高中數(shù)學(xué) 第3章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 1_2 函數(shù)的極值課件 北師大版選修2-2

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1、1函數(shù)的單調(diào)性與極值1.2函數(shù)的極值 課前預(yù)習(xí)學(xué)案 “橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”說(shuō)的是廬山的高低起伏，錯(cuò)落有致在群山之中，各個(gè)山峰的頂端，雖然不一定是群山的最高處，但它卻是其附近的最高點(diǎn). 同樣，各個(gè)谷底雖然不一定是群山之中的最低處，但它卻是附近的最低點(diǎn)那么，在數(shù)學(xué)上，如何來(lái)刻畫這種現(xiàn)象呢？ (1)在包含x0的一個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)yf(x)在_的函數(shù)值都_的函數(shù)值，稱點(diǎn)x0為函數(shù)yf(x)的極大值點(diǎn)，其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的極大值(2)在包含x0的一個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)yf(x)在_的函數(shù)值都_的函數(shù)值，稱點(diǎn)x0為函數(shù)yf(x)的極小值點(diǎn)，其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的極小值(3

2、)_與_統(tǒng)稱為極值，_與_統(tǒng)稱為極值點(diǎn)1函數(shù)極值的有關(guān)概念任何一點(diǎn)不大于x0點(diǎn)任何一點(diǎn)不小于x0點(diǎn)極大值極小值極大值點(diǎn)極小值點(diǎn) (1)函數(shù)的極值是一個(gè)局部性的概念，是僅對(duì)某一點(diǎn)的左右兩側(cè)的領(lǐng)域而言的(2)極值點(diǎn)是函數(shù)定義域內(nèi)的點(diǎn)，而函數(shù)定義域的端點(diǎn)絕不是函數(shù)的極值點(diǎn)(3)若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)沒(méi)有極值 (4)極大值與極小值沒(méi)有必然的大小關(guān)系一個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)可以有許多個(gè)極小值和極大值，也可能沒(méi)有，在某一點(diǎn)的極小值可能大于另一點(diǎn)的極大值即極小值不一定比極大值小，極大值也不一定比極小值大(如圖所示) (1)如果函數(shù)yf(x)

3、在區(qū)間(a，x0)上是_，在區(qū)間(x0，b)上是_，則x0是極大值點(diǎn)，f(x0)是極大值(2)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，x0)上是_，在區(qū)間(x0，b)上是_，則x0是極小值點(diǎn)，f(x0)是極小值2函數(shù)極值的判斷增加的減少的減少的增加的 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系：(1)對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，極值點(diǎn)必為導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，但反之，導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，如f(x)x3在x0處導(dǎo)數(shù)為零，但不是極值點(diǎn)(2)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也有可能是極值點(diǎn)，如f(x)|x|在x0處不可導(dǎo)，但該點(diǎn)為極值點(diǎn)綜合(1)(2)可得，函數(shù)的極值點(diǎn)只能是不可導(dǎo)點(diǎn)或?qū)?shù)為零的點(diǎn) 1關(guān)于函數(shù)的極值，有下列說(shuō)法導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)；極值點(diǎn)的

4、導(dǎo)數(shù)一定為零；極大值一定大于極小值；f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)；f(x)在(x0 x，x0 x)上可導(dǎo)且f(x0)0，x0左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0那么x 0是極大值點(diǎn)； f(x)在區(qū)間(x0 x，x0 x)上可導(dǎo)，f(x0)0，x0左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，那么f(x0)是函數(shù)的極小值其中正確說(shuō)法是()ABCD解析：根據(jù)極值的概念逐一判斷可知，錯(cuò)誤，正確，故選D.答案：D 2函數(shù)y13xx3有()A極小值1，極大值1B極小值2，極大值3C極小值2，極大值2 D極小值1，極大值3解析：y33x2，令y33x20，得x1，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，

5、f(x)的變化情況如下：x (，1)1 (1,1)f(x)0f(x)遞減極小值遞增 3已知函數(shù)f(x)x3ax2bx在x1處有極值為1，則f(2)等于_解析：由題意得f(1)0，f(1)1，f(x)3x22axb，即f(1)32ab0，f(1)1ab1，得a1，b1，f(2)84a2b2.答案：2 課堂互動(dòng)講義 求下列函數(shù)的極值：(1)f(x)x42x2；(2)f(x)x2ex.求函數(shù)的極值 邊聽邊記(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.f(x)4x34x4x(x1)(x1)令f(x)0，得x0或x1或x1.列表：x (，1)1 (1,0) 0 (0,1) 1 (1，)f(x)000f(x) 極小值

6、極大值極小值 求可導(dǎo)函數(shù)yf(x)極值點(diǎn)的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域(2)求出導(dǎo)數(shù)f(x)(3)解方程f(x)0. (4)對(duì)于方程f(x)0的每一個(gè)解x0，分析f(x)在x0左、右兩側(cè)的符號(hào)(即f(x)的單調(diào)性)，確定極值點(diǎn)若f(x)在x0兩側(cè)的符號(hào)“左正右負(fù)”，則x0為極大值點(diǎn)；若f(x)在x0兩側(cè)的符號(hào)“左負(fù)右正”，則x0為極小值點(diǎn)；若f(x)在x0兩側(cè)的符號(hào)相同，則x0不是極值點(diǎn) 已知f(x)x33ax2bxa2在x1時(shí)有極值0.求a、b的值思路導(dǎo)引解答本題可先求f(x)，利用x1時(shí)有極值0這一條件建立關(guān)于a、b的方程組解方程組可得a、b的值，最后將a、b代入原函數(shù)驗(yàn)證極值情況已知函數(shù)

7、的極值求參數(shù)值 當(dāng)a1，b3時(shí)，f(x)3x26x33(x1)20，所以f(x)在R上為增函數(shù)，無(wú)極值，故舍去. 7分當(dāng)a2，b9時(shí)，f(x)3x212x93(x1)(x3). 9分 對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，通過(guò)極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可知極值點(diǎn)必為f(x)0的根，而要明確是極大值點(diǎn)，還是極小值點(diǎn)必須考察極值點(diǎn)附近兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，同時(shí)本題從逆向思維出發(fā)，實(shí)現(xiàn)了問(wèn)題由已知向未知的轉(zhuǎn)化，在轉(zhuǎn)化過(guò)程中，利用了列表，直觀易于得到極值 2已知函數(shù)f(x)x5ax3bx1，僅當(dāng)x1，x1時(shí)取得極值，且極大值比極小值大4.(1)求a、b的值；(2)求f(x)的極大值和極小值解析：(1)f(x)x5ax3bx1的定

8、義域?yàn)镽.f(x)5x43ax2b.x1時(shí)有極值，53ab0.b3a5. 設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)x3x2xa.(1)求f(x)的極值；(2)當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，曲線yf(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)思路導(dǎo)引(1)中利用求極值的步驟進(jìn)行；(2)結(jié)合第(1)問(wèn)的結(jié)論利用數(shù)形結(jié)合加以分析函數(shù)極值的應(yīng)用 利用極值判斷方程根的問(wèn)題，實(shí)際上是利用連續(xù)函數(shù)的一個(gè)原理，即若連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)，有f(a)f(b)0，則f(x)與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)具體解題時(shí)應(yīng)結(jié)合圖形作全面分析 若函數(shù)f(x)x(xc)2在x2處有極大值，則常數(shù)c_.【錯(cuò)解】f(x)(xc)2x2(xc)(xc)(3xc)由f(x)在x2處有極大值，f(2)0.即(2c)(6c)0，解得c2或c6.答案：2或6 【錯(cuò)因】上述解答時(shí)沒(méi)考慮極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可導(dǎo)函數(shù)f(x0)0是x0為極值點(diǎn)的必要不充分條件若x0為極大值點(diǎn)，則f(x)在x0附近左正右負(fù)，若x0為極小值點(diǎn)，則f(x)在x0附近左負(fù)右正 x2時(shí)，f(x)有極小值，與已知矛盾若c6時(shí)，f(x)(x6)(3x6)3(x2)(x6)當(dāng)x2時(shí)，f(x)0，f(x)在(，2)上增加，當(dāng)2x6時(shí)，f(x)0，f(x)在(2,6)上減少x2時(shí)，f(x)有極大值，符合題意滿足條件的c的值為6.答案：6