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1、一、知識(shí)點(diǎn) 1導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖： 2基本思想與基本方法： 數(shù)形轉(zhuǎn)化思想：從幾何直觀入手，理解函數(shù)單調(diào) 性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義直觀地探 討出用求導(dǎo)的方法去研究，解決有導(dǎo)數(shù)函數(shù)的極 值與最值問(wèn)題。這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究中理論與實(shí)踐 的辯證關(guān)系，具有較大的實(shí)踐意義。 求有導(dǎo)數(shù)函數(shù) y=f(x)單調(diào)區(qū)間的步驟： i）求 f(x)； ii）解不等式 f(x) 0（或 f(x) 0）； iii）確認(rèn)并指出遞增區(qū)間（或遞減區(qū)間）。 證明有導(dǎo)數(shù)函數(shù) y=f(x)在區(qū)間 (a， b)內(nèi)的單調(diào)性： i）求 f(x)； ii）解不等式 f(x) 0（或 f(x) 0）； iii）確認(rèn) f(x)在 (a
2、， b)內(nèi)的符號(hào)； iv）作出判斷。 求有導(dǎo)數(shù)的函數(shù) y=f（ x）的極值的步驟： i）求導(dǎo)數(shù) f(x)； ii）求方程 f(x)=0的全部實(shí)根； iii）檢查 f(x)在方程 f(x)=0的根左右兩側(cè)的值 的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么 f（ x）在這個(gè) 根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么 f（ x） 在這個(gè)根處取得極小值。 設(shè) y=f（ x）在 a， b上有定義，在 (a， b)內(nèi)有導(dǎo)數(shù)， 求 f（ x）在 a， b上的最大值和最小值的步驟： i）求 f（ x）在（ a， b）內(nèi)的極值； ii）將 f（ x）的各極值與 f（ a）、 f（ b）比較，確 定 f（ x）的最大值與最小值。 在實(shí)際
3、問(wèn)題中，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值 點(diǎn)（單峰函數(shù)），那么，只要根據(jù)實(shí)際意義判定 最值，不必再與端點(diǎn)的函數(shù)值作比較。 例 2:已知函數(shù) f(x)=ax3+bx2,曲線 y=f(x)過(guò)點(diǎn) P(-1,2), 且在點(diǎn) P處的切線恰好與直線 x-3y=0垂直 . (1)求 a、 b的值； (2)若 f(x)在區(qū)間 m,m+1上單調(diào)遞增 ,求 m的取值 范圍 . 解 :(1) 由題意得 : (2) ,解得 x0或 x0)的極大值為 6,極小 值為 2. (1)試確定常數(shù) a、 b的值 ; (2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間 . 答案 :(1)a=1,b=4. (2)單調(diào)遞增區(qū)間為 (- ,-1)和 (1,+ )
4、. 例 3:試問(wèn) :曲線 y=x6/3上哪一點(diǎn)的法線在 y軸上截距最小 ?(所謂法線是指 :過(guò)曲線上一點(diǎn)與以此點(diǎn)為切點(diǎn)的 切線垂直的直線 ). 解 :在已知曲線上任取一點(diǎn) (x, x6/3),則過(guò)該點(diǎn)的切線的 斜率為 ,從而法線的斜率為 故法線方程為 令 X=0,得法線在 y軸上的截距 : 則 令 ,得 當(dāng) x-1時(shí) , ,則 Y單調(diào)減小 ;當(dāng) -1x0時(shí) , ,則 Y單調(diào)增加 ;當(dāng) 0 x1 時(shí) , ,則 Y單調(diào)增加 . 故當(dāng) 時(shí) ,Y有最小值 5/6,此時(shí)點(diǎn) 為所求 . x y 例 4: 如圖 ,在二次函數(shù) f(x)= 4x-x2的圖象與 x軸所 圍成的圖形中有一個(gè) 內(nèi)接矩形 ABCD,求這 個(gè)矩形的最大面積 . 解 :設(shè) B(x,0)(0 x2), 則 A(x, 4x-x2). 從而 |AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形 ABCD的面積 為 :S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0 x0得 x=1. 而 0 x1時(shí) , ,所以 x=1是 f(x)的 極小值點(diǎn) . 所以當(dāng) x=1時(shí) ,f(x)取最小值 f(1)=1. 從而當(dāng) x0時(shí) ,f(x)1恒成立 ,即 : 成立 .
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