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1、7.3 線性變換和矩陣,一、內(nèi)容分布 7.3.1 線性變換的矩陣 7.3.2 坐標(biāo)變換 7.3.3 矩陣唯一確定線性變換 7.3.4 線性變換在不同基下的矩陣----相似矩陣 二、教學(xué)目的: 1熟練地求出線性變換關(guān)于給定基的矩陣，以及給定n 階矩陣和基，求出關(guān)于這個基的矩陣為的線性變換 2由向量關(guān)于給定基的坐標(biāo)，求出()關(guān)于這個基的坐標(biāo) 3已知線性變換關(guān)于某個基的矩陣，熟練地求出關(guān)于另一個基的矩陣. 三、重點(diǎn)難點(diǎn): 線性變換和矩陣之間的相互轉(zhuǎn)換, 坐標(biāo)變換, 相似矩陣.,7.3.1 線性變換的矩陣,現(xiàn)在設(shè)V是數(shù)域F上一個n維向量空間，令是V的一個線性變換，取定V的一個基 令,,設(shè),n
2、 階矩陣A 叫做線性變換關(guān)于基 的矩陣. 顯然,A的第j 列就是(j)關(guān)于基 的坐標(biāo). 上面的表達(dá)常常寫出更方便的形式:,,(1),由此可知: 取定F上n維向量空間V的一個基之后，對于V的每一個線性變換，都有唯一確定的n階矩陣A與之對應(yīng)這樣一來，從L(V)到Mn(F)必然存在著一個對應(yīng)關(guān)系----映射，不妨記為,練習(xí):教材P284---習(xí)題第1題,7.3.2 坐標(biāo)變換,設(shè)V 是數(shù)域F上一個n 維向量空間, 是V 的一個基, 關(guān)于這個基的坐標(biāo)是 而()的坐標(biāo)是 問: 和 之間有什么關(guān)系呢?,,設(shè),因為是線性變換，所以,（2）
3、,將（1）代入（2）得,最后，等式表明， 的坐標(biāo)所組成的列是,綜合上面所述, 我們得到坐標(biāo)變換公式：,定理7.3.1 令V是數(shù)域F上一個n 維向量空間，是V的一個線性變換，而關(guān)于V的一個基 的矩陣是,如果V中向量關(guān)于這個基的坐標(biāo)是 ，而()的坐標(biāo)是 ，,那么,,例,例在空間 內(nèi)取從原點(diǎn)引出的兩個彼此正交的單位向量 作為 的基.令是將 的每一向量旋轉(zhuǎn)角的一個旋轉(zhuǎn). 是 的一個線性變換.我們有,所以關(guān)于基 的矩陣是,設(shè) ，它關(guān)于基 的坐標(biāo)是 ,而 的坐標(biāo)是 .那么,例3 令是數(shù)域上一個n維向量空間， 是的一個位似
4、，那么關(guān)于任意基的矩陣是 特別地，的單位變換關(guān)于任意基的矩陣是單位矩 陣；零變換關(guān)于任意基的矩陣是零矩陣,7.3.3 矩陣唯一確定線性變換,引理7.3.2 設(shè)V是數(shù)域F上一個n 維向量空間， 是V的一個基，那么對于V 中任意n個向量 ，有且僅有 V 的一個線性變換，使得:,,我們證明，是V的一個線性變換。設(shè),那么,于是,設(shè) 那么,,,這就證明了是V的一個線性變換。線性變換顯然滿足定理所要求的條件：,,如果是V的一個線性變換，且,,那么對于任意,從而 ,,定理7.3.3 設(shè)V 是數(shù)域 F 上一個n 維向量空間， 是V 的一個基，對于V 的每一個線性變換，
5、令關(guān)于基 的矩陣A與它對應(yīng)，這樣就得到V 的全體線性變換所成的集合 L（V）到F上全體n 階矩陣所成的集合 的一個雙射，并且如果 ,而 ， 則 (3) (4),證 設(shè)線性變換關(guān)于基 的矩陣是A。那么 是 的一個映射。,是F上任意一個n階矩陣。令,由引理7.3.2，存在唯一的 使,反過來，設(shè),顯然關(guān)于基 的矩陣就是A. 這就證明了如上建立的映射是 的雙射.,設(shè) 我們有,由于是線性變換, 所以,因此,所以關(guān)于基 的矩陣就是AB。（7）式成立，至于（6）式成立，是顯然的。,推論7.3.4 設(shè)數(shù)域F上n 維
6、向量空間V 的一個線性變換關(guān)于V 的一個取定的基的矩陣是A，那么可逆必要且只要A可逆，并且 關(guān)于這個基的矩陣就是 .,我們需要對上面的定理7.3.1和定理7.3.3的深刻意義加以說明:,1. 取定n 維向量空間V的一個基之后, 在映射: 之下, (作為向量空間),研究一個抽象的線性變換, 就可以轉(zhuǎn)化為研究一個具體的矩陣. 也就是說, 線性變換就是矩陣.以后,可以通過矩陣來研究線性變換,也可以通過線性變換來研究矩陣.,2. 我們知道, 數(shù)域F上一個n 維向量空間V 同構(gòu)于 , V上的線性變換,轉(zhuǎn)化為 上一個具體的變換:,也就是說, 線性變換都具有上述形式
7、.,,,引言： 一般地線性變換關(guān)于基的矩陣與基的選擇有關(guān),同一線性變換在V中的兩個不同基下的矩陣一般不同. 為了利用矩陣研究線性變換，顯然需要討論線性變換在不同基下的矩陣間的關(guān)系。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,引例：設(shè) ，且 關(guān)于基 ， 的矩陣為 求關(guān)于基 的矩陣 分析:本題不能直接用定義做,因 的對應(yīng)關(guān)系不清楚, 由定義是求B使 B， 又由題知 ，而 與 間的關(guān)系易得，因而可通過上述已知轉(zhuǎn)化一下。,,,,,,,,,解：設(shè) B， 因 ，所以 其中 . 于是,,,,,,,,,,,,,所以,設(shè)線性變換關(guān)于基
8、 的矩陣是 A , 關(guān)于基 的矩陣是 B , 由基 到基 的過渡矩陣T, 于是有:,定理7.3.5,,7.3.4 線性變換在不同基下的矩陣 相似矩陣,(1),(2),(3),由(3)得,比較兩端,得,證明:,定義：設(shè) A，B 是數(shù)域 F 上兩個 n 階矩陣. 如果存在F上一個 n 階可逆矩陣 T 使等式成立，那么就說B與A相似，記作： .,n階矩陣的相似關(guān)系具有下列性質(zhì)：,1. 自反性：每一個n階矩陣A都與它自己相似，因為 2. 對稱性：如果 ，那么 ；因為由,事實(shí)上，由 得,因此: 線性變換在
9、不同基下的矩陣是相似的. 反過來，一對相似矩陣可以是同一個線 性變換在不同基下的矩陣.(證明略----教材 P283P284),容易證明,NOTE: 這兩個式子的作用在于方便運(yùn)算,例4 設(shè)A、B都是n階矩陣，且A可逆. 證明: ABBA.,問題：Th7.3.5說明， 關(guān)于V的不同基的矩陣是相似的；且所有彼此相似的矩陣可看成同一線性變換在不同基下的矩陣。這自然會提出問題： 滿足什么條件下，可以并且如何選取V的基，使線性變換關(guān)于這個基的矩陣盡可能簡單？或曰：方陣滿足什么條件時，如何在彼此相似的矩陣中選取一個方陣，使得它最簡單？這是因為簡單方陣研究起來方便一些。后幾節(jié)討論，什么樣的方陣與對角方陣相似，進(jìn)而尋找可逆方T，對給定的方陣A，使得 為對角形。,,,,,,,,,
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