第28講 遞推方法.doc

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1、小學(xué)奧數(shù)培優(yōu)：以德為先 以禮育人 以知建樹 以生為本 善學(xué)習(xí) 會思考 懂生活 知做人 勤實踐 能創(chuàng)造 第二十八講 遞推方法 月 日 課次 ◇專 題 知 識 簡 述◇ 有時，我們會遇上一些具有規(guī)律性的數(shù)學(xué)問題，這就需要我們在解題時根據(jù)已知條件盡快地去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并利用這一規(guī)律去解決問題。 例如：按規(guī)律填數(shù)：1，4，9，16，25，（ ），49，64； 分析：要在括號填上適當(dāng)?shù)臄?shù)

2、，就要正確判斷出題目所呈現(xiàn)出的規(guī)律。若你仔細(xì)地觀察這一數(shù)列，就會發(fā)現(xiàn)這些數(shù)之間的規(guī)律： ⑴先考慮相鄰兩個數(shù)之間的差，依次是3，5，7，9，……，15；可以看到相鄰兩數(shù)的差從3開始呈現(xiàn)遞增2的規(guī)律，所以括號里的數(shù)應(yīng)是25+11=36，再看36+13=49得到驗證。 ⑵如果我們換一個角度去考慮，那么我們還可以發(fā)現(xiàn)，這數(shù)列的第一項是1的平方，第二項是2的平方，第三項是3的平方，……，從這些事實中，發(fā)現(xiàn)規(guī)律是第n項是n的平方。那么所求的是第六項是62=36。 我們把相鄰數(shù)之間的關(guān)系稱為遞歸關(guān)系，有了遞歸關(guān)系可以利用前面的數(shù)求出后面的未知數(shù)。象這種解題方法稱為遞推法。 ◇例 題 解 析◇ 1

3、0個9 10個9 例1 999…999×999…999的乘積中有多少個數(shù)字是奇數(shù)？ 分析 我們可以從最簡單的9×9的乘積中有幾個奇數(shù)著手尋找規(guī)律。 9×9=81，有1個奇數(shù)；99×99=99×（100-1）=9900-99=9801，有2個奇數(shù)； 999×999=999（1000-1）=999000-999=998001，有3個奇數(shù)； …… 10個9 10個9 從而可知，999…999×999…999的乘積中共有10個數(shù)字是奇數(shù)。 A a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 例2 如圖所示：線段AB上共有10個點（包括兩個端點）那么這條線

4、段上一共有多少條不同的線段？B 分析 先從AB之間只有一個點開始，在逐步增加AB之間的點數(shù)，找出點和線段之間的規(guī)律。 我們可以采用列表的方法清楚的表示出點和線段數(shù)之間的規(guī)律。 AB之間只有1個點：線段有 1+2=3條。AB之間只有2個點：線段有 1+2+3=6條。 AB之間只有3個點：線段有 1+2+3+4=10條。 AB之間只有4個點：線段有 1+2+3+4+5=15條?！? 不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)AB之間有8個點時，線段有 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45條。 若再進(jìn)一步研究可得出這樣得規(guī)律，線段數(shù)=點數(shù)×（點數(shù)-1）÷2。

5、例3 計算13+23+33+43+53+63+73+83+93+103得值。 分析 這是一道特殊的計算題，當(dāng)然我們可以采用分別求出每個數(shù)的立方是多少再求和計算出這題的結(jié)果。這樣的計算工作量比較大，是否可以采用其它較簡便的方法計算呢？下面我們就來研究這個問題。 13+23=（1+2）2； 13+23+33=（1+2+3）2； 13+23+33+43=（1+2+3+4）2 ；…… 這樣我們可以容易地得到13+23+33+43+53+63+73+83+93+103 =（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）2 = 552= 3025 通過這個例題我們可以得到13+23+33++

6、……+n3=（1+2+3+…+n）2 例4 2000個學(xué)生排成一行，依次從左到右編上1～2000號，然后從右到左按一、二報數(shù)，報一的離開隊伍，剩下的人繼續(xù)按一、二報數(shù)，報一的人離開隊伍，……按這個規(guī)律如此下去，直至當(dāng)隊伍只剩下一人為止。問：最后留下的這個人原來的號碼是多少？ 分析 我們通過前幾次留在隊伍中的學(xué)生的編號找出規(guī)律。 第一次留下的學(xué)生編號是：2，4，6，8，10，……； 都是2的倍數(shù)。即21的倍數(shù)； 第二次留下的學(xué)生編號是：4，8，12，16，20，……； 都是4的倍數(shù)，即22的倍數(shù)； 第一次留下的學(xué)生編號是：8，16，24，32，40，……；都是8的倍數(shù)。即23的倍數(shù)

7、；…… 由于210=1024＜2000＜211=2048；這樣可知，最后留下學(xué)生的號碼一定是1024。 例5 圓周上兩個點將圓周分為兩半，在這兩點上寫上數(shù)1；然后將兩段半圓弧對分，在兩個分點上寫上相鄰兩點上的數(shù)之和；再把4段圓弧等分，在分點上寫上相鄰兩點上的數(shù)之和，如此繼續(xù)下去，問第6步后，圓周上所有點上的之和是多少？ 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 3 3 3 3 分析 先可以采用作圖嘗試尋找規(guī)律。 第一步，圓周上有兩個點，第二步有四個點，第三步有八個點，第四步有十六個點，…，第六步有32個點。 因為問題是求圓周上所有數(shù)的和，所以我們不必去考慮每

8、一步具體增加了哪些數(shù)，只須知道每一步增加數(shù)的總和是多少。 第一步：圓周上有兩個點，兩個數(shù)的和是1+1=2； 第二步：圓周上有四個點，四個數(shù)的和是1+1+2+2=6；增加數(shù)之和恰好是第一步圓周上所有數(shù)之和的2倍。 第三步：圓周上有八個點，八個數(shù)的和是1+1+2+2+3+3+3+3=18，增加數(shù)之和恰好是第二步數(shù)圓周上所有數(shù)之和的2倍。 第四步：圓周上有十六個點，十六個數(shù)的和是1+1+2+2+3+3+3+3+4+4+4+4+5+5+5+5=54，增加數(shù)之和恰好是第三步數(shù)圓周上所有數(shù)之和的2倍?！? 這樣我們可以知道，圓周上所有數(shù)之和是前一步圓周上所有數(shù)之和的3倍。用遞推法關(guān)系表示。

9、 設(shè)an為第n步后得出的圓周上所有數(shù)之和，則an=3×an－1利用此式可以得到： an=3×an－1=3×3an－2=3×3×3an－3=……=3×3×……×3a1 （n－1）個3 因為a1=2，所以： （n－1）個3 an=3×3×……×3a1=3（6-1）×2=486。 例6 4個人進(jìn)行籃球訓(xùn)練，互相傳球接球，要求每個人接球后馬上傳給別人，開始由甲發(fā)球，并作為第一次傳球，第五次傳球后，球又回到甲手中，問有多少種傳球方式？ （n－1）個3 分析 設(shè)第n次傳球后，球又回到甲手中的傳球方式有an種?？梢韵胂笄皀-1次傳球，如果每一次傳球都任選其他三人中的一

10、人進(jìn)行傳球，即每次傳球都有3種可能，由乘法原理，共有 3×3×……×3=3（種）傳球方法。 （n－1）個3 這些傳球方式并不是符合要求的，它們可以分為兩類，一類是第n-1次恰好傳到甲手中，這有an-1傳法，它們不符合要求，因為這樣第n次無法再把球傳給甲；另一類是第n-1次傳球，球不在甲手中，第n次持球人再將球傳給甲，有an傳法。根據(jù)加法原理，有an-1+an=3×3×……×3=3n-1。 由于甲是發(fā)球者，一次傳球后球又回到甲手中的傳球方式是不存在的，所以a1=0。 利用遞推關(guān)系可以得到 a2=3-0=3，a3=3×3-3=6，a4=3×3×3-6=21，a4=3×3×3×3-21

11、=60。 這說明經(jīng)過5次傳球后，球仍回到甲手中的傳球方法有60種。 當(dāng)然這題也可以利用列表法求解。 我們可以這樣想，第n次傳球后，球不在甲手中的傳球方法，第n+1次傳球后球就可能回到甲手中，所以只需求出第四次傳球后，球不在甲手中的傳法共有多少種。 從圖中可以看出經(jīng)過四次傳球后，球仍回到甲手中的傳球方法共有60種。 ◇練習(xí)鞏固◇ 1、下列數(shù)是按一定規(guī)律排列的。 3、8、15、24、35、48、63、……，那么，它的第36個數(shù)是（ ）。 2、右圖中最上面的空格中應(yīng)填（ ）。 3、333…33×333…33的乘積中有幾個數(shù)字是奇數(shù)？ 10個

12、3 4、把一張長16厘米、寬8厘米的長方形紙對折后裁成兩半，再把其中的一張對折并裁成兩半，…，繼續(xù)這樣裁下去，直到得到兩個邊長為1厘米的正方形紙片為止。一共需要裁（ ）次。 5、如圖，從A點到B點，最短路線共有多少條？ 6、將一根繩子連續(xù)對折3次，然后每隔一定長度剪一刀，共剪了6刀。這樣原來的繩子被剪成（ ）段。 7、在一張四邊形紙上共有10個點，如果把四邊形的頂點算在一起，則一共有14個點。已知這些點中的任意三個點都不在同一直線上。按照下面規(guī)定把這張紙片剪成一些三角形： ⑴每個三角形的頂點都是這14個點中的3個； ⑵每個三角形內(nèi)

13、都不再有這些點。 那么，這張四邊形的紙最多可以剪出（ ）個三角形。 8、某公共汽車線路上共有15個車站（包括起點站和終點站）。在每個站上車的人中，恰好在以后各站下去一個。要使行駛過程中每位乘客都有座位，車上至少要備有多少個座位？ 9、在平面內(nèi)畫五條直線和一個圓，最多能把平面分成多少部分？ 10、一個三位數(shù)，如果它的每一位數(shù)字都不小于另一個三位數(shù)對應(yīng)數(shù)位上的數(shù)字，就稱它“吃掉”后一個三位數(shù)，例如543吃掉432。543吃掉543。但是543不能吃掉534。那么能吃掉587的三位數(shù)共有多少個？ ◇練習(xí)答案◇ 1. 這列數(shù)規(guī)律是第n個數(shù)是（n+1）2－1。所以第36個

14、數(shù)是（36+1）2－1=1368。 2. 61 3. 10個 4. 每次裁一次面積減少一半，16×8=27，所以需要裁7次。 5. 如圖，共有10條最短路線 6. 考慮繩子被對折后形成的彎。 i. 繩子對折3次，繩子共折成8段，其中彎有7個彎。 ii. 繩子被剪6刀，即每段繩子被剪成7段，這樣繩子共被剪成56段，由于有7個彎，把兩段繩子連在一起，所以原來的繩子被剪成56－7=49段。 7． 在10個點中任意取一點，與四邊形的四個頂點構(gòu)成4個三角形。再在剩下的9個點中任意取一點，它必定落在某一個三角形中，只能與三角形的三個頂點構(gòu)成三個三角形，即增加2個三角形。以后各點情況都與此相

15、同。除了第一點增加4個三角形外，其余各點都只增加2個三角形。所以共可以剪出4+（10－1）×2=22（個）三角形。 8． 從表中可以看出車上人數(shù)最多是56人，所以車上至少要準(zhǔn)備56個座位。 9．見，在平面內(nèi)畫五條直線和一個圓，最多能把平面分成10+16=26部分。 10．有5、6、7、8、9五種選擇，十位上有8、9兩種選擇，個位上有7，8，9三種選擇，所以共有5×2×3=30（個）三位數(shù)。 ◇教學(xué)反思◇ - 3 - 小學(xué)五年級 編訂者：楊威