天津市佳春中學(xué)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 新概念型問題

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1、新概念型問題 一、選擇題 1、如圖所示為一個污水凈化塔內(nèi)部，污水從上方入口進(jìn)入后流經(jīng)形如等腰直角三角形的凈化材枓表面，流向如圖中箭頭所示，每一次水流流經(jīng)三角形兩腰的機(jī)會相同，經(jīng)過四層凈化后流入底部的5個出口中的一個．下列判斷：①5個出口的出水量相同；②2號出口的出水量與4號出口的出水量相同；③1，2，3號出水口的出水量之比約為1：4：6；④若凈化材枓損耗的速度與流經(jīng)其表面水的數(shù)量成正比，則更換最慢的一個三角形材枓使用的時間約為更換最快的一個三角形材枓使用時間的6倍．其中正確的判斷有（　?。﹤€．　 A．1個B．２個C．３個D．４個 答案：B 二、填空題 1、(2013年上海市

2、)一個函數(shù)的圖像關(guān)于y軸成軸對稱圖形時，我們稱該函數(shù)為“偶函數(shù)”．如果二次函數(shù)是“偶函數(shù)”，該函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，頂點(diǎn)為P，那么△ABP的面積是 ▲ ． 答案：8； 2、對任意兩實(shí)數(shù)a、b，定義運(yùn)算“*”如下：. 根據(jù)這個規(guī)則，則方程＝9的解為________________________． 答案：－3或 3、定義：是不為1的有理數(shù)，我們把稱為的差倒數(shù)．如：2的差倒數(shù)是，的差倒數(shù)是．已知，是的差倒數(shù)，是 的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，……，依此類推，則= ． 答案： 4、現(xiàn)定義運(yùn)算“★”，對于任意實(shí)數(shù)a、b，都有a★b＝a2－3a+b，如：3★5＝32－

3、3×3+5，若x★2＝6，則實(shí)數(shù)x的值是__ __． 答案： —1或4 5、數(shù)學(xué)家們在研究15、12、10這三個數(shù)的倒數(shù)時發(fā)現(xiàn)：．因此就將具有 這樣性質(zhì)的三個數(shù)稱之為調(diào)和數(shù)，若x、y、2 (x>y>2且均為正整數(shù))也是一組調(diào)和數(shù)．則x、y的值分別為 ▲ ． 答案：6、3 6、定義運(yùn)算“※”的運(yùn)算法則為: a※b= ，則(2※3) ※3 = ． 答案：2 7、現(xiàn)定義運(yùn)算“★”，對于任意實(shí)數(shù)a、b，都有a★b＝a2－3a+b，如：3★5＝32－3×3+5，若x★2＝6，則實(shí)數(shù)x的值是__ __． 答案： —1或4 三、解答題 1、 (

4、2013年上海市)（本題滿分12分，其中第（1）小題3分，第（2）小題4分，第（3）小題5分）已知點(diǎn)A、B分別是x軸、y軸上的動點(diǎn)，點(diǎn)C、D是某個函數(shù)圖像上的點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABCD（A、B、C、D各點(diǎn)依次排列）為正方形時，我們稱這個正方形為此函數(shù)圖像的“伴侶正方形”． 例如：在圖1中，正方形ABCD是一次函數(shù)圖像的其中一個“伴侶正方形”． （1）如圖1，若某函數(shù)是一次函數(shù)，求它的圖像的所有“伴侶正方形”的邊長； （2）如圖2，若某函數(shù)是反比例函數(shù)，它的圖像的“伴侶正方形”為ABCD，點(diǎn)在反比例函數(shù)圖像上，求m的值及反比例函數(shù)的解析式； （3）如圖3，若某函數(shù)是二次函數(shù)，它的圖像的“伴侶正

5、方形”為ABCD，C、D中的一個點(diǎn)坐標(biāo)為，請你直接寫出該二次函數(shù)的解析式． （第24題圖3） x y -2 -1 O 1 3 2 1 2 3 4 x y O B D A C （第24題圖1） （第24題圖2） x y O 答案：解：（1）（I）如圖1，當(dāng)點(diǎn)A在x軸正半軸、點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上時： 正方形ABCD的邊長為．………………………………………………（1分） （II）當(dāng)點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸、點(diǎn)B在y軸正半軸上時： 設(shè)正方形邊長為a，易得，………………………………………（1分） 解得，此時

6、正方形的邊長為．………………………………（1分） （第24題圖2） x y O 1 3 2 1 3 2 A B C D E F x y O B D A C （第24題圖1） ∴所求“伴侶正方形”的邊長為或． （2）如圖2，作DE⊥x軸，CF⊥y軸，垂足分別為點(diǎn)E、F， 易證△ADE≌△BAO≌△CBF． ∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為，，∴DE = OA = BF = m， ∴OB = AE = CF = 2 - m． ∴OF = BF + OB = 2，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為．………………………（1分） ∴，………

7、…………………………………………………（1分） 解得．…………………………………………………………………（1分） ∴反比例函數(shù)的解析式為．…………………………………………（1分） （3）或或或．…（5分） 注：第（3）小題寫對一個函數(shù)解析式得2分，之后每寫對一個得1分 2、(本題滿分10分) 在一個三角形中，如果一個角是另一個角的2倍，我們稱這種三角形為倍角三角形．如圖28-1，倍角△ABC中，∠A=2∠B，∠A、∠B、∠C的對邊分別記為a,b,c，倍角三角形的三邊a,b,c有什么關(guān)系呢？讓我們一起來探索． （圖28-1） （圖28-2） （圖2

8、8-3） （圖28-4） （1）我們先從特殊的倍角三角形入手研究.請你結(jié)合圖形填空： 三角形 角的已知量 圖28-2 ∠A=2∠B= 圖28-3 ∠A=2∠B= （2）如圖28-4，對于一般的倍角△ABC，若∠CAB=2∠CBA ，∠CAB、∠CBA、∠C的對邊分別記為a、b、c，a、b、c三邊有什么關(guān)系呢？請你作出猜測，并結(jié)合圖28-4給出的輔助線提示加以證明． 解：（1） 三角形 角的已知量 圖28-2 ∠A=2∠B= 圖28-3 ∠A=2∠B= 每空1分共4分 （2），（

9、2分） 證明正確（4分） 3、如圖，臺風(fēng)中心位于點(diǎn)，并沿東北方向移動，已知臺風(fēng)移動的速度為千米/時，受影響區(qū)域的半徑為千米，市位于點(diǎn)的北偏東方向上，與點(diǎn)相距千米. （1）請你說明本次臺風(fēng)會影響市； （2）求這次臺風(fēng)影響市的時間. 答案：解：作，垂足為，，（5分）；設(shè)到對市有影響，則， （10分） 4、如圖①，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一個三角形與△ABC相似，那么就稱P為△ABC的自相似點(diǎn)． ⑴如圖②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中線，過點(diǎn)B作BE

10、⊥CD，垂足為E，試說明E是△ABC的自相似點(diǎn)． ⑵在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C． ①如圖③，利用尺規(guī)作出△ABC的自相似點(diǎn)P（寫出作法并保留作圖痕跡）； ②若△ABC的內(nèi)心P恰是該三角形的自相似點(diǎn)，求該三角形三個內(nèi)角的度數(shù)． 答案：解⑴在Rt △ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中線，∴，∴CD=BD． ∴∠BCE＝∠ABC．∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠ACB．∴△BCE∽△ABC． ∴E是△ABC的自相似點(diǎn)． ⑵①作圖略． 作法如下：（i）在∠ABC內(nèi)，作∠CBD＝∠A； （ii）在∠ACB內(nèi)，作∠BCE＝∠ABC；BD交CE于

11、點(diǎn)P． 則P為△ABC的自相似點(diǎn)． ②連接PB、PC． ∵P為△ABC的內(nèi)心 ∴，． ∵P為△ABC的自相似點(diǎn) ∴△BCP∽△ABC． ∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC=2∠PBC =2∠A， ∠ACB＝2∠BCP=4∠A ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°． ∴∠A+2∠A+4∠A＝180°． ∴．∴該三角形三個內(nèi)角的度數(shù)分別為、、． 5、定義為一次函數(shù)的特征數(shù)． （1）若特征數(shù)是的一次函數(shù)為正比例函數(shù)，求的值； （2）已知拋物線與軸交于點(diǎn)，其中，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C，且的面積為4，為原點(diǎn)，求圖象過兩點(diǎn)的一次函數(shù)的特征數(shù)． （本小題滿分5分）

12、 解：(1) 由題意得 . ∴ . -------1分 （2）由題意得 點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-n，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-2n）. ………………2分 ∵ 的面積為4， ∴ ∴ . ∴ 點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-4）. …………………………3分 設(shè)直線AC的解析式為 . ∴ ∴ …………………………4分 ∴ 直線AC的解析式為 . ∴ 圖象過兩點(diǎn)的一次函數(shù)的特征數(shù)為. ………………………5分