《創(chuàng)新設(shè)計高考總復(fù)習(xí)》配套學(xué)案拋物線

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1、 第?7?講 拋物線 [最新考綱] 1．掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)． 2．理解數(shù)形結(jié)合的思想． 3．了解拋物線的實際背景及拋物線的簡單應(yīng)用. 知?識?梳?理 1．拋物線的定義 (1)平面內(nèi)與一個定點?F?和一條定直線?l(F?l)的距離相等的點的軌跡叫做拋物 線．點?F?叫做拋物線的焦點，直線?l?叫做拋物線的準(zhǔn)線． (2)其數(shù)學(xué)表達式：|MF|＝d(其中?d?為點?M?到準(zhǔn)線的距離)． 2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)

2、 圖 形 標(biāo) 準(zhǔn) y2＝2px?(p>0)???????y2＝－2p x(p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 方 程 續(xù)表  p?的幾何意義：焦點?F?到準(zhǔn)線?l?的距離 頂點 O(0,0) 對稱軸 y＝0 x＝0 F?2，0÷ F?－2，0÷ F?0，2÷ F?0，－2÷ 性質(zhì)  焦點 ?p??? è????? ???p??? è??????? ??p? è???

3、?? ??p? è??????? 離心率 e＝1 x＝－2?????? px＝2 y＝－2?????? py＝2 準(zhǔn)線方程 p p 范圍 x≥0，y∈R?x≤0，y∈R?y≥0，x∈R?y≤0，x∈R 開口方向 向右????????向左 辨?析?感?悟 向上????????向下 1．對拋物線定義的認識 (1)平面內(nèi)與一個定點?F?和一條定直線?l?的距離相等的點的軌跡一定是拋物 線．(×) (2)拋物線?y2＝4x?的焦點到準(zhǔn)線的距離是?4.(×) 2．

4、對拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)的理解 1 (3)(2013·?北京卷改編)若拋物線?y＝ax2?的焦點坐標(biāo)為(0,1)，則?a＝4，準(zhǔn)線方程為 y＝－1. (√) (4)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．(×) (5)過拋物線的焦點與拋物線對稱軸垂直的直線被拋物線截得的線段叫做拋物線 的通徑，那么拋物線?x2＝－2ay(a＞0)的通徑長為?2a.(√) [感悟·?提升] 1．一點提醒 拋物線方程中，字母?p?的幾何意義是拋物線的焦點?F?到準(zhǔn)線的距 p 離，2等于焦點到拋物線頂點的距離．牢記它對解題非常有益．如(2)． 2．兩個

5、防范 一是求拋物線方程時，首先弄清拋物線的對稱軸和開口方向，正 確地選擇拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程； 二是求拋物線的焦點坐標(biāo)時，首先要把拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，如(3). 考點一 拋物線的定義及其應(yīng)用 【例?1】?(2014·?深圳一模)已知點?A(2,0)，拋物線?C：x2＝4y?的焦點為?F，射線?FA 與拋物線?C?相交于點?M，與其準(zhǔn)線相交于點?N，則|FM|∶|MN|＝( )． A．2∶?5 C．1∶?5 B．1∶2 D．1∶3 解析 如圖所示，由拋物線定義知|MF|＝|MH|

6、， 所以|MF|∶|MN|＝|MH|∶|MN|. 由△MHN∽△FOA， |MH| |OF| 1 則?|HN|?＝|OA|＝2， 則|MH|∶|MN|＝1∶?5， 即|MF|∶|MN|＝1∶?5. 答案 C 規(guī)律方法?拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離(拋物線上的 點到焦點的距離、拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離?)進行等量轉(zhuǎn)化．如果問題中涉及 拋物線的焦點和準(zhǔn)線，又能與距離聯(lián)系起來，那么用拋物線定義就能解決問題． 【訓(xùn)練?1】?(2014·?山東省實驗中學(xué)診斷)已知點?P?是拋物線?y2＝4x?上的

7、動點，點 P?在?y?軸上的射影是?M，點?A?的坐標(biāo)是(4，a)，則當(dāng)|a|＞4?時，|PA|＋|PM|的最小 值是________． 解析 將?x＝4?代入拋物線方程?y2＝4x，得?y＝±4，|a|＞4，所以?A?在拋物線的外 部，如圖， x | 由題意知?F(1,0)，則拋物線上點?P?到準(zhǔn)線?l：?＝－1?的距離為|PN|，由定義知，PA| ＋|PM| ＝|PA|＋|PN|－1＝|PA|＋|PF|－1.當(dāng)?A，P，F(xiàn)?三點共線時，|PA|＋|PF|取最小值，此 時 |PA|＋|PM|也最小，最小值

8、為|AF|－1＝ 答案 9＋a2－1 9＋a2－1. 考點二 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 【例?2】?(2014·?鄭州一模)如圖， 過拋物線?y2＝2px(p>0)的焦點?F 的直線交拋物線于點?A，B， 交其準(zhǔn)線?l?于點?C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為( )． A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝?3x 解析 如圖，分別過?A，B?作?AA1⊥l?于?A1，BB1⊥l?于?B1，

9、 由拋物線的定義知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|， ∵|BC|＝2|BF|， ∴|BC|＝2|BB1|， ∴∠BCB1＝30°， ∴∠AFx＝60°，連接?A1F，則△AA1F?為等邊三角形，過?F?作?FF1⊥AA1?于?F1，則?F1 1 1 3 為?AA1?的中點，設(shè)?l?交?x?軸于?K，則|KF|＝|A1F1|＝2|AA1|＝2|AF|，即?p＝2，∴拋物 線方程為?y2＝3x，故選?C. 答案 C 規(guī)律方法?(1)求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點位 置，開口方向，在方程的類

10、型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個參數(shù)?p， 只需一個條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． (2)在解決與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的問題時，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的 特點來解題，特別是涉及焦點、頂點、準(zhǔn)線的問題更是如此． 1 1 【訓(xùn)練?2】?(2014·?蘭州一模)已知圓?x2＋y2＋mx－4＝0?與拋物線?y＝4x2?的準(zhǔn)線相 切，則?m＝ ( )． A．±2?2 B.?3??????????????C.?2???????????????D．±?3 解析 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為?x2＝4y，所以準(zhǔn)線為?y＝－

11、1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為?x＋?2?÷2 ? m? è ? ??? m?? ? ＋y2＝ m2＋1 è－?2?，0? 4??，所以圓心為????????÷，半徑為 m2＋1 2  .所以圓心到直線的距離為?1， 即?? m2＋1 2 ＝1，解得?m＝±?3. 解 (1)由題意知，拋物線?E?的焦點為?F?0，2÷，直線?l1?的方程為?y＝k1x＋2. ì? ??x2＝2py???? 得?x2－2pk1x－p2＝0. 答案 D 考點三 直線與拋物線的位置關(guān)系 l l l 【例?3】?(2

12、013·?湖南卷)過拋物線?E：x2＝2py(p＞0)的焦點?F?作斜率分別為?k1，k2 的兩條不同直線?l1，2，且?k1＋k2＝2，1?與?E?相交于點?A，B，2?與?E?相交于點?C， D，以?AB，CD?為直徑的圓?M，圓?N(M，N?為圓心)的公共弦所在直線記為?l. →?→ (1)若?k1＞0，k2＞0，證明：FM·?FN＜2p2； 7?5 (2)若點?M?到直線?l?的距離的最小值為?5?，求拋物線?E?的方程． 審題路線 (1)寫出直線?l1?的方程?與拋物線聯(lián)立?用根與系數(shù)的關(guān)系求?M，N → → →?→ 的坐標(biāo)?寫出FM，F(xiàn)N的坐標(biāo)

13、?求FM·?FN?用基本不等式求得結(jié)論． (2)由拋物線定義求|AB|，|CD|?得到圓?M?與圓?N?的半徑?求出圓?M?與圓?N?的方 程?得出圓?M?與圓?N?的公共弦所在直線?l?的方程?點?M?到直線?l?的距離求出其 關(guān)于?k1?的函數(shù)式求其最小值?求得?p. ? p? p è ? p 由íy＝k1x＋2， p? → 2 2所以點?M?的坐標(biāo)為?pk1，pk1＋2÷，F(xiàn)M＝(pk1，pk1)． p? → 2同理可得點?N?的坐標(biāo)為?pk2，pk2＋2÷，F(xiàn)N＝(pk2，pk22)， ?k?＋k2?2 1所以

14、?0＜k1k2＜? 2|2pk21＋pk1＋p| p|2k1＋k1＋1| ?k1＋4÷2＋??ú? ???è 2 ? ? 2－故圓?M?的方程為(x－pk1)2＋?y－pk21 2÷ 設(shè)?A，B?兩點的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則?x1，x2?是上述方程的兩個實數(shù) 根． 從而?x1＋x2＝2pk1， y1＋y2＝k1(x1＋x2)＋p＝2pk21＋p. ? è ? ? è ? →?→ 于是FM·?FN＝p2(k1k2＋k21k2)． 因為?k1＋k2＝2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2， ÷?＝1. →?→

15、 故FM·?FN＜p2(1＋12)＝2p2. p p | (2)由拋物線的定義得|FA|＝y(tǒng)1＋2，F(xiàn)B|＝y(tǒng)2＋2，所以|AB|＝y(tǒng)1＋y2＋p＝2pk21＋2p， 從而圓?M?的半徑?r1＝pk21＋p. ? p? è ? ＝(pk21＋p)2， 3 2 化簡得?x2＋y2－2pk1x－p(2k1＋1)y－4p2＝0. 3 同理可得圓?N?的方程為?x2＋y2－2pk2x－p(2k2＋1)y－4p2＝0. 1 于是圓?M，圓?N?的公共弦所在直線?l?的方程為(k2－k1)x＋(k22－k2)y＝0. 又?k2－k1≠0，k1＋k2＝2，

16、則?l?的方程為?x＋2y＝0. 因為?p＞0，所以點?M?到直線?l?的距離 d＝ ＝ 5 5 é?? 1? 7ù ? pê2è ? 8? ＝ . 5 1 7p 8???5 故當(dāng)?k1＝－4時，d?取最小值 . 由拋物線定義知|AD|＝|FA|＝??|AB|. 7p 7?5 ??? 由題設(shè)，8?5＝?5?，解得?p＝8. 故所求的拋物線?E?的方程為?x2＝16y. 規(guī)律方法?(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似， 一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系； (2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，

17、要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物 線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公 式． 【訓(xùn)練?3】?設(shè)拋物線?C：x2＝2py(p＞0)的焦點為?F，準(zhǔn)線為?l，A?為?C?上一點， 已知以?F?為圓心，F(xiàn)A?為半徑的圓?F?交?l?于?B，D?兩點. (1)若∠BFD＝90°，△ABD?的面積為?4 2，求?p?的值及圓?F?的方程； (2)若?A，B，F(xiàn)?三點在同一直線?m?上，直線?n?與?m?平行，且?n?與?C?只有 一個公共點，求坐標(biāo)原點到?m，n?距離的比值． 解 (1)由已知可得△

18、BFD?為等腰直角三角形，|BD|＝2p，圓?F?的半徑|FA|＝?2p. 由拋物線定義可知?A?到?l?的距離?d＝|FA|＝ 2p. 1 因為△ABD?的面積為?4 2，所以2|BD|·?d＝4 2， 1 即2·2p· 2p＝4 2， 解得?p＝－2(舍去)或?p＝2. 所以?F(0,1)，圓?F?的方程為?x2＋(y－1)2＝8. (2)因為?A，B，F(xiàn)?三點在同一直線?m?上，所以?AB?為圓?F?的直徑，∠ADB＝90°. 1 2 3 3 所以∠ABD＝30°，m?的斜率為?3?或－?3?. 3 3 2 3 當(dāng)?m?的斜

19、率為?3?時，由已知可設(shè)?n：y＝?3?x＋b，代入?x2＝2py?得?x2－?3?px－ 2pb＝0. 4 由于?n?與?C?只有一個公共點，故?Δ＝3p2＋8pb＝0， p 解得?b＝－6. p |b?| | 因為?m?的縱截距?b1＝2，?|b1?＝3， 所以坐標(biāo)原點到?m，n?距離的比值也為?3. 3 當(dāng)?m?的斜率為－?3?時，由圖形對稱性可知，坐標(biāo)原點到?m，n?距離的比值為?3. 綜上，坐標(biāo)原點到?m，n?距離的比值為?3. 1．認真區(qū)分四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1)區(qū)分?y＝ax2(a≠0)與?y2

20、＝2px(p＞0)，前者不是拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． (2)求標(biāo)準(zhǔn)方程要先確定形式，必要時要進行分類討論，標(biāo)準(zhǔn)方程有時可設(shè)為?y2 ＝mx?或?x2＝my(m≠0)． 2．拋物線的離心率?e＝1，體現(xiàn)了拋物線上的點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距 離．因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點弦問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義 轉(zhuǎn)化為點到準(zhǔn)線的距離，這樣就可以使問題簡單化． p 拋物線上的點到焦點的距離根據(jù)定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，即|PF|＝|x|＋2或|PF| p ＝|y|＋2，它們在解題中有重要的作用，注意運用．

21、 教你審題?9——靈活運用拋物線焦點弦巧解題 【典例】?已知過拋物線?y2＝2px(p＞0)的焦點?，斜率為?2?2的直線交拋物線于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)兩點，且|AB|＝9.? (1)求該拋物線的方程； → → → (2)O?為坐標(biāo)原點，C?為拋物線上一點，?若OC＝OA＋λOB，求?λ?的值． [審題] 一審：由直線過拋物線焦點可利用焦點弦長公式求解． 解 (1)直線?AB?的方程是?y＝2???2?x－2÷，與?y2＝2px?聯(lián)立，從而有?4x2－5px＋p2 → → → 二審：由點?C?為拋物線上一點

22、，可設(shè)出?C?點坐標(biāo)，利用OC＝OA＋λ?OB表示出 點?C?坐標(biāo)，將點?C?坐標(biāo)代入拋物線方程求解． ? p? è ? 5p ＝0，所以?x1＋x2＝?4?， 5p 由拋物線定義得：|AB|＝x1＋x2＋p＝?4?＋p＝9， 所以?p＝4，從而拋物線方程為?y2＝8x. (2)由于?p＝4,4x2－5px＋p2＝0?可簡化為?x2－5x＋4＝0， 從而?x1＝1，x2＝4，y1＝－2?2，y2＝4?2， 從而?A(1，－2?2)，B(4,4?2)； → 2 設(shè)?C(x3，y3)，則OC＝(x3，y3)＝(1，－2

23、?2)＋λ(4,4?2)＝(4λ＋1,4?2λ－2?2)， 又?y3＝8x3，即[2?2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得?λ＝0?或?λ＝2. p2 y | [反思感悟]?(1)解決與拋物線的焦點弦有關(guān)問題，常用到?x1x2＝?4?，?1y2＝－p2，AB| 2p 1 1 2 | ＝x1＋x2＋p＝sin2θ(θ?為?AB?的傾斜角)，AF|＋|BF|＝p這些結(jié)論，就會帶來意想不 到的效果． (2)解析幾何中像這樣可以引申推廣的規(guī)律有很多，只要我們平時善于總結(jié)、歸 納同類題的解題方法，并注意探究和

24、發(fā)掘變換事物中所蘊涵的一般規(guī)律，就一定 會有更多發(fā)現(xiàn)． 【自主體驗】 1．(2012·?安徽卷)過拋物線?y2＝4x?的焦點?F?的直線交該拋物線于?A，B?兩點．若 |AF|＝3，則|BF|＝________. 25|AF|·|BF|＝?? ， 解得|AF|＝??，|BF|＝??. 1 1 2 3 解析 法一 由|AF|＋|BF|＝p.得|BF|＝2. ì?|AF|＝p＋|AF|cos?θ， 法二 設(shè)∠BFO＝θ，則í ??|BF|＝p－|BF|cos?θ， 1 3 由|AF|＝3，p＝2，得?cos?θ＝3，∴|BF|＝2.

25、 3 答案 2 2．(2012·?重慶卷)過拋物線?y2＝2x?的焦點?F?作直線交拋物線于?A，B?兩點，若|AB| 25 ＝12，|AF|＜|BF|，則|AF|＝________. 1 1 2 25 25 解析 由?|AF|?＋?|BF|?＝?p?＝?2?及?|AB|?＝?|AF|?＋?|BF|?＝?12?，得?|AF|·|BF|?＝?24?，再由 12 ì?|AF|＋|BF|＝25， í 24 5 5 6 4 5 答案 6 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時：40?分鐘) 一、

26、選擇題 y2 1．(2013·?四川卷)拋物線?y2＝4x?的焦點到雙曲線?x2－?3?＝1?的漸近線的距離是 ( )． 1 3 A.2 B.?2 C．1 D.?3 y2 解析 拋物線?y2＝4x?的焦點?F(1,0)，雙曲線?x2－?3?＝1?的漸近線方程是?y＝±?3x， 即?3x±y＝0，故所求距離為 |?3±0| (?3)2＋(±1)2 3 ＝?2?.選?B. 解析 拋物線的焦點為?2，0÷，準(zhǔn)線為?x＝－2.雙曲線的右焦點為(3,0)，所以2＝ 答案 B ． 2?(2014·?濟寧模擬)已

27、知圓?x2＋y2－6x－7＝0?與拋物線?y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線相切， 則?p?的值為( )． 1 A．1 B．2 C.2 D．4 解析 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋y2＝16，圓心為(3,0)，半徑為?4.圓心到準(zhǔn)線的距 ? p? è ? 離為?3－?－2÷＝4，解得?p＝2. 答案 B 3．點?M(5,3)到拋物線?y＝ax2?的準(zhǔn)線的距離為?6，那么拋物線的方程是( )． A．y＝12x2 B．y＝12x2?或?y＝－36x2 1 1 C．y＝－36x2 D．y＝12x2?或?y＝－36x2 1 1 解析 分兩類?a>

28、0，a<0?可得?y＝12x2，y＝－36x2. 答案 D x2 y2 4．(2014·?濰坊一模)已知拋物線?y2＝2px(p＞0)的焦點?F?與雙曲線?4?－?5?＝1?的右焦 點重合，拋物線的準(zhǔn)線與?x?軸的交點為?K，點?A?在拋物線上且|AK|＝?2|AF|，則 A?點的橫坐標(biāo)為( )． A．2?2 B．3 C．2?3 D．4 ?p ? p p è ? 3，即?p＝6，即?y2＝12x.過?A?做準(zhǔn)線的垂線，垂足為?M，則|AK|＝?2|AF|＝?2|AM|， 即|KM|＝|AM|，設(shè)?A(x，y)，則?y＝x＋3，代入?y

29、2＝12x，解得?x＝3. 答案 B x2 y2 5．(2013·?天津卷?)已知雙曲線?a2－b2＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線與拋物線?y2＝ 2px(p>0)的準(zhǔn)線分別交于?A，B?兩點，O?為坐標(biāo)原點．若雙曲線的離心率為?2， △AOB?的面積為?3，則?p＝( )． 3 A．1 B.2 C．2 D．3 c 解析 由已知得雙曲線離心率?e＝a＝2，得?c2＝4a2，∴b2＝c2－a2＝3a2，即?b＝?3 b p a.又雙曲線的漸近線方程為?y＝±ax＝±?3x，拋物線的準(zhǔn)線方程為?x＝－2，所以 ? p 3?? ? p

30、3p? è－?? 2????，Bè ? 不妨令?A? 2， p÷ ?－2，－?2?÷，于是|AB|＝?3p由?AOB?的面積為?3可得 1 p 2·?3p·?2＝?3，所以?p2＝4，解得?p＝2?或?p＝－2(舍去)． 答案 C 二、填空題 6．若點?P?到直線?y＝－1?的距離比它到點(0,3)的距離小?2，則點?P?的軌跡方程是 ________． 解析 由題意可知點?P?到直線?y＝－3?的距離等于它到點(0,3)的距離，故點?P?的 軌跡是以點(0,3)為焦點，以?y＝－3?為準(zhǔn)線的拋物線，且?p＝6，所以其標(biāo)準(zhǔn)方程 為?

31、x2＝12y. 答案 x2＝12y 7．已知拋物線?y2＝4x?上一點?M?與該拋物線的焦點?F?的距離|MF|＝4，則點?M?的 橫坐標(biāo)?x0＝________. 解析 拋物線?y2＝4x?的焦點為?F(1,0)，準(zhǔn)線為?x＝－1. 根據(jù)拋物線的定義，點?M?到準(zhǔn)線的距離為?4，則?M?的橫坐標(biāo)為?3. 答案 3 x2 y2 8．拋物線?x2＝2py(p＞0)的焦點為?F，其準(zhǔn)線與雙曲線?3?－?3?＝1?相交于?A，B?兩 點，若△ABF?為等邊三角形，則?p＝________. y2＝－2px(p＞0)，則焦點?F?－2，0

32、÷. 2ìm?＝6p， p? 故í 2?－3＋2÷?＋m2＝5， ??2 p2 3 解析 如圖，在等邊三角形?ABF?中，DF＝p，BD＝?3?p， 1 ??3 p? 3p 4 è?3 ? ∴B?點坐標(biāo)為? p，－2÷.又點?B?在雙曲線上，故?3?－?3?＝1.解得?p＝6. 答案 6 三、解答題 9．已知拋物線的頂點在原點，對稱軸是?x?軸，拋物線上的點?M(－3，m)到焦點 的距離為?5，求拋物線的方程和?m?的值． 解 法一 根據(jù)已知條件，拋物線方程可設(shè)為 ? p ? è ? ∵點?M(－3，m)

33、在拋物線上，且|MF|＝5， ? ? ? ? è ? ìp＝4， ìp＝4， 解得í 或í ?m＝2?6 ?m＝－2?6. ∴拋物線方程為?y2＝－8x，m＝±2?6. p 法二 設(shè)拋物線方程為?y2＝－2px(p>0)，則準(zhǔn)線方程為?x＝2，由拋物線定義，M p 點到焦點的距離等于?M?點到準(zhǔn)線的距離，所以有2－(－3)＝5，∴p＝4. ∴所求拋物線方程為?y2＝－8x， 又∵點?M(－3，m)在拋物線上， 故?m2＝(－8)×(－3)， ∴m＝±2?6. 10．設(shè)拋物線?C：y2＝4x，F(xiàn)?為?C?的焦點，過?F

34、?的直線?l?與?C?相交于?A，B?兩點． (1)設(shè)?l?的斜率為?1，求|AB|的大??； →?→ (2)求證：OA·?OB是一個定值． (1)解 ∵由題意可知拋物線的焦點?F?為(1,0)，準(zhǔn)線方程為?x＝－1，∴直線?l?的 設(shè)?A(x1，y1)，B(x2，y2)，由í 方程為?y＝x－1， ìy＝x－1， ?y2＝4x 得?x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6， 由直線?l?過焦點，則|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝8. (2)證明 設(shè)直線?l?的方程為?x＝ky＋1， ìx＝ky＋1， 由í ?y2

35、＝4x  得?y2－4ky－4＝0. x2＝2py??的焦點坐標(biāo)為?0，2÷，a2－b2＝1?的漸近線方程為?y＝±ax，即?y＝±???3x. → → ∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，OA＝(x1，y1)，OB＝(x2，y2)． →?→ ∵OA·?OB＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2 ＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2 ＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3. →?→ ∴OA·?OB是一個定值． 能力提升題組 (建議用時：25?分鐘) 一、選擇題 x2 y2 1．已知雙

36、曲線?C1：a2－b2＝1(a>0，b>0)的離心率為?2.若拋物線?C2：x2＝2py(p>0) 的焦點到雙曲線?C1?的漸近線的距離為?2，則拋物線?C2?的方程為( )． 8?3 16?3 A．x2＝?3?y B．x2＝?3?y C．x2＝8y D．x2＝16y x2 y2 解析 ∵a2－b2＝1?的離心率為?2， c c2 a2＋b2 b ∴a＝2，即a2＝?a2 ＝4，∴a＝?3. ? p? x2 y2 b è ? 由題意，得 p 2  ＝2， 1＋(?3)2 ∴p＝8.故?C2

37、：x2＝16y，選?D. 答案 D 2．(2014·?洛陽統(tǒng)考)已知?P?是拋物線?y2＝4x?上一動點，則點?P?到直線?l：2x－y ＋3＝0?和?y?軸的距離之和的最小值是( )． A.?3 B.?5 C．2 D.?5－1 解析 由題意知，拋物線的焦點為?F(1,0)．設(shè)點?P?到直線?l?的距離為?d，由拋物 線的定義可知，點?P?到?y?軸的距離為|PF|－1，所以點?P?到直線?l?的距離與到?y 軸的距離之和為?d＋|PF|－1.易知?d＋|PF|的最小值為點?F?到直線?l?的距離，故?d ＋|PF|的最小

38、值為 |2＋3| 22＋(－1)2  ＝?5，所以?d＋|PF|－1?的最小值為?5－1. －1－1，所以?yA＝2???3.因為?PA⊥l，所以?yP＝y(tǒng)A＝2???3，代 答案 D 二、填空題 x2 y2 3．(2014·?鄭州二模)已知橢圓?C：?4?＋?3?＝1?的右焦點為?F，拋物線?y2＝4x?的焦點 為?F，準(zhǔn)線為?l，P?為拋物線上一點，PA⊥l，A?為垂足．如果直線?AF?的傾斜角 為?120°，那么|PF|＝________. 解析 拋物線的焦點坐標(biāo)為?F(1,0)，準(zhǔn)線方程為?x＝－1.因為直線?AF?的

39、傾斜角為 120°，所以?tan?120°＝ yA 入?y2＝4x，得?xA＝3，所以|PF|＝|PA|＝3－(－1)＝4. 答案 4 三、解答題 4．(2013·?遼寧卷)如圖，拋物線?C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p＞0)．點?M(x0，y0) 在拋物線?C2?上， 過?M?作?C1?的切線，切點為?A，B(M?為原點?O?時，A，B?重合于?O)．當(dāng)?x0＝1－?2 MA?的斜率為－2，所以?A?點坐標(biāo)為?－1，4÷， (2)設(shè)?N(x，y)，A?x1，?4?÷，B?x2，?4?÷，x1≠x2， 1 時，切線?MA?

40、的斜率為－2. (1)求?p?的值； (2)當(dāng)?M?在?C2?上運動時，求線段?AB?中點?N?的軌跡方程(A，B?重合于?O?時，中點 為?O)． x 解 (1)因為拋物線?C1：x2＝4y?上任意一點(x，y)的切線斜率為?y′＝2，且切線 1 ? 1? è ? 1 1 故切線?MA?的方程為?y＝－2(x＋1)＋4. 因為點?M(1－?2，y0)在切線?MA?及拋物線?C2?上， 1 1 3－2?2 于是?y0＝－2(2－?2)＋4＝－ 4 ，① (1－?2)2 3－2?2 y0＝－ 2p ＝－ 2p .② 由①②得?

41、p＝2. ??1x2? ? ? x2? è ? è ? 2?? .③ 由?N?為線段?AB?中點知?x＝ x1＋x2 x21＋x22 8?? .④ y＝?2?(x－x1)＋?4?，⑤ y＝?2?(x－x2)＋?4?.⑥ 所以?x1x2＝－? 6? .⑦ y＝ 切線?MA，MB?的方程為 x1 x21 x2 x22 由⑤⑥得?MA，MB?的交點?M(x0，y0)的坐標(biāo)為 x?＋x x?x 1 x0＝?1?2 2，y0＝?4?2. 2 因為點?M(x0，y0)在?C2?上，即?x0＝－4y0， x21＋x2 因此?AB?中點?N?的軌跡方程為?x?＝??y.2 4 由③④⑦得?x2＝3y，x≠0. 4 當(dāng)?x1＝x2?時，A，B?重合于原點?O，AB?中點?N?為?O，坐標(biāo)滿足?x2＝3y. 4 3