湘潭大學(xué) 劉任任版 離散數(shù)學(xué)課后習(xí)題答案 習(xí)題14

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1、 習(xí)題十四 1．試判斷下列語(yǔ)句是否為命題，并指出哪些是簡(jiǎn)單命題，哪些是復(fù)合命題。 分析：本題主要是考察命題的定義，只要理解定義即可。 （1）是有理數(shù)。 解：是命題，且為簡(jiǎn)單命題 （2）計(jì)算機(jī)能思考嗎？ 解：非命題 （3）如果我們學(xué)好了離散數(shù)學(xué)，那么，我們就為學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)課程打下了良好的基礎(chǔ)。 解：是命題，且為復(fù)合命題。 （4）請(qǐng)勿抽煙！ 解：非命題。 （5）X+5＞0 解：非命題。 （6）π的小數(shù)展開(kāi)式中，符號(hào)串1234出現(xiàn)奇數(shù)次。 解：是命題，且為簡(jiǎn)單命題。 （7）這幅畫(huà)真好看??！ 解：非命題。 （8）2050年元旦的那天天氣晴朗。 解：是命題，且為簡(jiǎn)

2、單命題。 （9）李明與張華是同學(xué) 解：是命題，且為簡(jiǎn)單命題。 （10）2既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)。 解：是命題，且為復(fù)合命題。 2．討論上題中命題的真值，并將其中的復(fù)合命題符號(hào)化。 解：（1）F （3）T （6）不知真假 （8）不知真假 （9）真或假，視情況而定 （10）T （3）P：我們學(xué)好了離散數(shù)學(xué)。Q：我們?yōu)閷W(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)課程打下了良好的基礎(chǔ)。 P→Q （10）P：2是質(zhì)數(shù)； Q：2是偶數(shù)； P∧Q 3．將下列命題符號(hào)化 分析：本題主要是考察命題的符號(hào)化，主要是要分清合取、析取、蘊(yùn)含、等價(jià)的使用環(huán)境。 （1）小王很聰明，但不用功 解：P：小王很聰明；

3、Q：小王不用功； P∧Q （2）如果天下大雨，我就乘公共汽車(chē)上班。 解：P：天下大雨； Q：我乘公共汽車(chē)上班； P→Q （3）只有天下大雨，我才乘公共汽車(chē)上班 解：P：天下大雨； Q：我乘公共汽車(chē)上班； Q→P （4）不是魚(yú)死，就是網(wǎng)破 解：P：魚(yú)死； Q：網(wǎng)破； P∨Q （5）李平是否唱歌，將看王麗是否伴奏而定。 解：P：李平唱歌 Q：王麗伴奏 P Q 4．求下列命題公式的真值表： 分析：主要考察真值表。這個(gè)最好自己按照一個(gè)思路寫(xiě)出來(lái)所有的解釋?zhuān)灰z漏。（可以參考二進(jìn)制來(lái)進(jìn)行給

4、出解釋?zhuān)纾篜，Ｑ，那么我們可以按照這樣的順序給出解釋?zhuān)海ǎ?，０）（０，１）（１，０）（１，１）? （1）P→(QR) (2)∧（QR） 解： （3） 解： （4） 解： （5） 5．用真值表方法驗(yàn)證下列基本等值式 分析：本題主要是通過(guò)驗(yàn)證等值符號(hào)兩邊的真值表相同即可。 （1）分配律 解：1） ∴ （2）De Morgen律 ⅰ) ⅱ) ⅰ) ⅱ) (3) 吸收律 ⅰ) ⅱ) ⅰ) ⅱ) 6．用等值演算的方法證明下列等值式： 分析：本題主要是通過(guò)所學(xué)過(guò)的基本等值式來(lái)進(jìn)行等值演算，把

5、某一邊轉(zhuǎn)換到另一邊，或者是兩邊同時(shí)等值演算到一個(gè)相同的命題公式。 （1） 解： （2） 解： （3） 解： 7．設(shè)A、B、C為任意命題公式，試判斷以下的說(shuō)法是否正確，并簡(jiǎn)單說(shuō)明之。 分析：本題主要是兩個(gè)命題公式的析取、合取、否滿(mǎn)足一定條件，另外的一種情況的結(jié)論是否滿(mǎn)足。成立給出證明，不成立給出反例。 （1）若。 解：不正確。 如A為真，B為假，C為真時(shí)， 成立，但不成立。 （2）若。 解：不正確，如A為真，B為假，C為假時(shí)，成立，但不成立。 （3）若。 解：成立。，同真時(shí)，A、B同假，、假時(shí)，A，B同真。 8．下表是含兩個(gè)命題變?cè)乃忻}

6、公式F1~F16的真值表，試寫(xiě)出每個(gè)命題公式Fi的最多兩個(gè)命題變?cè)木唧w形式，i=1,2……16。 分析：本題主要是觀(guān)察所給出的真值表，通過(guò)兩個(gè)命題變?cè)奈鋈?、合取、否、蘊(yùn)含、等價(jià)等基本運(yùn)算來(lái)寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的命題公式。 解： 11．求下列命題公式的析取范式和合取范式： 分析：通過(guò)所學(xué)過(guò)的基本等值式經(jīng)過(guò)等值演算寫(xiě)出析取范式、合取范式。 （1） 解：原式（析、合取范式） （2） 原式 ∴為： 又 ∴合取范式為： (3) 解：原式 ∴析、合取范式均為: (4) 解：原

7、式 ∴析、合取范式均為： 12．求下列命題的主析取范式和主合取范式 分析：通過(guò)所學(xué)過(guò)的基本等值式，經(jīng)過(guò)等值演算寫(xiě)出析取范式、合取范式，然后再根據(jù)定理求出對(duì)應(yīng)的主析取范式、主合取范式。 （1） 解：原式 ∴主合取式為=M0 ∴主析取式為m1∨m2∨m3= （2） 解：原式 ∴主合取式為：=M0 ∴主析取式為： 即： （3） 解：原式 ∴主合取范式為： =M0 ∧ M2∧ M3∧M4 ∧M5 。 ∴主析取范式為：= 13．通過(guò)求主析取范式，證明： 分析：本題主要是通過(guò)求主析取范式來(lái)證明一個(gè)命題公式蘊(yùn)含另外一個(gè)命題公式。這個(gè)

8、題目如果沒(méi)有要求用主析取范式來(lái)證明，我們同時(shí)也可以用求主合取范式來(lái)證明結(jié)論。 證： ∴兩式的主析取范式相同，即 為真時(shí)，亦為真，此時(shí)成立 而為假時(shí)，不論為何值成立 ∴為重言式 故 14．構(gòu)造下面推理的證明： 分析：本題主要是通過(guò)構(gòu)造證明法，依據(jù)所學(xué)的基本的蘊(yùn)含式來(lái)證明。 （1）前提： 證論：P 證明：（1）R 前提引入 （2）Q∨R 前提此入 （3）Q 析取三段論（1）、（2） （4）（P∧Q） 前提引入 （5）P∨Q 等值置換（4） （6）P 析取三段論

9、（3）、（5） （2） 前提：P→（Q→S），Q，P∨R 證論：R→S 證明：（1）R 附加前提 （2）P∨R 前提 （3）P 析取三段式（1）、（2） （4）P→（Q→S） 前提 （5）P∨（Q∨S）等價(jià)置換（4） （6）Q∨S 析取三段式（3）、（5） （7）Q 前提 （8）S 析取三段式（6）、（7） （3） 前提P→Q ， 結(jié)論：P→（P∧Q） 證明：（1）P 附加前提 （2）P→Q 前提 （3

10、）Q 假言推理（1）、（2） （4） 合取 （4）前提： 結(jié)論： 證明：（1） 前提 （2） 前提 （3） 前提 （4） 構(gòu)造二難性（1）、（2）、（3） （5）前提： 結(jié)論： 證 明：（1） 附加前提 （2） 前提 （3） 析取三段式（1）、（2） （4） 前提 （5） 等值置換（4）

11、 （6） 析取三段式（3）、（5） （7） 前提 （8） 析取三段式（6）、（7） （6）前提： 結(jié)論： 證明：（1） 前提 （2） 簡(jiǎn)化（1） （3） 附加（2） （4） 等值置換（3） 15、某公安人員審查一件盜竊案，已知的事實(shí)如下： （1）甲或乙盜竊了電視機(jī)； （2）若甲盜竊了電視機(jī)，則作案的時(shí)間不能發(fā)生在午夜前； （3）若乙

12、的口供正確，則午夜時(shí)屋里的燈光未滅； （4）若乙的口供不正確，則作案時(shí)間發(fā)生在午夜之前； （5）午夜時(shí)屋里的燈光滅了。 試?yán)眠壿嬐评韥?lái)確定誰(shuí)盜竊了電視機(jī)。 分析：本題是一個(gè)實(shí)際應(yīng)用題。通過(guò)已知的事實(shí)來(lái)推斷一個(gè)結(jié)論。本題主要是寫(xiě)出符號(hào)化前提、結(jié)論，然后轉(zhuǎn)化為明天邏輯的內(nèi)容。最后根據(jù)前提以及所學(xué)過(guò)的基本蘊(yùn)含式以及等值式來(lái)證明結(jié)論成立。 解：P：甲盜竊了電視機(jī)； Q：乙盜竊了電視機(jī)； R：作案時(shí)間發(fā)生在午夜前； S：乙的口供正確； T: 午夜時(shí)屋里的燈光滅了。 前提： （1）T 前提 （2）

13、 前提 （3）S 拒取式（1）、（2） （4） 前提 （5）R 假言推理（3）、（4） （6） 前提 （7）P 拒取式（5）、（6） （8） 前提 （9）Q 析取三段式 結(jié)論：乙盜竊了電視機(jī)。 16、判斷下面的推理是否正確： （1）如果a、b兩數(shù)之積為0，則a、b中至少有一個(gè)數(shù)為0。a、b兩數(shù)之積不為 P

14、 Q P ， 所以，a、b均不為零 Q 解：不正確 。因推理形式為： （2）若a、b兩數(shù)之積是負(fù)的，則a、b中恰有一個(gè)數(shù)為負(fù)數(shù)。 則a、b中不是恰 P Q 有一個(gè)數(shù)為負(fù)數(shù)，所以，a、b兩數(shù)之積是非負(fù)的。 解：正確。因推理形式為： （3）如果今天是星期一，則明天是星期三。今天是星期一，所以，明天是星期三。 P Q 解：正確。因推理形式為： （4）如果西班牙是一個(gè)國(guó)家, 則北京是一個(gè)城市。北京是一個(gè)城市，所以，

15、西班牙是P Q 一個(gè)國(guó)家。 解：錯(cuò)誤。因推理形式為： 17、給出下列定理的證明序列 ① 解：（1） （L1） （2） （L2） (3) (1), (2) , MP (4) L2 (5) (3)、（4）, MP ② 解：（1） L1 （2） L2 （3） MP（1）、（2） （4）

16、 L2 （5） MP（3）、（4） 18、利用演繹定理證明： 1、┝ 解：先證：┝ （1） 假設(shè) （2） L3 （3） （1）,（2）, MP 由演繹定理得：┝ 2、┝ 解：先證：┝ （1） 假設(shè) （2） （1）， 置換 （3）

17、 （1）、（2）, MP （4） （1）、（3）MP 由演繹定理得: ┝ 3、┝ 解：先證 ┝ （1） 假設(shè) （2） L1 （3） （1）、（2），MP （4） L3 （5） （3）、（4），MP （6） L1 （7） （5）、（6），HS