高三數學二輪復習 第一篇 專題通關攻略 專題六 解析幾何 16_3 定點、定值、存在性問題課件 理 新人教版

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1、第三講定點、定值、存在性問題 【 知 識 回 顧 】1.定 點 、 定 值 、 存 在 性 問 題 的 解 讀(1)定 點 問 題 :在 解 析 幾 何 中 ,有 些 含 有 參 數 的 直 線 或 曲 線 的 方 程 ,不論 參 數 如 何 變 化 ,其 都 過 某 定 點 ,這 類 問 題 稱 為 定 點 問題 . (2)定 值 問 題 :在 解 析 幾 何 中 ,有 些 幾 何 量 ,如 斜 率 、 距 離 、 面 積 、 比值 等 基 本 量 和 動 點 坐 標 或 動 線 中 的 參 變 量 無 關 ,這 類 問題 統 稱 為 定 值 問 題 . (3)存 在 性 問 題 的 解 題

2、 步 驟 : 先 假 設 存 在 ,引 入 參 變 量 ,根 據 題 目 條 件 列 出 關 于 參變 量 的 方 程 (組 )或 不 等 式 (組 ). 解 此 方 程 (組 )或 不 等 式 (組 ),若 有 解 則 存 在 ,若 無 解則 不 存 在 . 得 出 結 論 . 2.幾 個 重 要 結 論(1)直 線 與 圓 錐 曲 線 相 交 的 問 題 ,牢 記 “ 聯 立 方 程 ,根 與系 數 的 關 系 , 定 范 圍 ,運 算 推 理 ” .(2)有 關 弦 長 問 題 ,牢 記 弦 長 公 式 |AB|= |x1-x2|= |y1-y2|及 根 與 系 數 的 關 系 ,“ 設

3、 而 不 求 ” ;有 關焦 點 弦 長 問 題 ,要 牢 記 圓 錐 曲 線 定 義 的 運 用 ,以 簡 化 運 算 .21 k211 k (3)涉 及 弦 中 點 的 問 題 ,牢 記 “ 點 差 法 ” 是 聯 系 中 點 坐標 和 弦 所 在 直 線 的 斜 率 的 好 方 法 .(4)求 參 數 范 圍 的 問 題 ,牢 記 “ 先 找 不 等 式 ,有 時 需 要 找出 兩 個 量 之 間 的 關 系 ,然 后 消 去 另 一 個 量 ,保 留 要 求 的量 ” .不 等 式 的 來 源 可 以 是 0或 圓 錐 曲 線 的 有 界 性 或題 目 條 件 中 的 某 個 量 的

4、范 圍 等 . 【 易 錯 提 醒 】1.對 概 念 理 解 不 準 確 致 誤 :直 線 與 雙 曲 線 、 拋 物 線 相 交于 一 點 時 ,不 一 定 相 切 ,反 之 ,直 線 與 雙 曲 線 、 拋 物 線 相切 時 ,只 有 一 個 交 點 . 2.忽 略 直 線 斜 率 不 存 在 的 情 況 致 誤 :過 定 點 的 直 線 ,若需 設 直 線 方 程 ,應 分 直 線 的 斜 率 存 在 和 不 存 在 兩 種 情 況求 解 .3.混 淆 點 的 坐 標 與 線 段 長 度 致 誤 :在 表 示 三 角 形 面 積 時 ,用 頂 點 到 坐 標 軸 的 距 離 表 示 三

5、角 形 邊 長 的 距 離 要 注 意符 號 . 【 考 題 回 訪 】1.(2016 北 京 高 考 )已 知 橢 圓 C： (ab0)的離 心 率 為 ， A(a， 0)， B(0， b)， O(0， 0)， OAB的 面 積 為 1.(1)求 橢 圓 C的 方 程 . 2 22 2x y 1a b 32 (2)設 P是 橢 圓 C上 一 點 ， 直 線 PA與 y軸 交 于 點 M， 直 線 PB與 x軸 交 于 點 N.求 證 ： |AN| |BM|為 定 值 . 【 解 析 】 (1)離 心 率 e= 所 以 a=2b. OAB的 面 積 為 ab=1， 所 以 a=2， b=1.所

6、 以 橢 圓 C的 方 程 為 +y2=1. 22c b 31a a 2 ，122x4 (2)設 P(x0， y0).當 直 線 BP的 斜 率 存 在 時 ，直 線 AP方 程 為 y= (x-2)， 直 線 BP方 程 為 y= x+1.所 以 所 以 所 以 |AN| |BM|= 00yx 2 0 0y 1x0 00 02y xM(0 ) N( 0).x 2 y 1 ， ， ，0 00 0 x 2yAN 2 BM 1.y 1 x 2 ， 0 00 0 x 2y2 1y 1 x 2 ( )( ) 因 為 點 P在 橢 圓 C上 ， 所 以 代 入 上 式 得|AN| |BM| 20 00

7、0 0 00 0 0 0220 0 0 00 0 x 2y 2x 2y 2 x 2y 2y 1 x 2 x 2 y 1x 4x y 1 4 y 1 x 2 y 1 ，2 20 0 x 4 4y . 當 BP的 斜 率 不 存 在 時 ， N(0， 0)， M(0， -1)，|AN| |BM|=4.因 此 ， |AN| |BM|為 定 值 4. 220 0 0 00 00 0 00 04 4y 4x y 1 4 y 1x 2 y 18 8y 4x y 1 4.x 2 y 1 2.(2015 全 國 卷 )在 直 角 坐 標 系 xOy中 ,曲 線 C:y=與 直 線 y=kx+a(a0)交 于

8、M,N兩 點 .(1)當 k=0時 ,分 別 求 C在 點 M和 N處 的 切 線 方 程 .(2)y軸 上 是 否 存 在 點 P,使 得 當 k變 動 時 ,總 有 OPM= OPN?說 明 理 由 . 2x4 【 解 析 】 (1)由 題 設 可 得M(2 ,a),N(-2 ,a),或 M(-2 ,a),N(2 ,a).又 y = ,故 y= 在 x=2 處 的 導 數 值 為 ,曲 線 C在點 (2 ,a)處 的 切 線 方 程 為 y-a= (x-2 ),即 x-y-a=0.a a a aa aaa a ax2 2x4 y= 在 x=-2 處 的 導 數 值 為 - ,曲 線 C在

9、點 (-2 ,a)處 的 切 線 方 程 為 y-a=- (x+2 ),即 x+y+a=0.2x4 a a aa aa (2)存 在 符 合 題 意 的 點 P,證 明 如 下 :設 P(0,b)為 符 合 題 意 的 點 ,M(x1,y1),N(x2,y2),直 線PM,PN的 斜 率 分 別 為 k1,k2.將 y=kx+a代 入 C的 方 程 得 x2-4kx-4a=0.故 x1+x2=4k,x1x2=-4a. 從 而 當 b=-a時 ,有 k1+k2=0,則 直 線 PM的 傾 斜 角 與 直 線 PN的 傾 斜 角 互 補 ,故 OPM= OPN,所 以 點 P(0,-a)符 合 題

10、 意 . 1 2 1 21 21 2 1 2 1 22kx x a b x x k a by b y bk k .x x x x a 熱 點 考 向 一 圓 錐 曲 線 中 的 定 點 問 題命 題 解 讀 :主 要 考 查 直 線 、 曲 線 過 定 點 或 兩 條 直 線 的 交點 在 定 曲 線 上 ,以 解 答 題 為 主 . 【 典 例 1】 已 知 p,m0,拋 物 線 E:x2=2py上 一 點 M(m,2)到拋 物 線 焦 點 F的 距 離 為 .(1)求 p和 m的 值 .(2)如 圖 所 示 ,過 F作 拋 物 線 E的 兩 條 弦 AC和 BD(點 A,B在第 一 象 限

11、 ),若 kAB+4kCD=0,求 證 :直 線 AB經 過 一 個 定 點 .52 【 解 題 導 引 】 (1)依 據 點 M到 拋 物 線 焦 點 F的 距 離 及 拋 物線 的 定 義 求 p,進 而 求 出 拋 物 線 方 程 ,然 后 代 入 M點 的 坐標 求 得 m.(2)設 出 直 線 AB,AC的 方 程 及 點 A,B,C,D的 坐 標 ,根 據kAB+4kCD=0找 出 四 點 橫 坐 標 之 間 的 關 系 ,從 而 可 求 出 經過 的 定 點 . 【 規(guī) 范 解 答 】 (1)由 點 M(m,2)到 拋 物 線 焦 點 F的 距 離為 ,結 合 拋 物 線 的 定

12、 義 得 , 即 p=1,所 以 拋 物 線的 方 程 為 x2=2y,把 點 M(m,2)的 坐 標 代 入 ,可 解 得 m=2.52 p 52 2 2 ， (2)顯 然 直 線 AB,AC的 斜 率 都 存 在 ,分 別 設 AB,AC的 方 程為 y=k1x+b,y=k2x+ ,聯 立 得 x2-2k1x-2b=0,聯 立 得 x2-2k2x-1=0,設 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),1212y k x b,x 2y 22 1y k x ,2x 2y 則 x1x2=-2b,x1x3=-1,同 理 ,x2x4=-1,故 kAB+4kCD=注 意

13、到 點 A,B在 第 一 象 限 ,x1+x2 0,所 以 =0故 得 x1x2=4,-2b=4,所 以 b=-2,即 直 線 恒 經 過 點 (0,-2). 2 2 2 22 1 4 34 32 12 1 4 3 2 1 4 31 2 1 23 4 1 21 1x x x xy yy y 2 24 4x x x x x x x xx x x x 1 12 x x 2( ) 0,2 2 x x 1 21 22 x x 【 一 題 多 解 】 設 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),顯 然 直 線 AC,BD的 斜 率 都 存 在 ,設 AC的 方 程 為 y

14、=kx+ ,聯 立得 x2-2kx-1=0,所 以 x1x3=-1,同 理 ,x2x4=-1, 122 1y kx 2x 2y, ， 故 kAB+4kCD= 注 意 到 點 A,B在 第 一 象 限 ,x1+x2 0,所 以 故 得 x1x2=4, 2 2 2 22 1 4 34 32 12 1 4 3 2 1 4 31 1x x x xy yy y 2 24 4x x x x x x x x 1 2 1 23 4 1 2x x x x 1 12 x x 2( ) 02 2 x x ，1 21 2 02 x x ， 直 線 AB的 方 程 為 化 簡 得 即 直 線 AB恒 經 過 點 (0,

15、-2). 21 1 2 1x x xy x x ,2 2 1 2 1 2 1 2x x x x x xy x x 2,2 2 2 【 規(guī) 律 方 法 】 動 線 過 定 點 問 題 的 兩 大 類 型 及 解 法(1)動 直 線 l過 定 點 問 題 ,解 法 :設 動 直 線 方 程 (斜 率 存 在 )為 y=kx+t,由 題 設 條 件 將 t用 k表 示 為 t=mk,得 y=k(x+m),故 動 直 線 過 定 點 (-m,0).(2)動 曲 線 C過 定 點 問 題 ,解 法 :引 入 參 變 量 建 立 曲 線 C的方 程 ,再 根 據 其 對 參 變 量 恒 成 立 ,令 其

16、系 數 等 于 零 ,得 出定 點 . 【 變 式 訓 練 】 (2016 合 肥 二 模 )已 知 橢 圓 E: (ab0)經 過 點 (2 ,2),且 離 心 率 為 ,F1,F2是 橢 圓 E的 左 ,右 焦 點 .(1)求 橢 圓 E的 方 程 . 2 22 2x y 1a b 2 22 (2)若 點 A,B是 橢 圓 E上 關 于 y軸 對 稱 的 兩 點 (A,B不 是 長軸 的 端 點 ),點 P是 橢 圓 E上 異 于 A,B的 一 點 ,且 直 線 PA,PB分 別 交 y軸 于 點 M,N,求 證 :直 線 MF1與 直 線 NF2的 交 點 G在定 圓 上 . 【 解 析

17、 】 (1)由 條 件 得 a=4,b=c=2 ,所 以 橢 圓 E的 方 程為 (2)設 B(x0,y0),P(x1,y1),則 A(-x0,y0),直 線 PA的 方 程 為y-y1= (x-x1),令 x=0,得 y= 故 同 理 可 得 22 2x y 1.16 8 1 01 0y yx x 1 0 0 11 0 x y x yx x ，1 0 0 11 0 x y x yM(0, x x )， 1 0 0 11 0 x y x yN(0, ),x x 所 以 , 所 以 ,F1M F2N,所 以 直 線 F1M與 直 線 F2N的 交 點 G在 以 F1F2為 直 徑 的 圓 上 .

18、1 0 0 1 1 0 0 11 21 0 1 0 x y x y x y x yFM (2 2, ),F N ( 2 2, )x x x x 1 0 0 1 1 0 0 11 2 1 0 1 0 x y x y x y x yFM F N (2 2, ) ( 2 2, )x x x x 2 22 20 12 2 2 2 1 01 0 0 12 2 2 21 0 1 0 x xx 8(1 ) x 8(1 )x y x y 16 168 8x x x x8 8 0. 【 加 固 訓 練 】已 知 橢 圓 C: (ab0)的 離 心 率 e= ,短 軸 長為 2 . 2 22 2x y 1a b

19、222 (1)求 橢 圓 C的 標 準 方 程 .(2)如 圖 ,橢 圓 左 頂 點 為 A,過 原 點 O的 直 線 (與 坐 標 軸 不重 合 )與 橢 圓 C交 于 P,Q兩 點 ,直 線 PA,QA分 別 與 y軸 交 于M,N兩 點 .試 問 以 MN為 直 徑 的 圓 是 否 經 過 定 點 (與 直 線 PQ的 斜 率 無 關 )?請 證 明 你 的 結 論 . 【 解 析 】 (1)由 短 軸 長 為 2 ,得 b= ,由 e= 得 a2=4,b2=2.所 以 橢 圓 C的 標 準 方 程 為 =1.2 22 2c a b 2a a 2 ， 2 2x y4 2 (2)以 MN為

20、 直 徑 的 圓 過 定 點 F( ,0).證 明 如 下 :設 P(x0,y0),則 Q(-x0,-y0),且 ,即 因 為 A(-2,0),所 以 直 線 PA方 程 為 :y= (x+2),所 以 M(0, ),直 線 QA方 程 為 :y= (x+2),所 以 N(0, ),22 20 0 x y 14 2 2 20 0 x 2y 4 ， 00yx 2002yx 2 00yx 2 002yx 2 以 MN為 直 徑 的 圓 為(x-0)(x-0)+(y- )(y- )=0,即 x2+y2- 因 為 x02-4=-2y02， 所 以 x2+y2+2 y-2=0,令 y=0,則 x2-2=

21、0,解 得 x= .所 以 以 MN為 直 徑 的 圓 過 定 點 F( ,0).002yx 2 002yx 220 0 02 20 04x y 4yy 0 x 4 x 4 ， 00 xy2 2 熱 點 考 向 二 圓 錐 曲 線 中 的 定 值 問 題命 題 解 讀 :以 直 線 與 圓 錐 曲 線 的 位 置 關 系 為 背 景 ,考 查轉 化 與 化 歸 思 想 以 解 答 題 為 主 ,和 對 定 值 問 題 的 處 理 能力 ,常 涉 及 式 子 、 面 積 的 定 值 問 題 . 【 典 例 2】 (2015 全 國 卷 )已 知 橢 圓 C:9x2+y2=m2(m0),直 線 l

22、不 過 原 點 O且 不 平 行 于 坐 標 軸 ,l與 C有 兩 個交 點 A,B,線 段 AB的 中 點 為 M.(1)證 明 :直 線 OM的 斜 率 與 l的 斜 率 的 乘 積 為 定 值 .(2)若 l過 點 延 長 線 段 OM與 C交 于 點 P,四 邊 形 OAPB能 否 為 平 行 四 邊 形 ?若 能 ,求 此 時 l的 斜 率 ,若 不 能 ,說 明理 由 . m( ,m )3 ， 【 解 題 導 引 】 (1)將 直 線 y=kx+b(k 0,b 0)與 橢 圓C:9x2+y2=m2(m0)聯 立 ,結 合 根 與 系 數 的 關 系 及 中 點 坐標 公 式 證 明

23、 .(2)由 四 邊 形 OAPB為 平 行 四 邊 形 當 且 僅 當線 段 AB與 線 段 OP互 相 平 分 求 解 證 明 . 【 解 析 】 (1)設 直 線 l:y=kx+b(k 0,b 0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).將 y=kx+b代 入 9x2+y2=m2得 (k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,故于 是 直 線 OM的 斜 率 即 kOM k=-9,所 以 直線 OM的 斜 率 與 l的 斜 率 的 積 是 定 值 .1 2M M M2 2x x kb 9bx y kx b .2 k 9 k 9 ， MO M My 9k x k ， (2)

24、四 邊 形 OAPB能 為 平 行 四 邊 形 .因 為 直 線 l過 點 所 以 l不 過 原 點 且 與 C有 兩 個 交 點 的充 要 條 件 是 k0,k 3.由 (1)得 OM的 方 程 為 y= 設 點 P的 橫 坐 標 為 xP.m( ,m ),3 9 x.k2 22P P2 22 2 29y x, k m kmx x .k 9k 81 3 k 99x y m 由 得 ， 即 將 點 的 坐 標 代 入 l的 方 程 得 四 邊 形 OAPB為 平 行 四 邊 形 ,當 且 僅 當 線 段 AB與 線 段 OP互相 平 分 ,即 xP=2xM.于 是 解 得 因 為 ki0,ki

25、 3,i=1,2,所 以 當 l的 斜 率 為 4- 或 4+ 時 ,四 邊 形 OAPB為 平 行 四 邊 形 .m( ,m )3 m 3 kb 3 ， M 2km k 3x .3 k 9 因 此 22 k k 3 mkm 2 3 k 93 k 9 ， 1 2k 4 7 k 4 7. ， 7 7 【 規(guī) 律 方 法 】 求 解 定 值 問 題 的 兩 大 途 徑(1)首 先 由 特 例 得 出 一 個 值 (此 值 一 般 就 是 定 值 )然 后 證明 定 值 :即 將 問 題 轉 化 為 證 明 待 證 式 與 參 數 (某 些 變 量 )無 關 .(2)先 將 式 子 用 動 點 坐

26、標 或 動 線 中 的 參 數 表 示 ,再 利 用其 滿 足 的 約 束 條 件 使 其 絕 對 值 相 等 的 正 負 項 抵 消 或 分子 、 分 母 約 分 得 定 值 . 【 變 式 訓 練 】 (2016 中 原 名 校 聯 盟 二 模 )已 知 橢 圓 C: (ab0)的 左 、 右 焦 點 分 別 為 F1,F2,點 B(0, )為 短 軸 的 一 個 端 點 , OF2B=60 .(1)求 橢 圓 C的 方 程 .2 22 2x y 1a b 3 (2)如 圖 ,過 右 焦 點 F2,且 斜 率 為 k(k 0)的直 線 l與 橢 圓 C相 交 于 D,E兩 點 ,A為 橢

27、圓 的右 頂 點 ,直 線 AE,AD分 別 交 直 線 x=3于 點 M,N,線 段 MN的 中點 為 P,記 直 線 PF2的 斜 率 為 k .試 問 k k 是 否 為 定 值 ?若 為 定 值 ,求 出 該 定 值 ;若 不 為 定 值 ,請 說 明 理 由 . 【 解 析 】 (1)由 條 件 可 知 a=2,b= ,故 所 求 橢 圓 方 程 為 32 2x y 1.4 3 (2)設 過 點 F2(1,0)的 直 線 l方 程 為 :y=k(x-1).由 可 得 :(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0因 為 點F2(1,0)在 橢 圓 內 ,所 以 直 線 l和 橢 圓

28、 都 相 交 ,即 0恒成 立 .設 點 E(x1,y1),D(x2,y2),則 因 為 直 線 AE的 方 程 為 :y= (x-2),直 線 AD的 方 程 為 :y= (x-2), 2 2y k x 1 ,x y 14 3 2 21 2 1 22 28k 4k 12x x ,x x .4k 3 4k 3 11yx 2 22yx 2 令 x=3,可 得 所 以 點 P的 坐 標 直 線 PF2的 斜 率 為 k =1 21 2y yM(3, ) N(3, ),x 2 x 2 ， 1 21 2y y1(3, ( ) .2 x 2 x 2 ）1 21 2y y1( ) 02 x 2 x 23

29、1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 22 22 22 22 2x y x y 2 y y 2kx x 3k x x 4k1 14 x x 2 x x 4 4 x x 2 x x 44k 12 8k2k 3k 4k1 34k 3 4k 3 ,4k 12 8k4 4k2 44k 3 4k 3 所 以 k k 為 定 值 - .34 【 加 固 訓 練 】 如 圖 所 示 ,在 平 面 直 角 坐 標系 xOy中 ,設 橢 圓 E: =1(ab0),其 中b= a,過 橢 圓 E內 一 點 P(1,1)的 兩 條 直 線 分 別 與 橢 圓交 于 點 A,C和 B,

30、D,且 滿 足 其 中 為 正常 數 .當 點 C恰 為 橢 圓 的 右 頂 點 時 ,對 應 的 = .2 22 2x ya b32 AP PCBP PD ， ， 57 (1)求 橢 圓 E的 離 心 率 .(2)求 a與 b的 值 .(3)當 變 化 時 ,kAB是 否 為 定 值 ?若 是 ,請 求 出 此 定 值 ;若 不 是 ,請 說 明 理 由 . 【 解 題 導 引 】 (1)由 b= a求 離 心 率 .(2)由 時 ,C為 橢 圓 的 右 頂 點 ,求 點 A坐 標 ,代 入 橢 圓 方 程 ,求 a,b.(3)設 出 點 A,B,C,D的 坐 標 ,利 用 點 差 法 求

31、kAB與 kCD,再 根據 kAB=kCD求 解 . 325AP PC 7 ， 【 解 析 】 (1)因 為 b= a,所 以 b2= a2,得 a2-c2= a2,所 以 e2= ,e= .(2)因 為 C(a,0), = ,所 以 由 得 將 它 代 入 到 橢 圓 方 程 中 ,得 解 得 a=2(負 值 舍 去 ),所 以 a=2,b= . 32 3434 14 1257 AP PC ，12 5a 12A( )7 7 ，2 22 2(12 5a) 12 1349a 49 a4 ，3 (3)設 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),由 得 同 理將 A,

32、B坐 標 代 入 橢 圓 方 程 得兩 式 相 減 得 3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0,即3(x1+x2)+4(y1+y2)kAB=0,同 理 ,3(x3+x4)+4(y3+y4)kCD=0, 2 42 4x x 1y y 1 ，AP PC ， 1 31 3x x 1y y 1 ， 2 21 12 22 23x 4y 123x 4y 12 ， 而 kAB=kCD,所 以 3(x3+x4)+4(y3+y4)kAB=0,所 以 3 (x3+x4)+4 (y3+y4)kAB=0,所 以 3(x1+ x3+x2+ x4)+4(y1+ y3+y2+ y4)kAB=0,

33、即6(1+ )+8(1+ )kAB=0,所 以 kAB=- 為 定 值 .34 熱 點 考 向 三 圓 錐 曲 線 中 的 存 在 性 問 題命 題 解 讀 :以 直 線 與 圓 錐 曲 線 的 位 置 關 系 為 背 景 ,考 查學 生 分 析 問 題 和 解 決 問 題 的 能 力 . 命 題 角 度 一 點 、 線 的 存 在 性 問 題【 典 例 3】 (2016 臨 汾 二 模 )已 知 橢 圓 C: (ab0)的 離 心 率 為 ,以 原 點 O為 圓 心 ,橢 圓 C的 長 半軸 長 為 半 徑 的 圓 與 直 線 2x- y+6=0相 切 .(1)求 橢 圓 C的 標 準 方

34、程 . 2 22 2x y 1a b 63 2 (2)已 知 點 A,B為 動 直 線 y=k(x-2)(k 0)與 橢 圓 C的 兩 個交 點 ,問 :在 x軸 上 是 否 存 在 定 點 E,使 得 為 定 值 ?若 存 在 ,試 求 出 點 E的 坐 標 和 定 值 ;若 不 存 在 ,請說 明 理 由 . 2EA EA AB 【 題 目 拆 解 】 解 答 本 題 第 (2)問 ,可 拆 解 成 兩 個 小 題 : 假 設 存 在 定 點 E(m,0),把 用 k,m表 示 ; 尋 找 滿 足 定 值 需 要 的 條 件 . 2EA EA AB 【 規(guī) 范 解 答 】 (1)由 e=

35、得 即 c= a, 又 以 原 點 O為 圓 心 ,橢 圓 C的 長 半 軸 長 為 半 徑 的 圓 為x2+y2=a2且 與 直 線 2x- y+6=0相 切 ,所 以 a= 代 入 得 c=2,所 以 b2=a2-c2=2.所 以 橢 圓 C的 標 準 方 程 為 63 c 6 ,a 3 632 22 6 62 2 ， 2 2x y 1.6 2 (2)由 得 (1+3k2)x2-12k2x+12k2-6=0.設 A(x1,y1),B(x2,y2),所 以 根 據 題 意 ,假 設 x軸 上 存 在 定 點 E(m,0),使 得 為 定 值 . 2 2x y 1,6 2y k x 2 2 2

36、1 2 1 22 212k 12k 6x x ,x x1 3k 1 3k ， 2EA EA AB EA AB EA EA EB 則 =(x1-m,y1) (x2-m,y2)=(x1-m)(x2-m)+y1y2=(k2+1)x1x2-(2k2+m)(x1+x2)+(4k2+m2) 要 使 上 式 為 定 值 ,即 與 k無 關 ,3m2-12m+10=3(m2-6),得 m= .EA EB 2 2 22(3m 12m 10)k m 61 3k 73 此 時 , 所 以 在 x軸 上 存 在 定 點E 使 得 為 定 值 ,值 為 - .2 2 5EA EA AB m 6 ,9 597( ,0)3

37、 2EA EA AB 命 題 角 度 二 字 母 參 數 值 的 存 在 性 問 題【 典 例 4】 (2016 長 沙 二 模 )如 圖 ,在 平 面 直 角 坐 標 系xOy中 ,已 知 F1,F2分 別 是 橢 圓 E: (ab0)的 左 、右 焦 點 ,A,B分 別 是 橢 圓 E的 左 、 右 頂 點 ,D(1,0)為 線 段OF2的 中 點 ,且 2 22 2x y 1a b 2 2AF 5BF . 0 (1)求 橢 圓 E的 方 程 .(2)若 M為 橢 圓 E上 的 動 點 (異 于 點 A,B),連 接 MF1并 延 長交 橢 圓 E于 點 N,連 接 MD,ND并 分 別

38、延 長 交 橢 圓 E于 點 P,Q,連 接 PQ,設 直 線 MN,PQ的 斜 率 存 在 且 分 別 為 k1,k2.試 問是 否 存 在 常 數 ,使 得 k1+ k2=0恒 成 立 ?若 存 在 ,求 出 的 值 ;若 不 存 在 ,說 明 理 由 . 【 解 題 導 引 】 (1)根 據 條 件 D(1,0)為 線 段 OF2的 中 點 ,且 以 及 a2=b2+c2,即 可 求 解 .(2)將 直 線 MD的 方程 與 橢 圓 方 程 聯 立 ,利 用 根 與 系 數 的 關 系 即 可 建 立 k1,k2所 滿 足 的 一 個 關 系 式 ,從 而 可 探 究 的 存 在 性 .

39、2 2AF 5BF 0 【 規(guī) 范 解 答 】 (1)因 為 ,所 以 因 為 a+c=5(a-c),化 簡 得 2a=3c,點 D(1,0)為 線 段 OF2的中 點 ,所 以 c=2,從 而 a=3,b= ,左 焦 點 F1(-2,0),故 橢 圓E的 方 程 為 2 2AF 5BF 0 2 2AF 5F B, 52 2x y 1.9 5 (2)存 在 滿 足 條 件 的 常 數 , =- ,設 M(x1,y1),N(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4),則 直 線 MD的 方 程 為 x= 代 入 橢圓 方 程 整 理 得 , 所 以 y1+y3= 所 以 y3= 從 而 x

40、3= 故 點 同 理 ,點 47 1 1x 1y 1,y 2 2x y 1,9 5 21 121 15 x x 1y y 4 0,y y 1 11y x 1 ,x 5 114y ,x 5 115x 9x 5 ，1 11 15x 9 4yP( , ),x 5 x 5 2 22 25x 9 4yQ( , ),x 5 x 5 因 為 三 點 M,F1,N共 線 ,所 以 從 而 x1y2-x2y1=2(y1-y2),從 而 故 k1- =0,從 而 存 在 滿 足 條 件 的 常 數 , =- .1 21 2y y ,x 2 x 2 1 2 1 2 2 1 1 23 4 1 22 1 23 4 1

41、21 14y 4y x y x y 5 y yy y x 5 x 5k 5x 9 5x 9x x 4 x xx 5 x 5 1 2 11 27 y y 7k ,4 x x 4 24k7 47 【 規(guī) 律 方 法 】 存 在 性 問 題 求 解 的 思 路 及 策 略(1)思 路 :先 假 設 存 在 ,推 證 滿 足 條 件 的 結 論 ,若 結 論 正確 ,則 存 在 ;若 結 論 不 正 確 ,則 不 存 在 .(2)策 略 : 當 條 件 和 結 論 不 唯 一 時 要 分 類 討 論 ; 當 給 出 結 論 而 要 推 導 出 存 在 的 條 件 時 ,先 假 設 成 立 ,再 推 出

42、 條 件 . 【 變 式 訓 練 】(2016 哈 爾 濱 二 模 )已 知 橢 圓 C: (ab0)的 焦點 分 別 為 F1(- ,0),F2( ,0),點 P在 橢 圓 C上 ,滿 足|PF1|=7|PF2|,tan F1PF2=4 .(1)求 橢 圓 C的 方 程 . 2 22 2x y 1a b 3 3 3 (2)已 知 點 A(1,0),試 探 究 是 否 存 在 直 線 l:y=kx+m與 橢圓 C交 于 D,E兩 點 ,且 使 得 |AD|=|AE|?若 存 在 ,求 出 k的 取值 范 圍 ;若 不 存 在 ,請 說 明 理 由 . 【 解 析 】 (1)由 |PF1|=7|

43、PF2|,PF1+PF2=2a得 由 余 弦 定 理 得 cos F1PF2= 所 以 a=2,所 以 所 求 C的 方 程 為 +y2=1. 1 7aPF ,42 aPF 4 ， 22 27a a( ) ( ) 2 31 4 4 ,7a a7 2 4 4 2x4 (2)假 設 存 在 直 線 l滿 足 題 設 ,設 D(x1,y1),E(x2,y2),將y=kx+m代 入 +y2=1并 整 理 得 (1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,由 =64k2m2-4(1+4k2)(4m2-4)=-16(m2-4k2-1)0,得4k2+1m2 ,又 x1+x2= 設 D,E中 點 為 M(x0,y0), kAMk=-1,得 m= ,將 代 入 2x4 28km1 4k 2 24km mM( , ),1 4k 1 4k 21 4k3k 得 4k2+1 化 簡 得 20k4+k2-10 (4k2+1)(5k2-1)0,解 得 k 或 k- ,所 以 存 在 直 線 l,使 得 |AD|=|AE|,此 時 k的 取 值 范 圍 為 2 21 4k( ) ,3k55 55 5 5( , ) ( , ).5 5