河北省石家莊市2024屆高三下學期高考模擬預測 數(shù)學試題【含答案】

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1、 2024年河北省石家莊市高考數(shù)學模擬試卷附解析 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．集合中的最大負角為（???） A． B． C． D． 2．已知，則的虛部為（????） A． B． C． D．2 3．已知平面內(nèi)的向量在向量上的投影向量為，且，則的值為（????） A． B．1 C． D． 4．設正項等比數(shù)列的前n項和為，，且，，成等差數(shù)列，則與的關系是（????） A． B． C． D． 5．已知變量x和y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表： x 1 2 3 4 5 y 6 6 7 8 8

2、根據(jù)上表可得回歸直線方程，據(jù)此可以預測當時，（　?。? A．8.5 B．9 C．9.5 D．10 6．現(xiàn)將四名語文教師，三名心理教師，兩名數(shù)學教師分配到三所不同學校，每個學校三人，要求每個學校既有心理教師又有語文教師，則不同的安排種數(shù)為（????） A．216 B．432 C．864 D．1080 7．已知橢圓為左?右焦點，為橢圓上一點，，直線經(jīng)過點.若點關于的對稱點在線段的延長線上，則的離心率是（????） A． B． C． D． 8．已知函數(shù)，，則下列命題不正確的是（????） A．有且只有一個極值點 B．在上單調(diào)遞增 C．存在實數(shù)，使得 D．有最小值 二、選擇題：本題共3

3、小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分. 9．下列說法中，正確的是（????） A．一組數(shù)據(jù)10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第40百分位數(shù)為12 B．兩組樣本數(shù)據(jù)，，，和，，，的方差分別為，，若已知（），則 C．已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則 D．已知一系列樣本點（）的回歸方程為，若樣本點與的殘差（殘差＝實際值－模型預測值）相等，則 10．若關于x的不等式在上恒成立，則實數(shù)a的值可以是（????） A． B． C． D．2 11．已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，其導函數(shù)

4、為，且滿足，，則（ ） A．的圖像關于點成中心對稱 B． C． D． 三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分. 12．已知集合，若集合恰有兩個元素，則實數(shù)的取值范圍是 . 13．已知分別為雙曲線的左、右焦點，過與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線于點，若，則雙曲線的離心率為 . 14．如圖，在梯形中，，將沿直線翻折至的位置，，當三棱錐的體積最大時，過點的平面截三棱錐的外接球所得的截面面積的最小值是 . 四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 15．已知函數(shù)

5、在處的切線為軸． (1)求的值； (2)求的單調(diào)區(qū)間． 16．如圖，三棱錐中，為線段的中點. (1)證明：平面平面； (2)設，求直線與平面所成角的正弦值. 17．有無窮多個首項均為1的等差數(shù)列，記第個等差數(shù)列的第項為，公差為. (1)若，求的值； (2)若為給定的值，且對任意有，證明：存在實數(shù)，滿足，； (3)若為等比數(shù)列，證明：. 18．設橢圓E：經(jīng)過點，且離心率，直線垂直x軸交x軸于T，過T的直線l1交橢圓E于，兩點，連接，，． (1)求橢圓E的方程； (2)設直線PA，PB的斜率分別為，． （?。┣蟮闹担? （ⅱ）如圖：過P作x軸的垂線l，過A作PT

6、的平行線分別交PB，l于M，N，求的值． 19．在函數(shù)極限的運算過程中，洛必達法則是解決未定式型或型極限的一種重要方法，其含義為：若函數(shù)和滿足下列條件： ①且（或，）； ②在點的附近區(qū)域內(nèi)兩者都可導，且； ③（可為實數(shù)，也可為），則． (1)用洛必達法則求； (2)函數(shù)（，），判斷并說明的零點個數(shù)； (3)已知，，，求的解析式． 參考公式：，． 1．C 【分析】利用任意角的定義與集合所表示的角即可得解. 【詳解】因為， 所以集合中的最大負角為. 故選：C. 2．D 【分析】利用復數(shù)的乘方運算和四則運算法則求出復數(shù)，繼而得的虛部. 【詳解】由， 則，的

7、虛部為2. 故選：D. 3．A 【分析】先根據(jù)條件，確定向量的夾角，再根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)求模. 【詳解】因為，又， 所以. 所以：， 所以. 故選：A 4．A 【分析】先利用等比數(shù)列的通項公式列方程求公比，然后求出和觀察它們之間的關系即可. 【詳解】設正項等比數(shù)列的公比為， 因為，，成等差數(shù)列，所以， 所以，解得， 所以，， 則. 故選：A. 5．D 【分析】根據(jù)給定的數(shù)表，求出樣本的中心點，進而求出即可得解. 【詳解】依題意，，， 即樣本的中心點為，于是，解得，即， 當時，預測. 故選：D 6．B 【分析】根據(jù)給定條件，利用分步乘法計數(shù)原理，

8、結合分組分配列式計算得解. 【詳解】求不同的安排種數(shù)需要分成3步，把3名心理教師分配到三所學校，有種方法， 再把4名語文教師按分成3組，并分配到三所學校，有種方法， 最后把2名數(shù)學教師分配到只有1名語文教師的兩所學校，有種方法， 由分步乘法計數(shù)原理得不同的安排種數(shù)為. 故選：B 7．B 【分析】根據(jù)題意，得到點與點關于對稱，從而，在中，利用正弦定理得到，結合，即可求解. 【詳解】由直線，且點關于的對稱點在線段的延長線上， 如圖所示，可得點與點關于對稱，且, 故在中，則,故 又的傾斜角為，則， 故在中，有，，， 又由，可得， 即， 又因為， ， 所以. 故選

9、：B. 8．C 【分析】由條件可得函數(shù)可以看作為函數(shù)與函數(shù)的復合函數(shù)，然后求導判斷其單調(diào)性與極值，即可得到結果. 【詳解】由得，令， 則函數(shù)可以看作為函數(shù)與函數(shù)的復合函數(shù)， 因為為增函數(shù)，所以與單調(diào)性、圖象變換等基本一致，， 由得，列表如下： － 0 ＋ 由表知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 在時，取得極小值（最小值）， 所以在上單調(diào)遞增，即B正確； 在時，取得唯一極值（極小值，也是最小值），即A、D都正確，C錯誤. 故選：C 9．BC 【分析】A選項，根據(jù)百分位數(shù)的運算公式得到答案；B選項，利用平均數(shù)定義得到，根據(jù)方差的

10、計算公式得到；C選項，由正態(tài)分布的對稱性得到C正確；D選項，由題意得到，得到D錯誤. 【詳解】A選項，，故從小到大從第4個和第5個數(shù)的平均數(shù)作為第40百分位數(shù)，即，A錯誤； B選項，，， 因為，（），故， 故， ， 故，B正確； C選項，因為，， 關于對稱，所以，C正確； D選項，由題意得，整理得，D錯誤. 故選：BC 10．AB 【分析】根據(jù)題意分和兩種情況討論， 當時，有，通過求導，判斷函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的最值得出結論驗證；當時，令，求導判斷出函數(shù)存在零點設為，即可判斷，最后綜合得出的取值范圍. 【詳解】依題意，在上恒成立，當時，， 令，則，， 故

11、當時，，當時，， 故，故，則不等式成立； 當時，令，因為， ，故在內(nèi)必有零點，設為，則， 則，故，不合題意，舍去； 綜上所述，. 故選：AB. 【點睛】恒成立問題求參數(shù)注意分類討論； 適當?shù)臉嬙旌瘮?shù)通過函數(shù)的最值分析參數(shù)的取值. 11．BCD 【分析】對A、B，利用賦值法進行計算即可得；對C、D，利用賦值法后結合數(shù)列的性質(zhì)進行相應的累加及等差數(shù)列公式法求和即可得. 【詳解】對A：令，則有，即， 令，則有，又，故，不關于對稱，故A錯誤； 對于B，令，則有， 兩邊同時求導，得， 令，則有，故B正確； 對C：令，則有，即， 則 ，故C正確； 對D：令，則有，即，

12、 則，即， 又，故， 則，故D正確. 故選：BCD. 【點睛】關鍵點點睛：本題C、D選項關鍵在于利用賦值法，結合數(shù)列的性質(zhì)進行相應的累加及等差數(shù)列公式法求和. 12． 【分析】解二次不等式化簡集合，再利用二次不等式解的形式與交集的結果即可得解. 【詳解】因為， ， 又集合恰有兩個元素， 所以恰有兩個元素1和2，所以. 故答案為：. 13． 【分析】設過與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線于點，運用雙曲線的定義和條件可得，，，再由漸近線的斜率和余弦定理，結合離心率公式，計算即可得到所求值． 【詳解】解：設過與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線于點， 由雙曲線的

13、定義可得， 由，可得，，， 由可得， 在三角形中，由余弦定理可得： ， 即有， 化簡可得，， 則雙曲線的離心率． 故答案為． 【點睛】本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用雙曲線的漸近線方程和定義法，以及余弦定理，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題． 14． 【分析】當三棱錐的體積最大時，此時到底面的距離最大，即此時平面平面，取的中點，的中點，是三棱錐的外接球球心，當且僅當過點的平面與垂直時，截外接球的截面面積最小， 此時，截面的圓心就是點，從而求解. 【詳解】當三棱錐的體積最大時，由于底面的面積是定值， 所以此時到底面的距離最大，平面平面， 且平面平面， 取的

14、中點，則，故平面， 取的中點，則，又，且，則， 又∵， 故是三棱錐的外接球球心，且該外接球的半徑； 顯然，當且僅當過點的平面與垂直時，截外接球的截面面積最小， 此時，截面的圓心就是點，記其半徑為，則； 由于，平面，所以平面， 而平面，則，則， 在中，，故； 又，故，又， 故由余弦定理有， ∴，故所求面積為. 故答案為： 【點睛】關鍵點點睛：取的中點，由，確定點是三棱錐的外接球球心. 15．(1)， (2)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為 【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，依題意可得且，即可得到方程組，解得即可； （2）求出函數(shù)的導函數(shù)，再利用導數(shù)說明的單調(diào)

15、性，即可求出的單調(diào)區(qū)間. 【詳解】（1）因為，所以， 依題意且， 所以，解得. （2）由（1）可得函數(shù)的定義域為， 又， 令，則，所以（）在定義域上單調(diào)遞增， 又，所以當時，當時， 所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為. 16．(1)證明見解析 (2) 【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的三線合一及全等三角形的性質(zhì)，利用線面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即可求解； （2）利用線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，分別求出直線的方向向量與平面的法向量，利用向量的夾角公式，結合向量的夾角與線面角的關系即可求解. 【詳解】（1）因為，為線段的

16、中點， 所以 因為，，， 所以， 故AB． 又為線段的中點， 所以． 又，平面. 所以平面 又平面， 所以平面平面． （2）取的中點，連接，， 因為為中位線，所以， 又，所以． 因為，為的中點，所以． 又，平面， 所以平面，平面， 所以， 因為，為的中點， 所以， 又，平面， 所以平面． 以為坐標原點，分別以、、所在的直線為、、軸，建立空間直角坐標系，如圖所示 設，， 則，，， ，， 由，解得． 所以. 又平面的法向量． 設直線與平面所成角為，則 , 所以直線與平面所成角為. 17．(1)； (2)證明見解析 (3)證明見

17、解析 【分析】（1）代入等差數(shù)列的通項公式，即可求解； （2）根據(jù)已知條件，代入等差數(shù)列的通項公式，得到數(shù)列的遞推公式，再通過構造得到數(shù)列的通項公式，并根據(jù)（1）的結果，證明等式； （3）根據(jù)題意，結合等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合應用，首先證明，再利用求和，即可證明. 【詳解】（1）由題意得， 又， 所以； （2）證明：因為 ， 所以，即， 所以， 因此， 所以， 又，即， 因此， 所以存在實數(shù)，滿足； （3）證明：因為為等比數(shù)列， 所以，其中為的公比， 于是， 當時， ， 因為， 因此，又， 所以， 因此， 即， 所以. 【點睛】關鍵點

18、點睛：本題的關鍵是利用題意，并能正確表示和公差為. 18．(1) (2)（i）2；（ii）1 【分析】（1）根據(jù)條件，列出關于的方程組，利用待定系數(shù)法，即可求解； （2）（?。┦紫仍O直線的方程，并聯(lián)立橢圓方程，轉化為關于斜率的一元二次方程，利用韋達定理，即可求解； （ⅱ）首先設直線的傾斜角分別為,根據(jù)正弦定理利用角表示邊長，，再求比值，利用（?。┑慕Y論，即可求解. 【詳解】（1）由題意知 解得， 所以橢圓E的方程為； （2）（ⅰ）易知，，，， 設直線的方程為，由直線過知， 聯(lián)立方程 得， 變形得：， 即； （ⅱ）設直線的傾斜角分別為, 則，，，,，， 在

19、中，， 在中，， 所以 由知，，即， 故. . 【點睛】關鍵點點睛：本題第一問的轉化比較巧妙，轉化為關于斜率的方程，利用韋達定理即可求解，第二問巧妙設傾斜角，利用三角函數(shù)表示的值. 19．(1) (2)僅在時存在1個零點，理由見解析 (3) 【分析】（1）利用洛必達法則求解即可； （2）構造函數(shù)，結合的單調(diào)性求解即可； （3）利用累乘法求出的表達式，然后結合，利用洛必達法則求極限即可. 【詳解】（1） （2），， 所以，． 當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減， 當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增， ，， 當時，，所以僅在時存在1個零點． （3），所以，，…， 將各式相乘得， 兩側同時運算極限，所以， 即， 令，原式可化為，又， 由（1）得， 故，由題意函數(shù)的定義域為， 綜上， 【點睛】方法點睛：本題考查新定義，注意理解新定義，結合洛必達法則的適用條件，構造函數(shù)，從而利用洛必達法則求極限.