山東省濱州市無棣縣埕口中學(xué)2013屆中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 知識點(diǎn)50 分類討論

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1、50 分類討論 一、選擇題 1.（2011·××省××市X模，題號，分值）×××××××××××××××× 【答案】 2. （2011·××省××市X模，題號，分值）×××××××××××××××× 【答案】 二、填空題 1.（2011北京市解密卷1模，15，4）在△ABC中，AB=AC=12cm，BC=6cm，D為BC的中點(diǎn)，動點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1cm的速度沿B→A→C的方向運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t秒，過D、P兩點(diǎn)的直線將△ABC的周長分成兩個部分，使其中一部分是另一部分的2倍，那么t的值為 . 【答案】7秒或17秒 2. （

2、2011·××省××市X模，題號，分值）×××××××××××××××× 【答案】 三、解答題 1.（2011北京市解密卷1模，24，12）如圖，在菱形ABCD中，AB=2cm，∠BAD=60°，E為CD邊中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AC方向以每秒cm的速度運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)沿DB方向以每秒1cm的速度運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時，P，Q同時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為x秒。 （1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上運(yùn)動時. ①請用含x的代數(shù)式表示OP的長度； ②若記四邊形PBEQ的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）； （2）顯然，當(dāng)x=0時，四邊形PBEQ即梯形

3、ABED，請問，當(dāng)P在線段AC的其他位置時，以P，B，E，Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為梯形？若能，求出所有滿足條件的x的值；若不能，請說明理由. 【答案】解：（1）①由題意得∠BAO=30°，AC⊥BD ∵AB=2 ∴OB=OD=1，OA=OC= ∴OP= ……… ……2分 ②過點(diǎn)E作EH⊥BD，則EH為△COD的中位線 ∴ ∵DQ=x ∴BQ=2－x ∴ …………………………3分 （2）能成為梯形， 分三種情況： 當(dāng)PQ∥BE時，∠PQO=∠DBE=30° ∴

4、即 ∴x= 此時PB不平行QE，∴x= 時，四邊形PBEQ為梯形. …………………………2分 當(dāng)PE∥BQ時，P為OC中點(diǎn) ∴AP= ，即 ∴ 此時，BQ=2－x= ≠PE，∴x= 時，四邊形PEQB為梯形. …………2分 當(dāng)EQ∥BP時，△QEH∽△BPO ∴ ∴ ∴x=1（x=0舍去） 此時，BQ不平行于PE， ∴x=1時，四邊形PEQB為梯形. ………………………………2分 綜上所述，當(dāng)x= 或 或1時，以P，B，E，Q為頂點(diǎn)的四邊形是梯形.……………1分 2. （2011北京市解密卷3模，24，12）y x

5、O D E A B C 已知：直線與軸交于A，與軸交于D，拋物線與直線交于A、E兩點(diǎn)，與軸交于B、C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為 （1，0）． （1）求拋物線的解析式； （2）動點(diǎn)P在軸上移動，當(dāng)△PAE是直角三角形時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)． （3）在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)M，使的值最大，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)． 【答案】解：（1）將A（0，1）、B（1，0）坐標(biāo)代入得 解得 ∴拋物線的解折式為． （2）設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，則它的縱坐標(biāo)為 則E（，）． 又∵點(diǎn)E在直線上， y x O D E A B C P1 F P2 P3 M ∴．

6、解得（舍去），． ∴E的坐標(biāo)為（4，3）． （Ⅰ）當(dāng)A為直角頂點(diǎn)時 過A作交軸于點(diǎn)，設(shè)． 易知D點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）． 由得 即，∴． ∴． （Ⅱ）同理，當(dāng)為直角頂點(diǎn)時，點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）．） （Ⅲ）當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時，過E作軸于，設(shè)． 由，得． ． 由得． 解得，． ∴此時的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）或（3，0）． 綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0） （3）拋物線的對稱軸為． ∵B、C關(guān)于對稱， ∴． 要使最大，即是使最大． 由三角形兩邊之差小于第三邊得，當(dāng)A、B、M在同一直線上時的值最大． 易知直線AB的解折式為．

7、 ∴由 得 ∴M（，－）． 3. （2011·福建省福州市模擬，22，14分）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形OABC的邊長為2cm，點(diǎn)A、C分別在y軸的負(fù)半軸和x軸的正半軸上，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B和D. （1）求拋物線的解析式. （2）如果點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)沿AB邊以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，同 時點(diǎn)Q由點(diǎn)B出發(fā)沿BC邊以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動. 設(shè)S=PQ2(cm2) ①試求出S與運(yùn)動時間t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍； ②當(dāng)S取時，在拋物線上是否存在點(diǎn)R，使得以P、B、

8、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形? 如果存在，求出R點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由. （3）在拋物線的對稱軸上求點(diǎn)M，使得M到D、A的距離之差最大，求出點(diǎn)M的坐標(biāo). （第22題） 【答案】解: (1)據(jù)題意知: A(0, －2), B(2, －2) ，D（4，—）, 則 解得 ∴拋物線的解析式為: (2) ①由圖象知: PB=2－2t, BQ= t, ∴S=PQ2=PB2+BQ2=(2－2t)2 + t2 , 即 S=5t2－8t+4 (0

9、≤t≤1) ②假設(shè)存在點(diǎn)R, 可構(gòu)成以P、B、R、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形. ∵S=5t2－8t+4 (0≤t≤1), ∴當(dāng)S=時, 5t2－8t+4=,得 20t2－32t+11=0, 解得 t = ，t = （不合題意，舍去） 此時點(diǎn) P的坐標(biāo)為（1，-2），Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，—） 若R點(diǎn)存在，分情況討論: 【A】假設(shè)R在BQ的右邊, 這時QRPB, 則，R的橫坐標(biāo)為3, R的縱坐標(biāo)為— 即R (3, －)，代入, 左右兩邊相等， ∴這時存在R(3, －)滿足題意. 【B】假設(shè)R在BQ的左邊, 這時PRQB, 則：R的橫坐標(biāo)為1, 縱坐標(biāo)為－即(1, －)

10、代入, 左右兩邊不相等, R不在拋物線上. 【C】假設(shè)R在PB的下方, 這時PRQB, 則：R(1，—)代入, 左右不相等, ∴R不在拋物線上. 綜上所述, 存點(diǎn)一點(diǎn)R(3, －)滿足題意. （3）∵A關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點(diǎn)為B,過B、D的直線與拋物線的對稱軸的交點(diǎn)為所求M，M的坐標(biāo)為（1，—） 4. （2011·廣東省模擬，22，9分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為矩形，，，為直線上一動點(diǎn)，將直線繞點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)交直線于點(diǎn)； y A P B Q C O x （1）當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動（不與重合）時， 求證：OA·BQ=AP·BP； （2

11、）在（1）成立的條件下，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為， 線段的長度為，求出關(guān)于的函數(shù)解析式， 并判斷是否存在最小值，若存在，請求出最小值； 若不存在，請說明理由。 （3）直線上是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形，若存在， 請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。 【答案】22.（1）證明：∵四邊形OABC為矩形 ∴∠OAP=∠QBP=90°, y A P B Q C O x ∵∠OPQ=90°, ∴∠APO+∠BPQ=90=∠APO+∠AOP ∴∠BPQ=∠AOP, ∴△AOP∽△BPQ ∴ ∴OA·BQ=AP·BP －－－－－3分 (2) 由（1）知OA·BQ=

12、AP·BP ∴3×BQ=m(4－m) ∴BQ= ∴CQ=3－= 即L= (0＜m＜4) = ∴當(dāng)m=2 時， L（最?。? －－－6分 (圖1) (3)∵∠OPQ=90°,∴要使△POQ為等腰三角形，則PO=PQ . 當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時，如圖 (1) △ AOP≌△BPQ ∴PB=AO=3 △ ∴AP=4－3=1 ∴(1,3) 當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長線上時，如圖（2） 此時△QBP≌△PAO ∴PB=AO=3 ∴

13、AP=4+3=7 （圖2） ∴(7,3) 當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的反向延長線上時，如圖 （3） 此時∵PB＞AB＞AO, ∴△PQB不可能與△OPA全等, 即PQ不可能與PO相等, 此時點(diǎn)P不存在. 綜上所述，知存在(1,3), (7,3). －－－－－9分

14、 （圖3） 5. （2011·浙江省杭州市1模，223，10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線L：y=-2x-8分別與x軸、y軸相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P(0,k)是y軸的負(fù)半軸上的一個動點(diǎn)，以P為圓心，3為半徑作⊙P。 （1）連結(jié)PA，若PA=PB，試判斷⊙P與X軸的位置關(guān)系，并說明理由； （2）當(dāng)K為何值時，以⊙P與直線L的兩個交點(diǎn)和圓心P為頂點(diǎn)的三角形是正三角形？ 【答案】（１）由直線L的解析式可知A（-4，0），B（0，-8） 設(shè)OP=X，則BP=8

15、-X，AP=8-X 由勾股定理得 X2 + 42 =（8-X）2 解得 X = 3 ---------------2分 ∴ OP = R = 3 ∴⊙P與X軸相切 --------------2分 （2）分兩種情況討論： ①當(dāng)圓心P在線段OB上 由⊿AOB ∽ ⊿PEB得 把AO=4，AB=4，PE=代入比例式得 PB= --------------------2分 ∴ OP = 8－ ∴ K = －8 -----1分

16、 ②當(dāng)圓心P在線段OB的延長線上時： 由⊿AOB ∽ ⊿PEB同樣可得 PB= ∴ OP = 8 ＋ ∴ K = －－8 （2分） ∴當(dāng)K=－8或－－8時，以⊙P與直線L的兩個交點(diǎn)和圓心P為頂點(diǎn)的三角形是正三角形。 --------------1分 6. （2011·浙江省寧波市七中一模，25，10分）25．小王同學(xué)在一次課外活動中，用硬紙片做了兩個直角三角形，見圖①、②．圖①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；圖②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4 cm．圖③是小王同學(xué)所做的一個實驗：他將△DEF

17、的直角邊DE與△ABC的斜邊AC重合在一起，并將△DEF沿AC方向移動．在移動過程中，D、E兩點(diǎn)始終在AC邊上(移動開始時點(diǎn)D與點(diǎn)A重合)． （1）在△DEF沿AC方向移動的過程中，劉衛(wèi)同學(xué)發(fā)現(xiàn)：F、C兩點(diǎn)間的距離逐漸 ． （填“不變”、“變大”或“變小”） （2）小王同學(xué)經(jīng)過進(jìn)一步地研究，編制了如下問題： 問題①：當(dāng)△DEF移動至什么位置，即AD的長為多少時，F(xiàn)、C的連線與AB平行? 問題②：當(dāng)△DEF移動至什么位置，即AD的長為多少時，以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形? （圖①） （圖②） （圖③） 【

18、答案】（1）變小. 2分 （2）問題①： 解：∵ ∴ ∵ ∴ 連結(jié)設(shè) ∴ ∴在中， ∴ 即時， 3分 問題②： 解：設(shè)在中， （Ⅰ）當(dāng)為斜邊時， 由得， （Ⅱ）當(dāng)為斜邊時， 由得，（不符合題意，舍去）. （Ⅲ）當(dāng)為斜邊時， 由得， ∴方程無解. 另解：不能為斜邊. ∵∴ ∴中至少有一條線段的長度大于6. ∴不能為斜邊. ∴由（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）得，當(dāng)時，經(jīng)線段的長度為三邊長的三角形是直角三角形. 5分 7. （2011·甘肅省蘭州市二模，30，12分）閱讀材料，回答問題 A P B

19、 C D Q 如圖，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，點(diǎn)P沿AB邊從A向B以2cm/s的速度移動；點(diǎn)Q沿DA邊從D向A以1cm/s的速度移動.如果P、Q同時出發(fā)，用t（s）表示移動時間（0≤t≤6），那么：（1）當(dāng)t為何值時，△QAP為等腰直角三角形？（2）求四邊形QAPC的面積；你有什么發(fā)現(xiàn)？（3）當(dāng)t為何值時，以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？ 【答案】（1）對于任意時刻的t有：AP=2t，DQ=t，AQ=6-t， 當(dāng)AQ=AP時，△AQP為等腰直角三角形 ……2分 即6-t=2t，∴t=

20、2， ∴ 當(dāng)t=2時，△QAP為等腰直角三角形. ……4分 （2）在△AQC中，AQ=6-t，AQ邊上的高CD=12， ∴S△AQC= 在△APC中，AP=2t，AP邊上的高CB=6， ∴S△APC= ………6分 ∴四邊形QAPC的面積SQAPC= S△AQC +S△APC=36-6t+6t=36（cm2） 經(jīng)計算發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)P、Q在運(yùn)動的過程中，四邊形QAPC的面積保持不變.………8分

21、 （3）根據(jù)題意，應(yīng)分兩種情況來研究： ①當(dāng)時，△QAP∽△ABC，則有，求得t=1.2（秒）……9分 ②當(dāng)時，△PAQ∽△ABC，則有，求得t=3（秒） ……11分 ∴當(dāng)t=1.2或3秒時，以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似. ……12分 A P B C D Q 圖11 8. （2011·甘肅省蘭州市一模，24，12分）如圖,平面直角坐標(biāo)系中,直線AB與軸,軸分別交于A(3,0),B(0,)兩點(diǎn), ,點(diǎn)C為線段AB上的一動點(diǎn),過點(diǎn)C作CD⊥軸于點(diǎn)D. (1)求直線AB的解析式; (2)若S梯形OBCD＝,求點(diǎn)C的坐標(biāo);

22、(3)在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P,使得以P,O,B為頂點(diǎn)的三角形與△OBA相似.若存在,請求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由. 【答案】（1）直線AB解析式為：y=x+． （2）∵　,＝，∴ 由OA=OB，得∠BAO＝30°，AD=CD． ∴?。紺D×AD＝＝．可得CD＝． ∴　AD=１，OD＝２．∴C（２，）． （3） 當(dāng)∠OBP＝Rt∠時，如圖 ①若△BOP∽△OBA，則∠BOP＝∠BAO=30°，BP=OB=3，∴（3，）． ②若△BPO∽△OBA，則∠BPO＝∠BAO=30°,OP=OB=1．∴

23、（1，）． 當(dāng)∠OPB＝Rt∠時 ③ 過點(diǎn)P作OP⊥BC于點(diǎn)P(如圖)，此時△PBO∽△OBA，∠BOP＝∠BAO＝30° 過點(diǎn)P作PM⊥OA于點(diǎn)M． 設(shè)Ｐ（x ，x+），得OM＝x ，PM＝x+ 由∠BOP＝∠BAO,得∠POM＝∠ABO． ===． ∴x+＝x，解得x＝．此時，（，）． ④若△POB∽△OBA(如圖)，則∠OBP=∠BAO＝30°，∠POM＝30°． 　 ∴　PM＝OM＝．∴　（，）（由對稱性也可得到點(diǎn)的坐標(biāo)）． 當(dāng)∠OPB＝Rt∠時，點(diǎn)P在ｘ軸上,不符合要求.綜合得，符合條件的點(diǎn)有四個，分別是： （3，），（1，），（，），（，）． 9.

24、（2011·河北省一模，26，12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形ABCO的邊OC落在x軸的正半軸上，且AB∥OC，BC⊥OC，AB=4，BC=6，OC=8．正方形ODEF的兩邊分別落在坐標(biāo)軸上，且它的面積等于直角梯形ABCO的面積．將正方形ODEF沿x軸的正半軸平行移動，設(shè)它與直角梯形ABCO的重疊部分面積為S． （1）求正方形ODEF的邊長； （2）①正方形ODEF平行移動過程中，通過操作、觀察，試判斷S（S＞0）的變化情況是 ； A．逐漸增大 B．逐漸減小 C．先增大后減小 D．先減小后增大 ②當(dāng)正方形ODEF頂點(diǎn)O移動到點(diǎn)C時

25、，求S的值； A y x B C O D E F y （備用圖） A x B C O （3）設(shè)正方形ODEF的頂點(diǎn)O向右移動的距離為x，求重疊部分面積S與x的函數(shù)關(guān)系式． 【答案】解：（1）∵SODEF=SABCO=（4+8）×6=36 　 設(shè)正方形的邊長為x， ∴x2=36，x=6或x=-6（舍去）． （2）①C． ②S=（3+6）×2+6×4=33．（3）①當(dāng)0≤x＜4時，重疊部分為三角形，如圖①．可得△OM∽△OAN， ∴，．∴． ②當(dāng)4≤x＜6時，重疊部分為直角梯形，如圖

26、②．S=（x-4+x）×6×=6x-12 ③當(dāng)6≤x＜8時，重疊部分為五邊形，如圖③．可得，MD=（x-6），AF=x-4．S=（x-4+x）-×（x-6）（x-6）=-x2+15x-39．④當(dāng)8≤x＜10時，重疊部分為五邊形，如圖④．S==-x2+15x-39-（x-8）×6=-x2+9x+9．⑤當(dāng)10≤x＜14時，重疊部分為矩形，如圖⑤．S=［6-（x-8）］×6=-6x+84．（用其它方法求解正確，相應(yīng)給分） A B C O x y D E F （圖②） A B C O x y D E F M （圖③） A B C O x y D E F M N （圖①） A O x B C y D E F M （圖④） x A B C O y D E F （圖⑤） ．