ －ＸｋΣ ｋ （ＸＴΣ－１Ｘ）－１ ＝ １ ［ ］ ， Δｋ Ｔ －１ Ｔ －１ ｋ

16、 －１ｋΣ Ｘｋ １ｋΣ １ 其中 １，ｉ＝１，２，…，ｋ，其中［ｎｐｉ］為不超過(guò)ｎｐｉ 的最大整 Δｋ ＝ ｄｅｔ（ＸＴΣ－１Ｘ）， ｉ ［ｊ＝１ ］ 數(shù)， 這里可取ｐｉ ＝ ［ｎ＋１］．記Ｙｉ 為 ∑ｒｊ ＋ｉ ｋ１ｋ ）Σ－１ Ａｋ ＝ Σ Ｘ ｋ －Ｘ ， Δｋ 樣本的ｐｉ 分位數(shù)，即Ｙｉ＝ｔ（ｎ ），ｉ＝１，２，…，ｋ．這樣 ｉ Ｔ －ＸｋＡｋＹ 得到的樣本分位數(shù)恰是已經(jīng)觀測(cè)到的ｋ 個(gè)產(chǎn)品的次 ［１ｋＡｋＹ ］ 所以＾＝ ．因此得到 ， 的漸近廣義最

17、 β μη 序失效數(shù) 據(jù) 或 其 中 的 一 部 分 數(shù) 據(jù) 為 總 體 的 ．ξｉ ｐｉ 小二乘 估 計(jì) 為：μ＾＝ －ＸＴＡ Ｙ，＾＝１ＴＡ Ｙ． 令 Ｃ＝ 分位數(shù)，即Ｆ（ ） ， ， ，…， 由 該 分 布 的 η ξｉ ＝ｐｉ ｉ＝１ ２ ｋ． ｋ ｋ ｋ ｋ ，則有 （ｃｉｊ ）２２＝（Ｘ Σ Ｔ －１ －１ Ｘ） 密度函數(shù) 和 分 布 函 數(shù) 得ξｉ ＝μ＋η［－ｌｎ（１－ｐｉ）］， ＾ β ～ ＡＮ β，η ２Ｃ），＾ μ ～ ＡＮ （ ，２ｃ１１）， μη １－ｐｉ ，ｉ＝１，２，…，ｋ． 第

18、二、 三 步 與 數(shù) 據(jù) ｆ（ξｉ）＝ η＾ ～ ＡＮ （η，ηｃ２２）． ２ （２） η 缺失場(chǎng)合完全相同． 表２ 故μ＾，η＾ 分別為μ，η 的漸近正態(tài)且漸近無(wú)偏估計(jì)量． ３） 構(gòu)造μ，η 的漸近區(qū)間估計(jì) 對(duì)于給定的 置 信 水 平α（０＜α＜１），Ｚ～Ｎ （０， １）．由（２）式 知，η 的 置 信 度 為 １－α 的 漸 近 區(qū) 間 分組數(shù)據(jù)一覽表 Ｔａｂ１ Ｌｉｓｔｏｆｇｒｏｕｐｅｄｄａｔａ 觀 測(cè) 到 的 失 效 數(shù) 據(jù) … ｔ１ ｔ２ ｔｋ η＾－η 為滿足不等式－Ｚα／２≤ ≤Ｚα／２（其中 Ｚα／２ 為標(biāo) 時(shí) 間 區(qū) 間 失

19、 效 個(gè) 數(shù) （０，ｔ ｒ１ １） （１ ，２） … … （ｋ－１ ，ｋ ） ｔ ｔ ｒ２ ｔ ｔ ｒｋ η 槡ｃ２２ 準(zhǔn)正態(tài)分布的α／２上側(cè)分位數(shù)）的η 所構(gòu)成的區(qū)間， 解得η 的置信度為１－α 的漸近區(qū)間為 定數(shù)截尾指數(shù)分布參數(shù)的漸近估計(jì) 設(shè)產(chǎn)品的壽命服從上述兩參數(shù)指數(shù)分布．假定 有ｎ 個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行壽命試驗(yàn)，到有ｒ 個(gè)產(chǎn)品失效時(shí)停 止試驗(yàn)，得到次序失效數(shù)據(jù)為ｔ（１）≤ｔ（２）≤ …≤ｔ（ｒ）． 第一步．適當(dāng)取定一組正數(shù) ｐ１，ｐ２，…，ｐｋ， 使 其滿足０＜ｐ１＜ｐ２＜ …ｐｋ ＜１， 且使ｎｉ＝ ［ｎｐｉ］＋１， ｉ＝１，２，…，ｋ，其中［ｎｐｉ］為不

20、超過(guò)ｎｐｉ 的最大整數(shù)， ２．３ η＾ η＾ ［１＋ 槡ｃ２２Ｚα／２ １－ 槡ｃ２２Ｚα／２ ］ ， ． 由（２）式可得，η＾ →η， 再由引理３ 得 μ＾－μ → Ｐ Ｌ η＾ 槡ｃ１１ Ｎ （０，１），從而μ 的置信度為１－α 的漸近區(qū)間為滿 μ＾－μ 足不等式－Ｚα／２≤ ≤Ｚα／２的μ 所構(gòu)成的區(qū)間， η＾ 槡ｃ１１ ｎｉ （ ｎ＋１ ） ｛ｎ１，ｎ２，…，ｎｋ ｝ ｛１，２，…，ｒ｝ 可 取 ｐｉ ＝ ． 所以μ 的置信度為１－α 的漸近區(qū)間為 記Ｙｉ 為樣本的ｐｉ 分位數(shù)，即Ｙｉ＝ｔ（ｎ ），ｉ＝１，２，…， ［μ＾－

21、 槡ｃ１１η＾Ｚα／２，μ＾＋ 槡ｃ１１η＾Ｚα／２］． 分組數(shù)據(jù)場(chǎng)合指數(shù)分布參數(shù)的漸近估計(jì) 設(shè)產(chǎn)品的壽命服從上述兩參數(shù)指數(shù)分布．現(xiàn)隨 ｉ ｋ；ξｉ 為總體的ｐｉ 分 位 數(shù)， 即 Ｆ（ξｉ）＝ｐｉ，ｉ＝１，２， …，ｋ．由（１）式解得ξｉ＝μ＋η［－ｌｎ（１－ｐｉ）］，ｆ（ξｉ） ２．２ 機(jī)抽?。?個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行壽命試驗(yàn)，只對(duì)其中ｋ 個(gè)產(chǎn)品 進(jìn)行跟蹤觀測(cè)，得到的次序失效數(shù)據(jù)為ｔ１ ≤ｔ２ ≤ … ≤ｔｋ，其它的只需知道失效的時(shí)間區(qū)間， 不必知道 失效的確切時(shí)間． 這樣就得到一組混合分組數(shù)據(jù)， 如表２．顯然，已觀測(cè)到的次序失效數(shù)據(jù)為：ｔ１ ＝ １－ｐｉ ，ｉ＝１，

22、２，…，ｋ．第二、 三步與數(shù)據(jù)缺失場(chǎng) ＝ η 合完全相同． Ｍｏｎｔｅ－Ｃａｒｌｏ模擬 下面以數(shù)據(jù)缺失場(chǎng)合指數(shù)分布參數(shù)的漸近估計(jì) 為例進(jìn)行 Ｍｏｎｔｅ－Ｃａｒｌｏ模擬，分組數(shù)據(jù)、 截尾樣本 場(chǎng)合模擬類 似． 取 樣 本 容 量 ｎ＝１００， 參 數(shù) 為 μ＝ ３ ，而次序失效 ｔ（ｒ ＋１），ｔ２ ＝ｔ（ｒ ＋ｒ ＋２），…，ｔｋ ＝ｔ ｋ ） ｉ ｋ ｉ＝１ 數(shù) 據(jù) ｔ（１） ，…， ； ，…， ；…； ， ｔ（ｒ ） ｔ（ｒ ＋２） ｔ（ｒ ＋ｒ ＋１） ｔ ｋ－１ ） ｉ ｋ ｉ＝１ 的 指 數(shù) 分 布 在 不同數(shù)據(jù)缺失場(chǎng)合 分

23、 別 ，η １００ ＝４ ． 未被觀測(cè)到． …，ｔ ｋ ） 進(jìn)行１００００ 次 模 擬， 考 查 各 參 數(shù) 估 計(jì) 的 均 值、 標(biāo) 準(zhǔn)差和均方誤差，結(jié)果見(jiàn)表３～５． 從表 ３～５ 可 以 看 出， 在 中 等 樣 本 容 量 下，μ 的估計(jì)精度最高，η 的精度次之， 參數(shù)的近似置信 區(qū)間覆蓋真 值 的 比 例 均 大 于 ９５％， 與 名 義 置 信 水 １ ｉ＝１ 我們?nèi)苑秩竭M(jìn)行 ， 與上述數(shù)據(jù)缺失場(chǎng)合方法 類似，關(guān)鍵在于第一步中樣本分位數(shù)的選取． 第一 步． 適 當(dāng) 取 定 一 組 正 數(shù) ｐ１，ｐ２，…，ｐｋ， 使其滿足０＜ｐ１＜ｐ２＜ …ｐｋ

24、 ＜１， 且使ｎｉ＝ ［ｎｐｉ］＋ 平一致．可見(jiàn)，該方法簡(jiǎn)單、穩(wěn)定、有效． 表３ 缺失６ 個(gè)數(shù)據(jù)的情況 Ｔａｂ３ Ｔｈｅｏｃｃａｓｉｏｎｏｆｔｈｅｓｉｘｍｉｓｓｉｎｇｄａｔａ 利用樣本分位數(shù)法求得參數(shù)μ，η 的漸近廣義最 小二乘估計(jì)＾＝１７５．３，＾＝１３００， 置信水平為９５％ μ η 的近似 置 信 區(qū) 間 分 別 為 ［１０６．８０４０，２４３．８３９４］， ［９９９．７４９８，１８５８］，區(qū)間較短，應(yīng)用效果較好． 數(shù) 據(jù) 缺 失 情 況 ｔ（２），ｔ（１８），ｔ（３５），ｔ（７９），ｔ（８９） 結(jié)束語(yǔ) 真 值

25、 均 值 標(biāo) 準(zhǔn) 差 均 方 誤 差 區(qū) 間 估 計(jì) （α＝０．０５） 區(qū) 間 覆 蓋 真 值 的 比 例 μ＝１００ １００．００１２ ０．０４２２ ０．００１８ η＝４ ３．９１６２ ０．３９７７ ０．１６５２ ５ 利用樣本分位數(shù)求參數(shù)點(diǎn)估計(jì)以及區(qū)間估計(jì)的 方法不僅適用于指數(shù)分布，還適用于其它分布，如 Ｗｅｉｂｕｌｌ分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、Ｌｏｇｉｓｔｉｃ分布等． 參考文獻(xiàn)： ［９９．８９７４，１００．１０５１］ ［３．２５４３，４．９１６１］ ９６．８５％ ９５．５８％ ［１］ 田霆， 劉次華． 定時(shí)截尾缺失 數(shù)據(jù)下指數(shù)分布的統(tǒng) 計(jì)推斷

26、 ［Ｊ］． 電子產(chǎn)品可靠性與環(huán)境試 驗(yàn)，２００５， ２６（６）：１５－１８． 表４ 缺失２０ 個(gè)數(shù)據(jù)的第一種情況 Ｔａｂ４ Ｔｈｅｆｉｒｓｔｏｃｃａｓｉｏｎｏｆｔｈｅ２０ ｍｉｓｓｉｎｇｄａｔａ ｔ（５），ｔ（１０），ｔ（１５），ｔ（２０），ｔ（２５），ｔ（３０），ｔ（３５），ｔ（４０）， ｔ（４５），ｔ（５０），ｔ（５５），ｔ（６０），ｔ（６５），ｔ（７０），ｔ（７５），ｔ（８０）， 數(shù) 據(jù) 缺 ［ ］ 王乃生， 王玲 玲 定 數(shù) 截 尾 數(shù) 據(jù)缺失場(chǎng)合下指數(shù)分 ２ ． 布參 數(shù) 的 Ｂａｙｅｓ 估 計(jì) ［Ｊ］． 應(yīng) 用 概 率 統(tǒng) 計(jì)，２００１， １７（３）

27、：２２９－２３５． 張莉． 分組數(shù)據(jù)在指數(shù)分布下的近似 極 大 似 然 估 計(jì) ［Ｊ］． 統(tǒng)計(jì)與決策，２００９（１７）：１５３－１５５． 王 炳 興． Ｗｅｉｂｕｌ分布的統(tǒng)計(jì)推斷 ［Ｊ］． 應(yīng) 用 概 率 統(tǒng) 計(jì)，１９９２，８（４）：３５７－３６４． 王炳興， 王玲 玲． 指 數(shù) 分 布 場(chǎng) 合下基于分組數(shù)據(jù)和 雙 向刪失數(shù)據(jù)的區(qū)間估計(jì) ［Ｊ］． 應(yīng) 用 概 率 統(tǒng) 計(jì)， １９９３，９（４）：４１５－４２２． 徐曉 嶺． 定數(shù)截尾缺失數(shù)據(jù)下 Ｗｅｉｂｕｌｌ分 布 的 統(tǒng) 計(jì) 推斷 ［Ｊ］． 數(shù) 理統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用概 率，１９９７，１６（４）： ３６３－３７０． 王蓉華． 定數(shù)截尾缺失

28、數(shù) 據(jù) 下 兩 參 數(shù) ＷＥＩＢＵＬＬ 和 對(duì)數(shù)正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)推斷［Ｊ］． 上海師范大學(xué)學(xué)報(bào)： 自 然科學(xué)版，２００１，３０（３）：１９－２５． 王蓉華， 徐 曉 嶺． 缺 失 數(shù) 據(jù) 下 ＷＥＩＢＵＬＬ 分 布 的 統(tǒng) 計(jì) 推 斷 ［Ｊ］． 高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué) 報(bào)：Ａ 輯，１９９６， １１（２）：１８７－１９２． 失 情 況 ｔ（８５），ｔ（９０），ｔ（９５），ｔ（１００） 真 值 均 值 標(biāo) 準(zhǔn) 差 均 方 誤 差 區(qū) 間 估 計(jì) （α＝０．０５） 區(qū) 間 覆 蓋 真 值 的 比 例 μ＝１００ １００．００１２ ０．０４２５ ０．００１８ ［９９．９００３

29、，１００．１０２１］ η＝４ ３．９１２９ ０．３９７４ ０．１６５５ ［３．２５０３，４．９１４９］ ［３］ ［４］ ［５］ ９６．４８％ ９５．６５％ 表５ 缺失２０ 個(gè)數(shù)據(jù)的第二種情況 Ｔａｂ５ Ｔｈｅｓｅｃｏｎｄｏｃｃａｓｉｏｎｏｆｔｈｅ２０ ｍｉｓｓｉｎｇｄａｔａ ［６］ ｔ（５），ｔ（１０），ｔ（１５），ｔ（１８），ｔ（１９），ｔ（２０），ｔ（３５），ｔ（４０）， ｔ（４１），ｔ（４２），ｔ（４５），ｔ（６８），ｔ（６９），ｔ（７０），ｔ（８７），ｔ（８８）， ｔ（８９），ｔ（９０），ｔ（９４），ｔ（９９） 數(shù) 據(jù) 缺 失 情 況 ［７

30、］ 真 值 均 值 標(biāo) 準(zhǔn) 差 均 方 誤 差 區(qū) 間 估 計(jì) （α＝０．０５） 區(qū) 間 覆 蓋 真 值 的 比 例 μ＝１００ １００．００１２ ０．０４２５ ０．００１８ ［９９．９００２，１００．１０２２］ η＝４ ３．９１５９ ０．３９８２ ０．１６５６ ［３．２５１９，４．９２０６］ ［８］ ［９］ 魏艷華， 王 丙 參． 基 于 Ｌｏｇｉｓｔｉｃ 總 體 Ⅱ 型 截 尾 樣 本 分 布參數(shù)的漸近置信估計(jì) ［Ｊ］． 渤 海 大 學(xué) 學(xué) 報(bào)， ２００８，２９（１）：６０－６２． ９６．５０％ ９５．６４％ 實(shí)例分析 ［１０］ 魏艷華，

31、 王丙 參． 數(shù) 據(jù) 缺 失 場(chǎng)合對(duì)數(shù)正態(tài)分布參數(shù) 的漸近 置 信 估 計(jì) ［Ｊ］． 通化師范學(xué)院學(xué) 報(bào)，２００８， ２９（４）：９－１０． 陳 希 儒． 數(shù) 理 統(tǒng) 計(jì) 引 論 ［Ｍ］． 北 京： 科 學(xué) 出 版 社， １９９７：５３８－５４３． 王松桂， 陳敏， 陳 立 萍． 線 性 統(tǒng) 計(jì) 模 型： 線 性 回 歸 與方差 分 析 ［Ｍ］． 北 京： 高等教育出版社，１９９９： ５５－５６． 茆 詩(shī) 松， 王 靜 龍， 濮 曉 龍． 高 等 數(shù) 理 統(tǒng) 計(jì) ［Ｍ］． 北 京： 高等教育出版社，１９９８：４２． ４ 已知某種電子元件的使用壽命服從參數(shù)為μ，η 的指數(shù)分

32、布，現(xiàn)在從中抽取 ５０ 個(gè)元件進(jìn)行壽命測(cè) 試，由于試驗(yàn)設(shè)備、觀測(cè)手段等原因有６個(gè)數(shù)據(jù)缺 失（缺失的數(shù)據(jù)用“－”表示）， 獲得的數(shù)據(jù)如下（單 位：ｈ）：２１０２１３－２６７２７７３１５３２９３３６３３７４３１４４７ ４５６５４８５７１５７４６３２６５２－６９５７５３８２０８２９９０９ １００３１０３７１１４０１２６９１２８３１４０３１４２９１４４７１４６６ １５０４１６１０－１８０７１９３７２１３９２１７８２４３９２７０４２７０８ ３０１４－３３５９３６６５３８３９３８７０ － － ． ［１１］ ［１２］ ［１３］ （責(zé) 任 編 輯 馬 宇 鴻 ）