（課標通用版）高考數學大一輪復習 第九章 平面解析幾何 第5講 第1課時 橢圓及其性質檢測 文-人教版高三全冊數學試題

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1、第5講 第1課時 橢圓及其性質 [基礎題組練] 1．已知正數m是2和8的等比中項，則圓錐曲線x2＋＝1的焦點坐標為(　　) A．(±，0)　 B．(0，±) C．(±，0)或(±，0) D．(0，±)或(±，0) 解析：選B.因為正數m是2和8的等比中項，所以m2＝16，即m＝4，所以橢圓x2＋＝1的焦點坐標為(0，±)，故選B. 2．曲線＋＝1與曲線＋＝1(k<144)的(　　) A．長軸長相等 B．短軸長相等 C．離心率相等 D．焦距相等 解析：選D.曲線＋＝1中c2＝169－k－(144－k)＝25，所以c＝5，所以兩曲線的焦距相等． 3．(2019·鄭州市第二次質

2、量預測)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，離心率為，過F2的直線l交C于A，B兩點，若△AF1B的周長為12，則C的方程為(　　) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：選D.由橢圓的定義，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B的周長為|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，所以a＝3.因為橢圓的離心率e＝＝，所以c＝2，所以b2＝a2－c2＝5，所以橢圓C的方程為＋＝1，故選D. 4．(2019·長春市質量檢測(二))已知橢圓＋＝1的左、右焦點分別為F1，F2，過F2且垂直于

3、長軸的直線交橢圓于A，B兩點，則△ABF1內切圓的半徑為(　　) A. B．1 C. D. 解析：選D.法一：不妨設A點在B點上方，由題意知：F2(1，0)，將F2的橫坐標代入方程＋＝1中，可得A點縱坐標為，故|AB|＝3，所以內切圓半徑r＝＝＝，其中S為△ABF1的面積，C為△ABF1的周長4a＝8. 法二：由橢圓的通徑公式可得|AB|＝＝3，則S＝2×3×＝3，C＝4a＝8，則r＝＝. 5．若橢圓C：＋＝1(a>b>0)的短軸長等于焦距，則橢圓的離心率為________． 解析：由題意可得b＝c，則b2＝a2－c2＝c2，a＝c，故橢圓的離心率e＝＝. 答案： 6．(201

4、9·貴陽模擬)若橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，短軸長為4，則橢圓的標準方程為________． 解析：由題意可知e＝＝，2b＝4，得b＝2， 所以解得 所以橢圓的標準方程為＋＝1. 答案：＋＝1 7．已知橢圓的長軸長為10，兩焦點F1，F2的坐標分別為(3，0)和(－3，0)． (1)求橢圓的標準方程； (2)若P為短軸的一個端點，求△F1PF2的面積． 解：(1)設橢圓的標準方程為＋＝1(a>b>0)， 依題意得因此a＝5，b＝4， 所以橢圓的標準方程為＋＝1. (2)易知|yP|＝4，又c＝3， 所以S△F1PF2＝|yP|×2c＝×4×6＝12. 8．分別

5、求出滿足下列條件的橢圓的標準方程． (1)與橢圓＋＝1有相同的離心率且經過點(2，－)； (2)已知點P在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，且P到兩焦點的距離分別為5，3，過P且與長軸垂直的直線恰過橢圓的一個焦點． 解：(1)由題意，設所求橢圓的方程為＋＝t1或＋＝t2(t1，t2＞0)，因為橢圓過點(2，－)，所以t1＝＋＝2，或t2＝＋＝. 故所求橢圓的標準方程為＋＝1或＋＝1. (2)由于焦點的位置不確定，所以設所求的橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)， 由已知條件得 解得a＝4，c＝2，所以b2＝12. 故橢圓方程為＋＝1或＋＝1. [綜合題組練] 1．(

6、2019·貴陽市摸底考試)P是橢圓＋＝1(a>b>0)上的一點，A為左頂點，F為右焦點，PF⊥x軸，若tan∠PAF＝，則橢圓的離心率e為(　　) A. B. C. D. 解析：選D.如圖，不妨設點P在第一象限，因為PF⊥x軸，所以xP＝c，將xP＝c代入橢圓方程得yP＝，即|PF|＝，則tan∠PAF＝＝＝，結合b2＝a2－c2，整理得2c2＋ac－a2＝0，兩邊同時除以a2得2e2＋e－1＝0，解得e＝或e＝－1(舍去)．故選D. 2．(2019·湖北八校聯考)如圖，已知橢圓C的中心為原點O，F(－5，0)為橢圓C的左焦點，P為橢圓C上一點，滿足|OP|＝|OF|且|PF|＝6

7、，則橢圓C的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：選C.由題意知，c＝5，設右焦點為F′，連接PF′，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，所以∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，所以∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理得|PF′|＝＝8，又|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，所以a＝7，所以b2＝a2－c2＝24，所以橢圓C的方程為＋＝1，故選C. 3．(綜合型)已知△ABC的頂點A(－3，0)和頂點B(3，0)，頂點C在橢圓＋＝1上，則＝___

8、_____． 解析：由橢圓方程知a＝5，b＝4，所以c＝＝3，所以A，B為橢圓的焦點．因為點C在橢圓上，所以|AC|＋|BC|＝2a＝10，|AB|＝2c＝6.所以＝＝＝3. 答案：3 4．已知橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，A，B分別是橢圓長軸的兩個端點，M，N是橢圓上關于x軸對稱的兩點，直線AM，BN的斜率分別為k1，k2，若|k1·k2|＝，則橢圓的離心率為________． 解析：設M(x0，y0)，則N(x0，－y0)，|k1·k2|＝＝＝＝＝， 從而e＝＝. 答案： 5．(2019·蘭州市診斷考試)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)經過點(，1)，且離心率為. (1)

9、求橢圓C的方程； (2)設M，N是橢圓上的點，直線OM與ON(O為坐標原點)的斜率之積為－.若動點P滿足＝＋2，求點P的軌跡方程． 解：(1)因為e＝，所以＝， 又橢圓C經過點(，1)，所以＋＝1， 解得a2＝4，b2＝2， 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)設P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，則由＝＋2得x＝x1＋2x2，y＝y1＋2y2， 因為點M，N在橢圓＋＝1上， 所以x＋2y＝4，x＋2y＝4， 故x2＋2y2＝(x＋4x1x2＋4x)＋2(y＋4y1y2＋4y)＝(x＋2y)＋4(x＋2y)＋4(x1x2＋2y1y2)＝20＋4(x1x2＋2y1y

10、2)． 設kOM，kON分別為直線OM與ON的斜率，由題意知， kOM·kON＝＝－，因此x1x2＋2y1y2＝0， 所以x2＋2y2＝20， 故點P的軌跡方程為＋＝1. 6．(綜合型)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，點M(2，1)在橢圓C上． (1)求橢圓C的方程； (2)直線l平行于OM，且與橢圓C交于A，B兩個不同的點．若∠AOB為鈍角，求直線l在y軸上的截距m的取值范圍． 解：(1)依題意有解得 故橢圓C的方程為＋＝1. (2)由直線l平行于OM，得直線l的斜率k＝kOM＝， 又l在y軸上的截距為m，所以l的方程為y＝x＋m. 由得x2＋2mx＋2m2－4＝0. 因為直線l與橢圓C交于A，B兩個不同的點， 所以Δ＝(2m)2－4(2m2－4)>0， 解得－2