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1、第11章 濾波器設(shè)計(jì),11.1 濾波器的設(shè)計(jì)基礎(chǔ) 1.分貝 首先，兩個(gè)功率值可以通過(guò)下面的公式（11.1.1）進(jìn)行比較。比值的單 位是貝爾（Bel），是電信領(lǐng)域用來(lái)表示功率訊號(hào)的增益和衰減的單位。 （11.1.1） 1個(gè)貝爾的增益是電路中放大后與放大前的功率比值 （11.1.2） 因而使用分貝來(lái)表示兩個(gè)功率 , 的比值，應(yīng),,,,,如果 ，則此環(huán)節(jié)沒(méi)有作增益或者衰減，dB0。如果 ，則此環(huán)節(jié)應(yīng) 作了增益，dB0，分貝值為正。如果 ，則此環(huán)節(jié)應(yīng)作了衰減，dB<0，分 貝值為負(fù)。 有一個(gè)非常典型的分貝值，往
2、往在揚(yáng)聲器中使用這個(gè)功率點(diǎn)。如果兩個(gè)功 率僅是增加1倍的話，也就是 ，則用分貝表示為 同樣，也可以使用分貝來(lái)表示電壓增益。對(duì)于純電阻，功率可以表示為 （11.1.4） 式中用下標(biāo)u表示為電壓增益，與功率增益區(qū)分開(kāi)來(lái)。,,,,,,,已知某系統(tǒng)電路的輸入信號(hào)為2mv，輸出電壓為1.2V，請(qǐng)用分貝表示電壓增益的大小。,例 1,如果直接計(jì)算電壓增益，則有。,解：,,上面的例題可以看出，用分貝（或說(shuō)對(duì)數(shù)方式）計(jì)算電壓增益可以大大增加其變化的范圍，這也是這種表示方法在工程上得到廣泛應(yīng)用的原因之一；另外一個(gè)顯著的特點(diǎn)就是計(jì)算多級(jí)放大電路的總增益時(shí)，可將乘法化為加法進(jìn)行運(yùn)算
3、。這是由對(duì)數(shù)的性質(zhì)決定的。 在后續(xù)的課程中，分貝的應(yīng)用非常普遍。比如在數(shù)字信號(hào)處理課程以及相關(guān)的通信領(lǐng)域都涉及分貝。在電子電路和自動(dòng)控制系統(tǒng)的分析、設(shè)計(jì)中幅頻特性曲線的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)常常采用對(duì)數(shù)標(biāo)尺，這種采用對(duì)數(shù)坐標(biāo)的曲線圖稱(chēng)為波特圖。 在濾波器的設(shè)計(jì)中需要學(xué)會(huì)使用波特圖分析信號(hào)變化。,2 濾波器的定義與分類(lèi),一般來(lái)說(shuō)，濾波器可以分為兩類(lèi)： （1）無(wú)源濾波器電路由R、L、C串聯(lián)或并聯(lián)構(gòu)成； （2）有源濾波器由有源器件，比如晶體管、運(yùn)放，結(jié)合R、L、C無(wú)源器件構(gòu)成電路網(wǎng)絡(luò)。,自60年代以來(lái)，集成運(yùn)算放大器獲得了迅速的發(fā)展。由集成運(yùn)算放大器和R、 C組成的有源濾波電路，具有不用電感、體積小、重量
4、輕等特點(diǎn)。此外，由于集 成運(yùn)算放大器的開(kāi)環(huán)增益和輸入阻抗均很高，輸出阻抗又低，構(gòu)成有源濾波電路 后還具有一定的電壓放大和緩沖作用。不過(guò)，因受運(yùn)算放大器帶寬的限制，這類(lèi) 濾波器目前還僅多應(yīng)用于低頻范圍。根據(jù)頻率范圍可將其分為低通、高通、帶通 與帶阻等四種濾波器。四種濾波器的衰減特性如下圖所示。,,,,,3 頻率和阻抗的歸一化,濾波器在電子設(shè)備中的應(yīng)用極其廣泛，不同的設(shè)備對(duì)濾波器的要求相差很 大，有的要求工作頻率高，有的要求工作頻率低，負(fù)載阻抗也不一樣，因此構(gòu) 成濾波器的各元件值的大小就有可能有相當(dāng)大的差異。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，通常先 將頻率和阻抗（即元件R、L、C的數(shù)值）歸一化后再進(jìn)行綜合設(shè)計(jì)，待設(shè)計(jì)
5、完 畢再將計(jì)算所得的濾波器的各參數(shù)還原成實(shí)際數(shù)值。,,,,,歸一化的頻率 等于角頻率 除以截止頻率 ，即 是無(wú)量綱的量，對(duì)應(yīng)于截止頻率時(shí)， 。,,歸一化的阻抗 等于原阻抗 除以基準(zhǔn)電阻 ，即 （11.1.10） 通過(guò)把負(fù)載電阻選取為基準(zhǔn)電阻，這樣各元件的歸一化值如下：,,,,,（1）電阻 的歸一化值,,（11.1.11） 顯然，當(dāng)電路的（輸出）電阻等于負(fù)載電阻，歸一化值 。,（2）電感 歸一化值 因?yàn)橐欢l率下，電感 的阻抗為 ，所以歸一化值為 為設(shè)計(jì)所需要的截止頻率， 為上述的歸一化頻率，歸一化電感為
6、 （11.1.12）,（3）電容 的歸一化值為 。一定頻率下，電容的阻抗為 則歸一化后的阻抗為 歸一化電容為 （11.1.13）,,,,,,,,,,11.2.1 巴特沃思逼近的概念 從信號(hào)處理要求出發(fā)，一個(gè)理想低通濾波器的幅頻特性應(yīng)如下面的右圖所 示，圖中 ， 。,11.2 有源濾波器,,,,,,該特性曲線表明低通濾波器允許信號(hào)中角頻率低于 的分量毫無(wú)衰減地通過(guò)，而阻止角頻率高于 的任何分量，使它們完全不通過(guò)，故稱(chēng)為截止（角）頻率，而以0到的范圍為通帶，到的范圍為阻帶。但
7、是實(shí)際上，沒(méi)有任何一個(gè)線性非時(shí)變集總電路可以實(shí)現(xiàn)這一理想特性。因?yàn)榫€性集總電路的轉(zhuǎn)移函數(shù)總是的有理函數(shù)，故其模值應(yīng)是的連續(xù)函數(shù)，且不可能在任何頻帶上為常數(shù)，除非它在所有頻率上均為常數(shù)。,,因此一個(gè)實(shí)際低通濾波器電路的電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)的幅頻特性只能以一定 的精度近似于理想特性。設(shè)計(jì)過(guò)程的第一步是要找到一個(gè)可實(shí)現(xiàn)的電壓轉(zhuǎn)移 函數(shù)，使它的幅度頻率響應(yīng)能滿足設(shè)計(jì)所規(guī)定的要求，巴特沃思逼近就是獲 得符合這種要求的轉(zhuǎn)移函數(shù)的方法之一。除此之外，還有切比雪夫逼近，它 的優(yōu)點(diǎn)是如果在給定帶內(nèi)所允許的紋波差，可以改善其波動(dòng)響應(yīng)特性。,下面的函數(shù) 是一個(gè) 階巴特沃思函數(shù) 它在 時(shí)，具有最大值，然后隨 趨于 而趨于
8、零。 不同， 隨 的衰減情況也不同。所謂巴特沃思逼近就是找到一個(gè)可實(shí)現(xiàn)的電壓轉(zhuǎn)移 函數(shù) ，當(dāng) 時(shí)，有 （11.2.1a）或 （11.2.1b）滿足這一要求的的一般形式為 （11.2.2）,,,,,,,,,,,,下圖繪出了 時(shí)的曲線。,從圖示曲線可見(jiàn)，當(dāng) 時(shí)， 將趨于理想低通濾波器的幅頻響應(yīng)，這就是說(shuō)，可以通過(guò)選擇合適的 值，使之在任意精度內(nèi)近似于理想低通濾波器幅頻特性。,,,,,,確定一個(gè)歸一化的巴特沃思低通濾波器的,例11.2.1,首先確定濾波器的階數(shù) 。按通帶要求，有,解：,，使其滿足
9、下列要求：,（1）通帶內(nèi) （2）阻帶內(nèi),,,,,由此得 ，故選 。于是根據(jù)式（11.2.2）和表（11.2.1）可得滿足設(shè)計(jì)要求的轉(zhuǎn)移函數(shù),,由此得 ，按阻帶要求有,,,,,11.2.2 有源二階電路頻率特性,用一階電路只能實(shí)現(xiàn)低通和高通頻率特性。帶通和帶阻特性必須使用二 階（或二階以上）RLC無(wú)源或有源電路來(lái)實(shí)現(xiàn)。而用有源電路實(shí)現(xiàn)的二階選 頻電路，可以避免使用電感元件，便于控制或提高Q值，實(shí)現(xiàn)傳遞函數(shù)的幅 度增益等。下面用例題來(lái)說(shuō)明有源電路對(duì)二階頻率特性的實(shí)現(xiàn)。,(1)先求出傳遞函數(shù)，用節(jié)點(diǎn)法列方程,下圖為含受控源的二階RC電路，其中受控源代表增益為 的運(yùn)放電路?，F(xiàn)在要證明其傳遞函數(shù)為
10、低通特性，然后選擇元件使電路的Q5， 。,,,例11.2.2,從中可解出,解：,,對(duì)比傳遞函數(shù)模型，可知這是一個(gè)二階低通電路，其中 。從電路上來(lái)看，當(dāng) 時(shí)，兩個(gè)電容相當(dāng)于開(kāi)路， ，因此， 即直流增益為 ；當(dāng) 時(shí)，電容相當(dāng)于短路， 。因此，對(duì)無(wú)窮大頻率增益為0，這是低通幅度頻響的特征。,,,,,,,,,(2)由于 ，即 ，取電阻 ，則 ，根 據(jù) 得,根據(jù)前面對(duì)二階低通頻響的討論，可以算出幅頻特性有最大值，得 因此，幅頻曲線有一個(gè)5倍于通帶增益的諧振峰值。,,,,,,（1）在圖（a）中，運(yùn)放與 組成一個(gè)電阻性同相放大器電 路，其增益為 ，在s域模型中
11、，我們把這部分電路等效為一個(gè)受 控源，如圖（b）所示。對(duì)于圖（b）電路列出s域節(jié)點(diǎn)方程，找出 關(guān)系。,例11.2.3,下圖（a）為RC雙T運(yùn)放電路，試證明其 關(guān)系為帶阻濾波器。選擇電路元件參數(shù)，在輸出中抑制 頻率成分。要求 。,（a） （b）,,,,解：,,,,從中解出,,,,對(duì)比二階帶阻傳遞函數(shù)原型，可知其中,,,因此， 時(shí)， ，信號(hào)被完全抑制。,,,（2）要抑制信號(hào)的物理頻率 ，因此要求 。取 ，則 。根據(jù)Q值要求， ，得到 。,在本電路中，通帶增益 和 值都與 有關(guān)，在滿足Q值要求時(shí)， 不能獨(dú)立取值，需要另加放大電路來(lái)滿足實(shí)際
12、增益要求。此外，本電路為三階電路，但傳遞函數(shù)為二階，原因是對(duì) 輸出端的傳遞函數(shù)出現(xiàn)零極點(diǎn)相消的特殊情況。這一點(diǎn)可將節(jié)點(diǎn)方程中 或 解出來(lái)得到驗(yàn)證。,,,,,,,,11.3 濾波器的快速設(shè)計(jì)方法,常用的逼近方法有巴特沃思（butterworth）最大平坦響應(yīng)和切比雪夫（chebysher）波動(dòng)響應(yīng)。在不允許帶內(nèi)有波動(dòng)時(shí)，用巴特沃思響應(yīng)較好。如果給定帶內(nèi)所允許的紋波差，則用切比雪夫響應(yīng)較好。本節(jié)主要介紹具有巴特沃思響應(yīng)的二階RC有源濾波器的設(shè)計(jì)。,一階低通有源濾波器如下圖（a），其傳遞函數(shù)為,（11.3.2）,（11.3.1） 截止角頻率為 ，直流增益為 。,,一階高通有源濾波器如下圖（b），其傳
13、遞函數(shù)為,（a） （b）,,二階RC濾波器的傳輸函數(shù)如書(shū)中表11.3.1所示。其常用電路有電壓 控制電壓源（VCVS）電路和無(wú)限增益多路反饋（MFB）電路。,上圖（a）所示電路為壓控電壓源電路，其中運(yùn)放為同相輸入，輸入阻抗很高，輸出阻抗很低，濾波器相當(dāng)于一個(gè)電壓源，故稱(chēng)電壓控制電壓源電路。其優(yōu)點(diǎn)是電路性能穩(wěn)定、增益容易調(diào)節(jié)。圖（b）所示電路為無(wú)限增益多路反饋電路，其中運(yùn)放為反相輸入，輸出端通過(guò)形成兩條反饋支路，故稱(chēng)無(wú)限增益多路反饋電路。其優(yōu)點(diǎn)是電路有倒相作用，使用元件較少，但增益調(diào)節(jié)對(duì)其性能參數(shù)會(huì)有影響，故應(yīng)用范圍比VCVS電路要小。,（a）
14、 （b）,下面以二階有源濾波電路為例，來(lái)討論電路參數(shù)的計(jì)算。,例11.3.1,已知截止頻率 ，試選擇和計(jì)算下圖所示電路形式的巴特沃思二階低通濾波電路的參數(shù)。,,,,,,通常C的容量宜在數(shù)量級(jí)以下，R的數(shù)值一般約為幾百千歐 以內(nèi)。選擇C0.047 ，則,,解,（1）選擇電容器C的容量，計(jì)算電阻R的阻值。,,參看表11.3.1中的低通濾波函數(shù)，并考慮3dB截止角頻率 ，則,,,令,,并對(duì)照表11.2.1中 的情況， 有 由圖可得到電路的傳遞函數(shù)為 由上式可知,（2）求值考慮到運(yùn)放兩輸入端的外接電阻必須滿足平衡條件，即 ，這樣和 聯(lián)解，可得 和 。,,,,
15、,,,由于濾波器性能對(duì)元件的誤差比較靈敏，電路宜選用穩(wěn)定而精密的電阻器和電容器。,,,,,例11.3.2,解,設(shè)計(jì)一個(gè)二階無(wú)限增益多路反饋高通濾波器，要求截止頻率 增益,,,首先根據(jù)圖11.3.2 二階無(wú)限增益多路反饋低通濾波電路， R與C互換位置，可得到如下圖所示的高通電路。,,,,,,,,,,根據(jù) ，選擇電容 對(duì)應(yīng)的參數(shù)K=10,,查設(shè)計(jì)表11.3.3得 時(shí)， K=1時(shí)，電阻 ，,,,,,將上述電阻值乘以參數(shù)K=10，得,取標(biāo)稱(chēng)值,取標(biāo)稱(chēng)值,,,對(duì)電路參數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)試，可以看到信號(hào)的增益低于理想值。在測(cè)高通濾波器幅頻特性時(shí)，應(yīng)注意隨著頻率升高，信號(hào)發(fā)生器的輸出幅度可
16、能下降，從而出現(xiàn)濾波器的輸入信號(hào)與輸出信號(hào)同時(shí)下降的現(xiàn)象。這時(shí)應(yīng)調(diào)整輸入信號(hào)的幅度，使其輸出保證原值不變。,例11.3.3,下圖為含有3個(gè)運(yùn)放的Two-Thomas濾波電路，試求電壓傳遞函數(shù) 和 ，并給出濾波函數(shù)的 和 的表達(dá)式。,解,,,,,運(yùn)放A1及有關(guān)無(wú)源元件組成有損積分器，對(duì)A1反相端應(yīng)用KCL,,顯然， 為帶通濾波器，而 為低通濾波器。其中,A2和 ， 組成反相積分器，而A3及兩個(gè)電阻R組成反相比例器，因此有,,,求解兩式得：,,,,,,,例11.3.4,用級(jí)聯(lián)方法設(shè)計(jì)一有源RC電路，實(shí)現(xiàn)下式傳遞函數(shù),解,設(shè)取 。 可用圖（a）實(shí)現(xiàn)，其中,,,,根據(jù)題目要求， ，若取 ，比較有關(guān)系數(shù)，得,,,,,可用sallenkey低通濾波電路實(shí)現(xiàn)，如圖 (b)，其中,,,由于 ，可取 。,,,比較有關(guān)系數(shù)，得：,將圖中的兩個(gè)電路級(jí)聯(lián)，如圖中虛線所示，則實(shí)現(xiàn)了題目中給定的傳遞函數(shù)。,這時(shí),,（a） （b）,致 謝,,本課件在制作過(guò)程中主要參考了如下有關(guān)電路課程的PPT課件,在此向相關(guān)課件的制作者表示衷心的感謝!,1. 西安交通大學(xué)國(guó)家精品課程電路.,2. 上海交通大學(xué)國(guó)家精品課程基本電路理論.,
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