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1、江西省紅色七校2017屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學（理）試題
（分宜中學、蓮花中學、任弼時中學、瑞金一中、南城一中、遂川中學、會昌中學）
命題人：南城一中：高國才 瑞金一中：謝小平 會昌中學：云龍
第Ⅰ卷
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，總共60分，在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的。
1、已知集合則（ ）
A． B． C． D．
2、把復數(shù)的共軛復數(shù)記作，已知,（其中i為虛數(shù)單位），則復數(shù)在坐標平面內(nèi)對應的點在（ ）
A． 第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．
2、第一象限
3．下列說法正確的是（ ）
A．，“”是“”的必要不充分條件
B．“為真命題”是“為真命題”的必要不充分條件
C．命題“，使得”的否定是：“，”
D．命題：“，”，則是真命題
4.《九章算術》之后，人們學會了用等差數(shù)列的知識來解決問題，《張丘建算經(jīng)》卷上第22題為：“今有女善織，日益功疾（注：從第2天開始，每天比前一天多織相同量的布），第一天織5尺布，現(xiàn)一月（按30天計）共織390尺布”，則從第2天起每天比前一天多織（ ?。┏卟?
A． B. C. D.
5.已知是三角形的最大內(nèi)角，且，則
的值為（ ）
A.
3、 B．
C． D．
6.算法程序框圖如右圖所示，若，，，則輸出的結果是（ ）
A. B. C. D.
7、已知拋物線和所圍成的封閉曲線如圖所示，給定點，若在此封閉曲線上恰有三對不同的點，滿足每一對點關于點對稱，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
8、正方體的棱長為，半徑為的圓在平面內(nèi)，其圓心為正方形的中心， 為圓上有一個動點，則多面體的外接球的表面積為（ ）
A． B．
4、C． D．
9、直線分別與曲線，交于A，B，則的最小值為（ ）
A．3 B．2 C． D．
10. 設雙曲線的右焦點為，過點與軸垂直的直線交兩漸近線于，兩點，與雙曲線的其中一個交點為，設坐標原點為，若，且，則該雙曲線的漸近線為（ ）
A． B．
C． D．
11. 某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體
積為 （ ）
A．5 B．4 C． 3 D． 2
12、若函數(shù)有兩個極值點，
其中，且，則方程的實根個數(shù)為（
5、）
A．3 B．4 C．5 D．6
第II卷
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分
13、過平面區(qū)域內(nèi)一點P作圓O：x2+y2=1的兩條切線，切點分別為A，B，記∠APB=α，當α最小時，此時點P坐標為 ．
14.函數(shù)的圖象在上恰有兩個點的縱坐標為，則實
數(shù)的取值范圍是 ．
15、已知展開式的常數(shù)項為15，則______．
16、已知正實數(shù)滿足，則的最小值為 .
三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17、（本小題滿分10分）如圖，在△ABC
6、 中，點D在邊 AB上，且．記∠ACD＝ ，
∠BCD＝．
（Ⅰ）求證： ；
（Ⅱ）若，求BC 的長．
18.（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項和，，數(shù)列滿足.
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）是否存在正實數(shù)，使得為等比數(shù)列？并說明理由.
19、（本小題滿分12分）計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和，單位：億立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年.將年入流量在以上三段
7、的頻率作為相應段的概率，并假設各年的年入流量相互獨立．
（Ⅰ）求在未來4年中，至多1年的年入流量超過120的概率；
（Ⅱ）水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量限制，并有如下關系；
年入流量
發(fā)電機最多可運行臺數(shù)
1
2
3
若某臺發(fā)電機運行，則該臺發(fā)電機年利潤為5000萬元；若某臺發(fā)電機未運行，則該臺發(fā)電機年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發(fā)電機多少臺？
20、（本小題滿分12分）如圖，已知長方形中，，為的中點． 將沿折起，使得平面平面．
（Ⅰ）求證：；
A
（第20題）圖
8、）
（Ⅱ）若，當二面角大小為時，求的值．
21、（本小題滿分12分）已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，短軸長為2，且兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點．過右焦點與軸不垂直的直線交橢圓于兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當直線的斜率為1時，求的面積；
（3）在線段上是否存在點，使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．
22、（本小題滿分12分）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：當時，；
(3)若函數(shù)有兩個零點，，比較與的大小，并證明你的結論。
9、
江西省紅色七校2017屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學（理）參考答案：
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
A
D
B
C
D
A
D
C
A
C
13.(-4，-2) 14. 15. 16.6
17.解：（Ⅰ） 在中，由正弦定理，有
在中，由正弦定理，有
因為，所以
因為， 所以……………………..5
（Ⅱ）因為，，由（Ⅰ）得
設，由余弦定理，
代入，得到，
解得，所以．……………………..10
18. 由題意知…..2
兩式相減可得，由于，可得，所以的公差為2，故…………………
10、….6
（Ⅱ）由題設， ，兩式相除可得，即和都是以4為公比的等比數(shù)列.因為所以，由及，可得，又，所以.……………………..9
所以，即，則，
因此存在，使得數(shù)列為等比數(shù)列. ……………………..12
20、（Ⅰ）由于，則，
又平面平面，平面平面＝，
平面，故平面．
又平面，從而有． …………………..5
（Ⅱ）（方法一）過點E作MB的平行線交DM于F，
由平面得平面ADM;
在平面ADM中過點F作AM的垂線，垂足為H，連接HE，
則即為二面角的平面角，大小為．
設，則在中，
11、由，則．
．
故當二面角大小為時，，即．…………………..12
A
（方法二）以為原點，所在直線為軸，軸，建立如圖所示空間直角坐標系，
，，，，
且，
所以，，
設平面的法向量為，則
，，
所以，．
又平面的法向量為，
所以，，解得或（舍去）．
所以，．
21.解：（1）設橢圓方程為，
根據(jù)題意得 所以，
所以橢圓方程為；…
12、………………..2
（2）根據(jù)題意得直線方程為，
解方程組得坐標為， 計算，
點到直線的距離為， 所以，；………………….6
（3）假設在線段上存在點,使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形．因為直線與軸不垂直，所以設直線的方程為．
坐標為，
由得，，
，
計算得：，其中，
由于以為鄰邊的平行四邊形是菱形，所以，
計算得， 即， ， 所以.…………………..12
（可以設點，也可以設直線得到和的函數(shù)關系式）
22.解：(1)①時，f(x)在(0,1)上遞增，在上遞減；
②時，f’(x)=0的兩根為
A. ，即時，f(x)在上遞增；
B. ，即時，f(x)在上遞增，上遞減，上遞增；
且，故此時f(x)在上有且只有一個零點.
C. ，即時，f(x)在上遞增，上遞減，上遞增；
且，故此時f(x)在上有且只有一個零點.
綜上所述：時，f(x)在上遞增，上遞減，上遞增；
時，f(x)在上遞增；
時，f(x)在上遞增，上遞減，上遞增；
時，f(x)在上遞增，在上遞減；
(2)
設
∴
∴在上單調(diào)遞減
∴得證.
(3)由(1)知，函數(shù)要有兩個零點，則
∴ 又
不妨設
∴由(2)得，又因為所以
∴ ∴ ∴。（也可以證得到。還可以用點差法來求）
江西省紅色七校高三上學期第一次聯(lián)考理科數(shù)學試題及答案
