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1、5.5 廣義積分,5.5.1 無限區(qū)間的廣義積分 5.5.2 無界函數(shù)的廣義積分,5.5.1 無限區(qū)間的廣義積分 5.5.2 無界函數(shù)的廣義積分,當極限存在時, 也稱廣義積分收斂; 若極限不存在, 則稱廣義積分發(fā)散, 此時無數(shù)值意義.,定義5.2 設函數(shù) 在區(qū)間 上有定義,,如果極限 存在,,在無窮區(qū)間上 的廣義積分,,并定義,,5.5.1 無限區(qū)間的廣義積分,則稱此極限為函數(shù),當極限存在時, 稱廣義積分收斂; 若極限不存在, 則稱廣義積分發(fā)散.,類似地, 設函數(shù) 在區(qū)間 上有定義,,如果極限 存在,,則稱此極限為,并定義,設函數(shù) 在區(qū)間 上有定義,
2、,則稱上述兩個廣義積分之和為,在無窮區(qū)間 上的廣義積分，,函數(shù),并定義,廣義積分 和,都收斂,,當且僅當上式右端兩個廣義積分均收斂, 稱廣義 積分 收斂; 否則, 稱廣義積分發(fā)散.,如果對于任意常數(shù)c,,,例1 計算,解,廣義積分的積分值,的幾何意義,,解,當 時廣義積分發(fā)散.,因此,當 時廣義積分收斂, 其值為,例2 討論廣義積分 的收斂性.,證,例3 證明廣義積分,收斂,,發(fā)散.,并計算,因此,,例4 計算,解,令,于是,5.5.2 無界函數(shù)的廣義積分(瑕積分),當極限存在時, 也稱廣義積分收斂; 若極限不存在, 則稱廣義積分發(fā)散.,定義2 設函數(shù) 在區(qū)間(
3、a, b上有定義,,但當 時 無界,稱 是 的,瑕點,則稱此極限為函數(shù) 在區(qū)間(a, b上的廣義積分，,并定義,取 如果極限 存在,,當極限存在時, 也稱廣義積分收斂; 若極限不存在, 則稱廣義積分發(fā)散.,類似地, 設函數(shù) 在區(qū)間a, b)上有定義,,積分,,則稱此極限為函數(shù) 在區(qū)間a, b)上的廣義,取 如果極限 存在,,瑕點,但當 時 無界,稱 是 的,并定義,否則, 稱廣義積分 發(fā)散.,定義,設函數(shù) 在區(qū)間a, b上除點,外有定義, 而點c 是 的瑕點.,當兩個廣義積分 都收斂時，,解,例5 討論廣義積分 的收斂性.,因此,當 時廣義積分收斂, 其值為,當 時廣義積分發(fā)散.,是瑕點.,例6 計算廣義積分,解,是瑕點.,例7 計算廣義積分,解,是瑕點.,取,例8 計算廣義積分,解,是瑕點,,該積分稱為混合型廣義積分,令,作業(yè) P239 習題5.5,1 （1）（2）（4）（6）（8） 3,
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