2015高中數學 2.2.1用樣本的頻率分布估計總體分布總結 新人教A版必修3

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1、2．2.1　用樣本的頻率分布估計總體分布（結） 列頻率分布表、畫頻率分布直方圖、折線圖 [例1]　美國歷屆總統(tǒng)中，就任時年紀最小的是羅斯福，他于1901年就任，當時年僅42歲；就任時年紀最大的是里根，他于1981年就任，當時69歲．下面按時間順序(從1789年的華盛頓到2009年的奧巴馬，共44任)給出了歷屆美國總統(tǒng)就任時的年齡： 57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65,52,56,46,54,49,51,47,55,55,54,42,51,56,55,51,54,51,60,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54

2、,48 (1)將數據進行適當的分組，并畫出相應的頻率分布直方圖和頻率分布折線圖． (2)用自己的語言描述一下歷屆美國總統(tǒng)就任時年齡的分布情況． [自主解答]　(1)以4為組距，列表如下： 分組 頻數 頻率 [41.5,45.5) 2 0.045 5 [45.5,49.5) 7 0.159 1 [49.5,53.5) 8 0.181 8 [53.5,57.5) 16 0.363 6 [57.5,61.5) 5 0.113 6 [61.5,65.5) 4 0.090 9 [65.5,69.5] 2 0.045 5 合計 44 1.00

3、 (2)從頻率分布表中可以看出60%左右的美國總統(tǒng)就任時的年齡在50歲至60歲之間，45歲以下以及65歲以上就任的總統(tǒng)所占的比例相對較?。? 根據頻率分布表，求美國總統(tǒng)就任時年齡落在區(qū)間[61.5,69.5)人數占總人數的比例． 解：區(qū)間[61.5,69.5)包含了[61.5,65.5)，[65.5,69.5)，兩個組，兩小組的頻率和為0.090 9＋0.045 5＝0.136 4，故而所占比例為13.64%. —————————————————— 1．在列頻率分布表時，極差、組距、組數有如下關系： (1)若為整數，則＝組數． (2)若不為整數，則的整數部分＋1＝組數． 2

4、．組距和組數的確定沒有固定的標準，將數據分組時，組數力求合適，使數據的分布規(guī)律能較清楚地呈現(xiàn)出來，組數太多或太少都會影響了解數據的分布情況，若樣本容量不超過100，按照數據的多少常分為5～12組，一般樣本容量越大，所分組數越多． —————————————————————————————————————— 1．一個農技站為了考察某種麥穗長的分布情況，在一塊試驗地里抽取了100個麥穗，量得長度如下(單位：cm)： 6．5　6.4　6.7　5.8　5.9　5.9　5.2　4.0 5．4　4.6　5.8　5.5　6.0　6.5　5.1　6.5 5．3　5.9　5.5　5.8　6.2　5

5、.4　5.0　5.0 6．8　6.0　5.0　5.7　6.0　5.5　6.8　6.0 6．3　5.5　5.0　6.3　5.2　6.0　7.0　6.4 6．4　5.8　5.9　5.7　6.8　6.6　6.0　6.4 5．7　7.4　6.0　5.4　6.5　6.0　6.8　5.8 6．3　6.0　6.3　5.6　5.3　6.4　5.7　6.7 6．2　5.6　6.0　6.7　6.7　6.0　5.6　6.2 6．1　5.3　6.2　6.8　6.6　4.7　5.7　5.7 5．8　5.3　7.0　6.0　6.0　5.9　5.4　6.0 5．2　6.0　6.3　5.7　6.8　6.1　

6、4.5　5.6 6．3　6.0　5.8　6.3 根據上面的數據列出頻率分布表、繪出頻率分布直方圖，并估計長度在5.75～6.05 cm之間的麥穗在這批麥穗中所占的百分比． 解：步驟是： (1)計算極差：7.4－4.0＝3.4(cm)． (2)決定組距與組數 若取組距為0.3 cm，由于＝11，需分成12組，組數合適．于是取定組距為0.3 cm，組數為12. (3)將數據分組 使分點比數據多一位小數，并且把第1小組的起點稍微減小一點，那么所分的12個小組可以是：3.95～4.25,4.25～4.55，4.55～4.85，…，7.25～7.55. (4)列頻率分布表 對各個小組

7、作頻數累計，然后數頻數，算頻率，列頻率分布表，如下表所示： 分組 頻數累計 頻數 頻率 3.95～4.25 1 0.01 4.25～4.55 1 0.01 4.55～4.85 2 0.02 4.85～5.15 正 5 0.05 5.15～5.45 正正 11 0.11 5.45～5.75 正正正 15 0.15 5.75～6.05 正正正正正 28 0.28 6.05～6.35 正正 13 0.13 6.35～6.65 正正 11 0.11 6.65～6.95 正正 10 0.10 6.95～7.2

8、5 2 0.02 7.25～7.55 1 0.01 合計 100 1.00 (5)畫頻率分布直方圖．如圖所示． 從表中看到，樣本數據落在5.75～6.05之間的頻率是0.28，于是可以估計，在這塊地里，長度在5.75 ～6.05 cm之間的麥穗約占28%. 莖葉圖及應用 [例2]　某化肥廠甲、乙兩個車間包裝肥料，在自動包裝傳送帶上每隔30分鐘抽取一包產品，稱其質量，分別記下抽查記錄如下(單位：千克)： 甲：52　51　49　48　53　48　49 乙：60　65　40　35　25　65　60 畫出莖葉圖，并說明哪個車間的產品質量比較穩(wěn)定．

9、 [自主解答]　莖葉圖如圖所示(莖為十位上的數字)： 甲 乙 2 5 3 5 9　9　8　8 4 0 　3　2　1 5 6 0　0　5　5 由圖可以看出甲車間的產品質量較集中，而乙車間的產品質量較分散，所以甲車間的產品質量比較穩(wěn)定． —————————————————— 畫莖葉圖時，用中間的數表示數據的十位和百位數，兩邊的數分別表示兩組數據的個位數．要先確定中間的數取數據的哪幾位，填寫數據時邊讀邊填．比較數據時從數據分布的對稱性、中位數、穩(wěn)定性等幾方面來比較． 繪制莖葉圖的關鍵是分清莖和葉，一般地說數據是兩位數時，十位數字為“莖”，個位數

10、字為“葉”；如果是小數的，通常把整數部分作為“莖”，小數部分作為“葉”，解題時要根據數據的特點合理選擇莖和葉． —————————————————————————————————————— 2．在某電腦雜志的一篇文章中，每個句子中所含字數如下： 10,28,31,17,23,27,18,15,26,24,20,19,36,27,14,25,15,22,11,21,24,27,17,29. 在某報紙的一篇文章中，每個句子中所含字數如下： 27,39,33,24,28,19,32,41,33,27,35,12,36,41,27,13,22,23,18,46,32,22,18,32.

11、 (1)分別用莖葉圖表示上述兩組數據； (2)將這兩組數據進行比較分析，你能得到什么結論？ 解：(1)莖葉圖如圖所示： 電腦雜志 報紙 9 8 7 7 5 5 4 1 0 1 2 3 8 8 9 9 8 7 7 7 6 5 4 4 3 2 1 0 2 2 2 3 4 7 7 7 8 6 1 3 2 2 2 3 3 5 6 9 4 1 1 6 (2)從莖葉圖可看出：電腦雜志的文章中每個句子所含字數集中在10～30之間；報紙的文章中每個句子所含字數集中在20～40之間，且電腦雜志的文章中每個句子所含字的平均個數比報紙的文章中每個句子所含字的平均個數要少，

12、因此電腦雜志的文章較簡明. 頻率分布直方圖的應用 [例3]　在學校開展的綜合實踐活動中，某班進行了小制作評比，作品上交時間為5月1日至31日，評委會把同學們上交作品的件數按5天一組統(tǒng)計，繪制了頻率分布直方圖(如圖所示)，已知從左到右各長方形的高的比為2∶3∶4∶6∶4∶1，第三組的頻數為12. (1)本次活動中一共有多少件作品參評？ (2)上交作品數量最多的一組有多少件？ (3)經過評比，第四組和第六組分別有10件，2件作品獲獎，這兩組獲獎率較高的是第幾組？ [自主解答]　在頻率分布直方圖中各小長方形的面積＝組距×＝頻率，即各小長方形的面積等于相應各組的頻率，且它們的面積和

13、等于1. (1)依題意知第三組的頻率為＝.又因為第三組的頻數為12，所以本次活動的參評作品數為12÷＝60(件)． (2)根據頻率分布直方圖，可以看出第四組上交的作品數量最多，共有：60×＝18(件)． (3)第四組的獲獎率是＝； 第六組上交的作品數量為60×＝3(件)，所以第六組的獲獎率是＝>，故第六組的獲獎率較高． —————————————————— 頻率分布直方圖的性質 (1)因為小矩形的面積＝組距×＝頻率，所以各小矩形面積表示相應各組的頻率，這樣，頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數據落在各個小組內的頻率大?。? (2)在頻率分布直方圖中，各小矩形的面積之和等于1.

14、(3)頻數/相應的頻率＝樣本容量． —————————————————————————————————————— 3．(2012·濟寧高一檢測)為了了解高一學生的體能情況，某校抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數測試，將所得數據整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖所示)，圖中從左到右各小長方形面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小組頻數為12. (1)第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？ (2)若次數在110以上(含110次)為達標，試估計該校全體高一學生的達標率是多少？ 解：(1)由于頻率分布直方圖以面積的形式反映了數據落在各個小組內的頻率大小，因此第二小組的頻率為＝0.08

15、. 又因為第二小組頻率＝， 所以樣本容量＝＝＝150. 故第二小組的頻率是0.08，樣本容量是150. (2)由圖可估計該校高一學生的達標率約為 ×100%＝88%. 故高一學生達標率是88%. 某校為了了解高三學生的身體狀況，抽取了100名女生的體重．將所得的數據整理后，畫出了如圖的頻率分布直方圖，則所抽取的女生中體重在40～45 kg的人數是(　　) A．10　　　　　　　　 　B．2 C．5 D．15 [錯解]　0.02×100＝2人．選B. [錯因]　誤認為縱軸表示頻率． [正解]　由圖可知頻率＝×組距， 知頻率＝0.02×5＝0.1. ∴0

16、.1×100＝10人． [答案]　A 1．(2012·湖北高考)容量為20的樣本數據，分組后的頻數如下表： 分組 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) 頻數 2 3 4 5 4 2 則樣本數據落在區(qū)間[10,40)的頻率為(　　) A．0.35　　　　　　　 　B．0.45 C．0.55 D．0.65 解析：求出樣本數據落在區(qū)間[10,40)中的頻數，再除以樣本容量得頻率．求得該頻數為2＋3＋4＝9，樣本容量是20，所以頻率為＝0.45. 答案：B 2．100輛汽車通過某一段公路時

17、的時速的頻率分布直方圖如圖所示，則時速在[60,70)的汽車大約有(　　) A．30輛　　　　　　　　 　B．40輛 C．60輛 D．80輛 解析：0.04×10×100＝40. 答案：B 甲 乙 6 1 4 5 2 1 2 7 7 5 3 6 8 4 4 5 3.從甲、乙兩種玉米苗中各抽6株，分別測得它們的株高如圖所示(單位：cm)，根據數據估計(　　) A．甲種玉米比乙種玉米不僅長得高而且長得整齊 B．乙種玉米比甲種玉米不僅長得高而且長得整齊 C．甲種玉米比乙種玉米長得高但長勢沒有乙整齊 D．乙種玉米比甲種玉米長得高但長勢沒有甲整

18、齊 解析：乙的平均株高為＝＝34 cm. 甲的平均株高為＝＝26 cm. 答案：D 4．為了幫助班上的兩名貧困生解決經濟困難，班上的20名同學捐出了自己的零花錢，他們捐款數如下：(單位：元)19,20,25,30,24,23,25,29,27,27,28,28,26,27,21,30,20,19,22,20.班主任老師準備將這組數據制成頻率分布直方圖，以表彰他們的愛心．制圖時先計算最大值與最小值的差是________，若取組距為2，則應分成________組；若第一組的起點定為18.5，則在[26.5,28.5]范圍內的頻數為________． 解析：30－19＝11 ＝5.5，∴

19、分6組． 在[26.5,28.5]之間的數有5個． 答案：11　6　5 5．將一個容量為n的樣本分成若干組，已知某組的頻數和頻率分別是30和0.25，則n＝________. 解析：＝0.25，∴n＝30×4＝120. 答案：120 6．為了了解學校高一年級男生的身高情況，選取一個容量為60的樣本(60名男生的身高)，分組情況如下(單位：cm)： 分組 [147.5， 155．5) [155.5， 163．5) [163.5， 171．5) [171.5， 179．5] 頻數 6 21 27 m 頻率 a 0.1 (1)求出表中a，m的值； (2)畫出頻率分布直方圖． 解：(1)由題意得：6＋21＋27＋m＝60 ∴m＝6. a＝＝0.45 ∴a＝0.45. (2)如圖所示：