《原子物理學(xué)》(褚圣麟)第三章量子力學(xué)初步

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1、第 3章 量 子 力 學(xué) 初 步第 三 章 量 子 力 學(xué) 初 步 1、 微 觀 粒 子 的 波 粒 二 象 性 2 、 測 不 準(zhǔn) 原 理 3、 波 函 數(shù) 及 其 物 理 意 義 4、 薛 定 諤 波 動(dòng) 方 程 5、 量 子 力 學(xué) 問 題 的 幾 個(gè) 簡 例 6、 量 子 力 學(xué) 對(duì) 氫 原 子 的 描 述1900年 ， 普 朗 克 ， 黑 體 輻 射 ， 輻 射 能 量 量 子 化 1905年 ， 愛 因 斯 坦 ， 光 電 效 應(yīng) ， 光 量 子1913年 ， 玻 爾 ， 氫 原 子 光 譜 ， 量 子 態(tài) 舊 量 子 論1924年 ， 德 布 羅 意 ， 物 質(zhì) 波 假 說192

2、5-1928年 ， 海 森 堡 、 薛 定 諤 、 玻 恩 、 狄 拉 克 等建 立 量 子 力 學(xué) 第 3章 量 子 力 學(xué) 初 步一 、 經(jīng) 典 物 理 中 的 粒 子 和 波粒 子 ： 空 間 局 域 性 ， 用 和 描 述 其 運(yùn) 動(dòng) 。r p波 ： 空 間 彌 散 性 ， 用 和 描 述 其 運(yùn) 動(dòng) 。 二 、 光 的 波 粒 二 象 性 1672年 ， 牛 頓 ， 光 的 微 粒 說 1678年 ， 惠 更 斯 ， 光 的 波 動(dòng) 說 19世 紀(jì) 末 ， 光 是 一 種 電 磁 波 20世 紀(jì) 初 ， 光 電 效 應(yīng) 和 康 普 頓 效 應(yīng) 散 射 直 接 和 間 接 地 證 明

3、光 不 僅 具 有 波 的 疊 加性 ， 可 以 產(chǎn) 生 干 涉 、 衍 射 的 波 動(dòng) 性 ， 而 且 還 具 有 質(zhì) 量 、 動(dòng) 量 、 能 量 和 角 動(dòng) 量 的 粒 子 性 。 光 同 時(shí) 具 有 的 這 兩 種 屬 性 統(tǒng) 稱 為 光 的 波 粒 二 象 性 ， 由 愛 因 斯 坦 關(guān) 系 式 表 示為 ： hE hp , PE -光 的 波 粒 二 象 性3.1物 質(zhì) 的 二 象 性 第 3章 量 子 力 學(xué) 初 步光 的 波 粒 二 象 性 是 否 具 有 更 深 刻 的 普 遍 意 義 ？1924年 ， 年 輕 的 法 國 物 理 學(xué) 家 德 布 羅 意 反 向 思 考 了 這

4、 一 問 題 在 向 巴 黎 大 學(xué) 理 學(xué) 院提 交 的 題 為 量 子 理 論 的 比 較 的 博 士 論 文 中 提 出 了 所 有 粒 子 都 具 有 波 動(dòng) 性 的 假設(shè) 。 他 指 出 ： “ 在 整 個(gè) 世 紀(jì) 以 來 ， 人 們 在 輻 射 理 論 上 ， 比 起 關(guān) 注 波 動(dòng) 的 研 究 方 法來 ， 是 過 于 忽 視 了 粒 子 的 研 究 方 法 ； 在 實(shí) 物 理 論 上 ， 是 否 發(fā) 生 了 相 反 的 錯(cuò) 誤 呢 ？是 否 我 們 關(guān) 于 粒 子 的 圖 象 想 的 太 多 ， 而 過 分 忽 視 了 波 的 圖 象 ？ ” 于 是 他 將 光 的 波粒 二

5、象 性 大 膽 地 賦 予 了 電 子 這 樣 的 實(shí) 物 粒 子 上 ， 即 承 認(rèn) 實(shí) 物 粒 子 也 具 有 波 粒 二 象性 。 第 3章 量 子 力 學(xué) 初 步三 、 德 布 羅 意 關(guān) 系 式 微 觀 粒 子 和 光 子 一 樣 ， 在 一 定 的 條 件 下 顯 示 出 波 動(dòng) 性 。 具 有 一 定 能 量 E和 一定 動(dòng) 量 p的 自 由 粒 子 ， 相 當(dāng) 于 具 有 一 定 頻 率 和 一 定 波 長 的 平 面 波 ， 二 者 之 間 的 關(guān)系 為 ： E knhp hE hp -德 布 羅 意 關(guān) 系 式 。與 實(shí) 物 粒 子 相 應(yīng) 的 波 稱 為 德 布 羅 意

6、波 或 物 質(zhì) 波 ， 稱 為 德 布 羅 意 波 長 。德 布 羅 意 關(guān) 系 式 還 可 以 寫 成 式 中 ， ： 角 頻 率 ； ： 傳 播 方 向 上 的 單 位 矢 量2 n 第 3章 量 子 力 學(xué) 初 步適 用 條 件 ： (1)電 子 ， (2)非 相 對(duì) 論 (U不 能 太 大 )。 220 /1 cmm m1 eVm 221 埃伏 特 )( 25.122/2 VemVhmeVm h nk 2 sJh 3410054588.12： 波 矢 量 mhph 粒 子 的 德 布 羅 意 波 長 ：1 當(dāng) 時(shí) ，2 當(dāng) 時(shí) ， om m經(jīng) 過 電 場 加 速 的 電 子 ：c c

7、第 3章 量 子 力 學(xué) 初 步四 、 德 布 羅 意 假 設(shè) 的 實(shí) 驗(yàn) 驗(yàn) 證德 布 羅 意 曾 指 出 由 于 實(shí) 物 粒 子 的 波 粒 二 象 性 ， 當(dāng) 加 速 后 的 電 子 穿 過 晶 體 時(shí) ， 將會(huì) 發(fā) 生 電 子 波 的 衍 射 現(xiàn) 象 。1925年 戴 維 孫 革 末 在 一 次 偶 然 的 真 空 破 壞 事 故 ， 使 鎳 棒 樣 品 被 氧 化 ， 為 了 還原 ， 他 們 對(duì) 鎳 加 熱 ， 結(jié) 果 形 成 了 鎳 的 單 晶 結(jié) 構(gòu) ， 即 將 鎳 單 晶 化 ， 鎳 的 晶 格 成 了 電子 衍 射 的 光 柵 。 從 而 當(dāng) 電 子 穿 過 鎳 單 晶 時(shí)

8、 ， 觀 察 到 電 子 的 衍 射 圖 象 ， 測 量 了 電 子波 的 波 長 ， 證 實(shí) 了 德 布 羅 意 假 設(shè) 。1927 年 在 物 質(zhì) 波 概 念 的 指 導(dǎo) 下 ， Davisson 和 Gemmer重 新 進(jìn) 行 了 較 為 精 確 的實(shí) 驗(yàn) ， 實(shí) 驗(yàn) 裝 置 如 下 圖 所 示 第 3章 量 子 力 學(xué) 初 步1 實(shí) 驗(yàn) 裝 置 第 3章 量 子 力 學(xué) 初 步 2 實(shí) 驗(yàn) 結(jié) 果(1)當(dāng) V不 變 時(shí) ， I與 的關(guān) 系 如 圖不 同 的 ， I不 同 ； 在 有的 上 將 出 現(xiàn) 極 值 。(2)當(dāng) 不 變 時(shí) ， I與 V的關(guān) 系 如 圖當(dāng) V改 變 時(shí) ， I亦

9、 變 ； 而且 隨 了 V周 期 性 的 變 化 V 第 3章 量 子 力 學(xué) 初 步3 實(shí) 驗(yàn) 解 釋 晶 體 結(jié) 構(gòu) ： 第 3章 量 子 力 學(xué) 初 步當(dāng) 時(shí) 加 強(qiáng) -布 拉 格 公 式 。 nd sin2 2)12(sin2 nnd波 程 差 ： 第 3章 量 子 力 學(xué) 初 步 實(shí) 驗(yàn) 證 明 了 電 子 確 實(shí) 具 有 波 動(dòng) 性 ，也 證 明 了 德 布 羅 意 關(guān) 系 式 的 正 確 性 。并 進(jìn) 一 步 證 明 ： 一 切 實(shí) 物 粒 子 (電 子 、 中 子 、 質(zhì) 子 等 都 具 有 波 動(dòng) 性 。 )(225.1 伏 特V nm 2,1n 可 見 ， 當(dāng) 、 滿 足

10、此 式 時(shí) ， 測 得 電 流 的 極 大 值 。 對(duì) 于 通 過 電 壓 V加 速 的 電 子 ：當(dāng) V不 變 時(shí) ， 改 變 ， 可 使 某 一 滿 足 上 式 ， 出 現(xiàn) 極 大 值 當(dāng) 不 變 時(shí) ， 改 變 V， 可 使 某 一 V滿 足 上 式 ， 出 現(xiàn) 極 大 值 。 第 3章 量 子 力 學(xué) 初 步1928年 ， 菊 池 正 士 把 電 子 束 射 在 云 母 薄 片 上 ， 在 云 母 后 面 一 段 距 離 處 用 照 相 底片 接 受 電 子 ， 獲 得 了 衍 射 圖 樣 。同 年 ， G. P Thomson用 電 子 束 穿 透 晶 體 薄 片 ， 也 得 到 環(huán)

11、 狀 的 衍 射 圖 像 ， 此 時(shí) 晶體 起 到 了 透 射 光 柵 作 用 。 第 3章 量 子 力 學(xué) 初 步3.2 測 不 準(zhǔn) 原 理在 經(jīng) 典 力 學(xué) 的 概 念 中 ， 一 個(gè) 粒 子 的 位 置 和 動(dòng) 量 可 以 同 時(shí) 具 有 確 定 值 。 量 子 理 論 建立 后 ， 由 微 觀 粒 子 的 波 粒 二 象 性 揭 示 出 微 觀 粒 子 的 位 置 和 動(dòng) 量 具 有 不 確 定 性 ， 這可 用 電 子 單 縫 衍 射 實(shí) 驗(yàn) 說 明 ， 并 驗(yàn) 證 不 確 定 關(guān) 系 。 第 3章 量 子 力 學(xué) 初 步3.2 測 不 準(zhǔn) 原 理 第 3章 量 子 力 學(xué) 初 步2

12、dx sinpp x ppxsin xd 2sin xppx 2 hppx x 2 2/hpx x 一 、 電 子 的 單 縫 衍 射 (1961年 ， 約 恩 遜 成 功 的 做 出 )sind電 子 以 速 度 沿 著 y軸 射 向 A屏 ， 其 波長 為 ， 經(jīng) 過 單 縫 發(fā) 生 衍 射 ， 縫寬 為 d， 到 達(dá) C屏 。 第 一 級(jí) 暗 紋 的 位置 ：x方 向 上 ， 粒 子 坐 標(biāo) 的 不 確 定 度 為又粒 子 動(dòng) 量 的 不 確 定 度 為 2/hpx x ph 單 縫 衍 射 時(shí) ， 粒 子 位 置 和 動(dòng) 量 的 確 定 度 第 3章 量 子 力 學(xué) 初 步狹 縫 對(duì)

13、電 子 束 起 了 兩 種 作 用 ： 一 是 將 它 的 坐 標(biāo) 限 制 在 縫寬 d的 范 圍 內(nèi) ， 一 是 使 電 子 在 坐 標(biāo) 方 向 上 的 動(dòng) 量 發(fā) 生 了變 化 。 這 兩 種 作 用 是 相 伴 出 現(xiàn) 的 ， 不 可 能 既 限 制 了 電 子的 坐 標(biāo) ， 又 能 避 免 動(dòng) 量 發(fā) 生 變 化 。如 果 縫 愈 窄 ， 即 坐 標(biāo) 愈 確 定 ， 則 在 坐 標(biāo) 方 向 上 的 動(dòng) 量 就 愈 不 確 定 。 因 此 ， 微 觀 粒 子 的 坐 標(biāo) 和 動(dòng) 量 不 能 同 時(shí) 有確 定 的 值 。 0 x xp / 2xx p h 第 3章 量 子 力 學(xué) 初 步1

14、927年 ， 海 森 堡 首 先 推 導(dǎo) 出 不 確 定 關(guān) 系 ：2/ xpx 2/ ypy 2/ zpz2/ p 2/ tE 二 、 不 確 定 關(guān) 系 第 3章 量 子 力 學(xué) 初 步三 、 討 論1 不 確 定 關(guān) 系 只 適 用 于 微 觀 粒 子 2例 1： 設(shè) 電 子 與 的 子 彈 均 沿 x方 向 運(yùn) 動(dòng) ， ， 精 確 度 為 ， 求測 定 x 坐 標(biāo) 所 能 達(dá) 到 的 最 大 準(zhǔn) 確 度 。kgm 01.0 smx /500%01.0 smsmx /105/10500 24 2/ xpxxx mpx / 電 子 ：子 彈 ： mmx 3.2 mx 31101.2 2/

15、tE 0.0 0.5 1.0 1.5 2.00510 152025 30 Intensity (arb.units ) Time (ms)0.0 0.5 1.0 1.5 2.0051015 202530 Intensity (arb.units) Time (ms) 第 3章 量 子 力 學(xué) 初 步 3.3 波 函 數(shù) 及 其 物 理 意 義時(shí) 間 后 ， 波 面 傳 到 AB， 其 上 任 一 點(diǎn) P的 振 動(dòng) 和 時(shí) 間前 AB上 任 一 點(diǎn) O的 振 動(dòng) 相 同 ： 2cos ta o 一 、 波 函 數(shù)自 由 粒 子 平 面 波設(shè) 一 平 面 波 沿 速 度 的 方 向 傳 播 ， 該

16、 方 向 的 單 位 矢 量為 ， 即 ， 時(shí) 刻 ， 波 面 AB上 O點(diǎn) 的 振 動(dòng) ：vn v vn t 第 3章 量 子 力 學(xué) 初 步 nrr cos OPr )t (2cos nra )t (2 nrip Ae 沿 方 向 傳 播 的 、 波 長 為 、 頻 率 為 的 平面 簡 諧 波 方 程 。 )(2cos tap歐 拉 公 式 ： 取 “ ”cos sinie i n 第 3章 量 子 力 學(xué) 初 步用 波 方 程 來 描 寫 實(shí) 物 粒 子 ， 根 據(jù) 德 布 羅 意 關(guān) 系 ：hE nhp )( prEtip Ae 自 由 粒 子 的 波 函 數(shù) ， 描 寫 動(dòng) 量 為

17、 、 能 量 為 E的 自 由 粒 子 。 p經(jīng) 典 力 學(xué) 位 置 和 速 度 量 子 力 學(xué) 波 函 數(shù)波 函 數(shù) 體 現(xiàn) 了 波 粒 二 象 性 ， 其 中 的 E和 是 描 寫 粒 子 性的 物 理 量 ， 卻 處 在 一 個(gè) 描 寫 波 的 函 數(shù) 中 。 p 第 3章 量 子 力 學(xué) 初 步二 、 波 函 數(shù) 的 統(tǒng) 計(jì) 解 釋 電 子 衍 射 的 強(qiáng) 度 分 布 圖 用 粒 子 的 觀 點(diǎn) ， 極 大 值 處 意 味 著 到達(dá) 的 電 子 多 ， 極 小 值 處 意 味 著 到 達(dá) 的電 子 少 。 從 波 的 觀 點(diǎn) 來 看 ， 極 大 值 處 表 示 波 的強(qiáng) 度 大 ， 極

18、 小 值 處 表 示 波 的 強(qiáng) 度 小 。 玻 恩 的 觀 點(diǎn) 就 能 將 粒 子 和 波 的 概 念統(tǒng) 一 起 來 。 波 函 數(shù) 代 表 發(fā) 現(xiàn)粒 子 的 幾 率 干 涉 圖 像 的 出 現(xiàn) 體 現(xiàn) 了 微 觀 粒 子的 共 同 特 性 ， 而 且 它 并 不 是 由 微 觀 粒子 相 互 作 用 產(chǎn) 生 的 而 是 個(gè) 別 微 觀 粒 子屬 性 的 集 體 貢 獻(xiàn) 第 3章 量 子 力 學(xué) 初 步 表 示 t時(shí) 刻 、 （ x、 y、 z） 處 、 單 位 體 積內(nèi) 發(fā) 現(xiàn) 粒 子 的 幾 率 。 2),( tzyx 即 波 的 強(qiáng) 度 表 示 t時(shí) 刻 、 （ x、 y、 z） 處

19、發(fā) 現(xiàn) 電子 的 幾 率 密 度 。 如 果 大 ， 則 電 子 出 現(xiàn) 幾 率 大 ，因 而 電 子 出 現(xiàn) 的 目 也 多 ， 此 處 為 衍 射 極 大 值 處 ； 反 之 ，如 果 小 ， 則 電 子 出 現(xiàn) 幾 率 小 ， 電 子 出 現(xiàn) 的 數(shù) 目也 少 ， 此 處 為 衍 射 極 小 值 處 。 2),( tzyx2),( tzyx 2),( tzyx 第 3章 量 子 力 學(xué) 初 步t時(shí) 刻 、 xx+dx、 yy+dy、 zz+dz、 的 體 元 內(nèi) 發(fā) 現(xiàn) 粒 子 的 幾 率 ： dxdydzdV dVtzyxtzyxdW 2),(),( *),( 2 tzyxW 表 示

20、t時(shí) 刻 、 （ x、 y、 z） 處 發(fā) 現(xiàn) 粒子的 幾 率 密 度 。1.波 恩 的 波 函 數(shù) 幾 率 解 釋 是 量 子 力 學(xué) 基 本 原 理 之 一 2.經(jīng) 典 波 振 幅 是 可 測 量 ， 而 波 函 數(shù) 是 不 可 測 量 ， 可 測 是 幾 率3.單 縫 、 雙 縫 干 涉 實(shí) 驗(yàn) 在 1961年 前 是 假 想 實(shí) 驗(yàn)討 論 第 3章 量 子 力 學(xué) 初 步 2 歸 一 化 條 件由 于 粒 子 總 在 空 間 某 處 出 現(xiàn) ， 故 在 整 個(gè) 空 間 出 現(xiàn) 的總 幾 率 應(yīng) 當(dāng) 為 1： 1),( 2 dVtzyx 三 、 波 函 數(shù) 的 標(biāo) 準(zhǔn) 條 件 及 歸 一 化1 波 函 數(shù) 必 須 單 值 、 有 限 、 連 續(xù) 。 單 值 ： 在 任 何 一 點(diǎn) ， 幾 率 只 能 有 一 個(gè) 值 。 有 限 ： 幾 率 不 能 無 限 大 。 連 續(xù) ： 幾 率 一 般 不 發(fā) 生 突 變 。