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1、二次函數(shù)
【課標要求】
考點
課標要求
知識與技能目標
了解
理解
掌握
靈活應(yīng)用
二次函數(shù)
理解二次函數(shù)的意義
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會用描點法畫出二次函數(shù)的圖像
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會確定拋物線開口方向、頂點坐標和對稱軸
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通過對實際問題的分析確定二次函數(shù)表達式
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理解二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系
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會根據(jù)拋物線y=ax2+bx+c (a≠0)的圖像來確定a、b、c的符號
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∨
【知識梳理】
1.定義:一般地,如果是常數(shù),,那么叫做的二次函數(shù).
2.二次函數(shù)用配方法可化成:的形式,其中.
3
2、.拋物線的三要素:開口方向、對稱軸、頂點.
①的符號決定拋物線的開口方向:當時,開口向上;當時,開口向下;
相等,拋物線的開口大小、形狀相同.
②平行于軸(或重合)的直線記作.特別地,軸記作直線.
4.頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù),如果二次項系數(shù)相同,那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同,只是頂點的位置不同.
5.求拋物線的頂點、對稱軸的方法
(1)公式法:,∴頂點是,對稱軸是直線.
(2)配方法:運用配方的方法,將拋物線的解析式化為的形式,得到頂點為(,),對稱軸是直線.
(3)運用拋物線的對稱性:由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形,所以對稱軸的
3、連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸,對稱軸與拋物線的交點是頂點.用配方法求得的頂點,再用公式法或?qū)ΨQ性進行驗證,才能做到萬無一失.
6.拋物線中,的作用
(1)決定開口方向及開口大小,這與中的完全一樣.
(2)和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線
,故:①時,對稱軸為軸;②(即、同號)時,對稱軸在軸左側(cè);③(即、異號)時,對稱軸在軸右側(cè).
(3)的大小決定拋物線與軸交點的位置.
當時,,∴拋物線與軸有且只有一個交點(0,):
①,拋物線經(jīng)過原點; ②,與軸交于正半軸;③,與軸交于負半軸.
以上三點中,當結(jié)論和條件互換時,
4、仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側(cè),則 .
7.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
(1)一般式:.已知圖像上三點或三對、的值,通常選擇一般式.
(2)頂點式:.已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸,通常選擇頂點式.
(3)交點式:已知圖像與軸的交點坐標、,通常選用交點式:.
12.直線與拋物線的交點
(1)軸與拋物線得交點為(0, ).
(2)與軸平行的直線與拋物線有且只有一個交點(,).
(3)拋物線與軸的交點
二次函數(shù)的圖像與軸的兩個交點的橫坐標、,是對應(yīng)一元二次方程的兩個實數(shù)根.拋物線與軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定:
①有兩個交點
5、拋物線與軸相交;
②有一個交點(頂點在軸上)拋物線與軸相切;
③沒有交點拋物線與軸相離.
(4)平行于軸的直線與拋物線的交點
同(3)一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時,兩交點的縱坐標相等,設(shè)縱坐標為,則橫坐標是的兩個實數(shù)根.
(5)一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點,由方程組 的解的數(shù)目來確定:①方程組有兩組不同的解時與有兩個交點; ②方程組只有一組解時與只有一個交點;③方程組無解時與沒有交點.
(6)拋物線與軸兩交點之間的距離:若拋物線與軸兩交點為,由于、是方程的兩個根,故
【能力訓練】
1.二次函數(shù)y=-x2+
6、6x-5,當 時, ,且隨的增大而減小。
2.拋物線的頂點坐標在第三象限,則的值為( )
A. B. C. D. .
3.拋物線y=x2-2x+3的對稱軸是直線( )
A.x =2 B.x =-2 C.x =-1 D.x =1
4. 二次函數(shù)y=x2+2x-7的函數(shù)值是8,那么對應(yīng)的x的值是( )
A.3 B.5 C.-3和5 D.3和-5
5.拋物線y=x2-x的頂點坐標是( )
6.二次函數(shù) 的圖象,如圖1-2-40所示,根據(jù)圖象可得a、b、c與0的大小關(guān)系是( )
7、 A.a(chǎn)>0,b<0,c<0 B.a(chǎn)>0,b>0,c>0
C.a(chǎn)<0,b<0,c<0 D.a(chǎn)<0,b>0,c<0
7.小敏在今年的校運動會跳遠比賽中跳出了滿意一跳,函數(shù)h=3.5 t-4.9 t2(t的單位s;h中的單位:m)可以描述他跳躍時
重心高度的變化.如圖,則他起跳后到重心最高時所用的時間是( )
A.0.71s B.0.70s C.0.63s D.0.36s
8.已知拋物線的解析式為y=-(x—2)2+l,則拋物線的頂點坐標是( )
A.(-2,1)B.(2,l)C.(2,-1)D.(1,2)
9.若二次函數(shù)y=x
8、2-x與y=-x2+k的圖象的頂點重合,則下列結(jié)論不正確的是( )
A.這兩個函數(shù)圖象有相同的對稱軸
B.這兩個函數(shù)圖象的開口方向相反
C.方程-x2+k=0沒有實數(shù)根
D.二次函數(shù)y=-x2+k的最大值為
10.拋物線y=x2 +2x-3與x軸的交點的個數(shù)有( )
A.0個 B.1個 C.2個 D.3個
11.拋物線y=(x—l)2 +2的對稱軸是( )
A.直線x=-1 B.直線x=1 C.直線x=2 D.直線x=2
12.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示,則在“① a<0,②b
9、>0,③c< 0,④b2-4ac>0”中,正確的判斷是( )
A、①②③④ B、④ C、①②③ D、①④
13.已知二次函數(shù)(a≠0)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論:①a、b同號;②當x=1和x=3時,函數(shù)值相等;③4a+b=0;④當y=-2時,x的值只能取0.其中正確的個數(shù)是( )
A.l個 B.2個 C.3個 D.4個
14.如圖,拋物線的頂點P的坐標是(1,-3),則此拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)有()
A.最大值1 B.最小值-3
C.最大值-3 D.最小值1
15.用列表法畫二次函數(shù)的圖象時先列一個表,當表中對自變量x的值以相
10、等間隔的值增加時,函數(shù)y所對應(yīng)的值依次為:20,56,110,182,274,380,506,650.其中有一個值不正確,這個不正確的值是( )
A.506 B.380 C.274 D.182
16.將二次函數(shù)y=x2-4x+ 6化為 y=(x—h)2+k的形式:y=___________
17.把二次函數(shù)y=x2-4x+5化成y=(x—h)2+k的形式:y=___________
18.若二次函數(shù)y=x2-4x+c的圖象與x軸沒有交點,其中c為整數(shù),則c=__
_________________(只要求寫一個).
19.拋物線y=(x-1)2+3的頂點坐
11、標是____________.
20.二次函數(shù)y=x2-2x-3與x軸兩交點之間的距離為_________.
21. 已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點,
(1)求拋物線的解析式和頂點M的坐標,并在給定的直角坐標系中畫出這條拋物線。
(2)若點(x0,y0)在拋物線上,且0≤x0≤4,試寫出y0的取值范圍。
22.華聯(lián)商場以每件30元購進一種商品,試銷中發(fā)現(xiàn)每天的銷售量(件)與每件的銷售價(元)滿足一次函數(shù)y=162-3x;
(1)寫出商場每天的銷售利潤(元)與每件的銷售價(元)的函數(shù)關(guān)系式;
12、
(2)如果商場要想獲得最大利潤,每件商品的銷售價定為多少為最合適?最大銷售利潤為多少?
23.某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品,年初上市后,公司經(jīng)歷了從虧損到盈利的過程.下面的二次函數(shù)圖像(部分)刻畫了該公司年初以來累積利潤s(萬元)與銷售時間t(月)之間的關(guān)系(即前t個月的利潤總和s與t之間的關(guān)系).
根據(jù)圖像提供的信息,解答下列問題:
3 4 5 6
-1
-2
-3
s(萬元)
t(月)
O
4
32
1
1
2
?。?)求累積利潤s(萬元)與時間t(月)之間的函數(shù)關(guān)系式;
?。?)求截止到幾月
13、末公司累積利潤可達到30萬元;
?。?)求第8個月公司所獲利潤是多少萬元?
24.如圖,有一座拋物線型拱橋,在正常水位時水面AB的寬是20米,如果水位上升3米時,水面CD的寬為10米,
(1)建立如圖所示的直角坐標系,求此拋物線的解析式;
(2)現(xiàn)有一輛載有救援物質(zhì)的貨車從甲地出發(fā),要經(jīng)過此橋開往乙地,已知甲地到此橋千米,(橋長忽略不計)貨車以每小時40千米的速度開往乙地,當行駛到1小時時,忽然接到緊急通知,前方連降大雨,造成水位以每小時米的速度持續(xù)上漲,(貨車接到通知時水位在CD處),當水位達到橋拱最高點O時,禁止車輛通行;試問:汽車按原來速度行駛
14、,能否安全通過此橋?若能,請說明理由;若不能,要使貨車安全通過此橋,速度應(yīng)超過多少千米?
25.已知直線y=-2x+b(b≠0)與x軸交于點A,與y軸交于點B;一拋物線的解析式為y=x2-(b+10)x+c.
⑴若該拋物線過點B,且它的頂點P在直線y=-2x+b上,試確定這條拋物線的解析式;
⑵過點B作直線BC⊥AB交x軸于點C,若拋物線的對稱軸恰好過C點,試確定直線y=-2x+b的解析式.
26.已知拋物線y=(1-m)x2+4x-3開口向下,與x軸交于A(x1,0)和B(x2,0)兩點,其中xl
15、